Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КР-Математический анализ-ЭКФК-Номоконова-12.doc
Скачиваний:
21
Добавлен:
27.05.2015
Размер:
3.46 Mб
Скачать

5. Задания контрольной работы

Задания 1-10

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задания 21-30

Найти точки разрыва функции и указать их характер. Сделать схематический чертеж.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задания 31-40

Провести полное исследование функции и построить её график.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

Задания 41-50

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

41.

1)

2)

3)

42.

1)

2)

3)

43.

1)

2)

3)

44.

1)

2)

3)

45.

1)

2)

3)

46.

1)

2)

3)

47.

1)

2)

3)

48.

1)

2)

3)

49.

1)

2)

3)

50.

1)

2)

3)

Задания 51-60

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

Задания 61-70

Даны функция , точка и вектор . Найти:

1) градиент функции в точке ;

2) производную функции в точке по направлению вектора .

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

Задания 71-80

Найти:

1) частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальным условиям .

2) общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

71.

1)

2)

72.

1)

2)

73.

1)

2)

75.

1)

2)

76.

1)

2)

77.

1)

2)

78.

1)

2)

79.

1)

2)

80.

1)

2)

Задания 81-90

Исследовать сходимость ряда.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ

1. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) Если при вычислении предела получена неопределенность вида , то для ее раскрытия нужно и числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую, входящую в них степень аргумента:

так как

б)

В данном случае при и числитель, и знаменатель дроби обращаются в 0, то есть получается неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности избавимся от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, а также воспользуемся первым замечательным пределом:

Получим:

так как

и

в)

При получаем неопределенность вида , раскрыть которую можно воспользовавшись вторым замечательным пределом:

Выделяя структуру второго замечательного предела, получим:

2. Найти точки разрыва функции и указать их характер.

Функция определена на всей числовой оси, т.е. ,

поэтому разрыв возможен только в точках и .

1) Пусть . Тогда:

Предел функции в точке слева равен бесконечности и, следовательно, точка является точкой разрыва второго рода.

2) Пусть . Тогда:

Односторонние пределы функции в точке конечны, но не равны. Следовательно, точка является точкой разрыва первого рода, а именно точкой скачка функции.