- •Математический анализ
- •Задания для контрольной работы обсуждены на заседании кафедры естественнонаучных дисциплин зип СибУпк. Протокол № 7 от 22.03.2012 г.
- •Оглавление
- •1. Пояснительная записка
- •2. Основные вопросы курса
- •3. Правила выполнения и оформления контрольной работы
- •4. Правила и таблица выбора варианта контрольной работы
- •5. Задания контрольной работы
- •3. Полное исследование функции проводится по следующей схеме:
- •4. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.
- •5. Найти градиент функции в точке , и производную по направлению вектора .
- •6. Найти общее решение дифференциального уравнения
- •7. Исследовать сходимость ряда
- •Библиографический список
- •Математический анализ
- •672086, Г. Чита, ул. Ленинградская, 16.
3. Полное исследование функции проводится по следующей схеме:
1) область определения, область значений функции;
2) четность, нечетность функции, периодичность;
3) асимптоты;
4) промежутки монотонности и точки экстремума;
5) промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
6) точки пересечения графика функции с осями координат;
7) построение графика.
Например:
а) найти асимптоты графика функции .
Решение.
1) Функция не определена в точке . Найдем односторонние пределы функции в этой точке:
значит, прямая является вертикальной асимптотой.
2) Найдем
значит, функция имеет наклонную асимптоту , где
Таким образом, наклонной асимптотой графика функции является прямая .
б) Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
Решение.
1) Найдем производную:
2) определим точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, решив уравнение :
При производная не существует.
Точки и разбивают числовую ось на интервалы ,и .
3) Определим знак производной на полученных промежутках:
Промежуток |
|
|
|
Производная |
|
|
|
Таким образом, при функция убывает, а при − возрастает. Точка является точкой минимума функции. При этом минимальное значение функции равно
в) Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции
Решение.
1) Найдем производную второго порядка:
2) Найдем точки, в которых выполняется необходимое условие перегиба, решив уравнение
Точка разбивает числовую ось на два интервала: и .
3) Определим знак второй производной на полученных промежутках:
Промежуток |
|
. |
Производная второго порядка |
|
|
Таким образом, при график функции выпуклый вверх, а при − выпуклый вниз (вогнутый).
− точка перегиба, в которой значение функции равно
4. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.
а)
Проверка:
В результате дифференцирования получена подынтегральная функция, значит, интеграл найден верно.
б)
При интегрировании применялась формула интегрирования по частям:
Проверка:
В результате дифференцирования получена подынтегральная функция, значит, интеграл найден верно.
в)
Для отыскания интеграла применяется метод неопределенных коэффициентов, согласно которому
и из полученного равенства следует:
Полагая , получим:
Аналогично, при получаем:
И поэтому,
Проверка:
В результате дифференцирования получена подынтегральная функция, значит, интеграл найден верно.
5. Найти градиент функции в точке , и производную по направлению вектора .
1) Найдем частные производные функции и вычислим их значения в точке .
Учитывая, что получим
2) Найдем направляющие косинусы. Так как , то
Производная функции по направлению вектора равна
6. Найти общее решение дифференциального уравнения
1) Найдем общее решение однородного уравнения
с помощью характеристического уравнения
Так как характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение однородного уравнения равно
2) Частное решение заданного неоднородного уравнения будем искать в виде так как один из корней характеристического уравнения равен −7.
Подставив в уравнение и получим
откуда
Следовательно,
3) Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: