- •© Российский государственный
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Ответы:
- •Вариант 2
- •1.Аналитическая геометрия на плоскости: простейшие задачи аналитической геометрии
- •2. Определители. Базис в пространстве.
- •3. Линейные операции над векторами,
- •4.Аналитическая геометрия в пространстве:
- •Поверхности второго порядка
- •Векторы и собственные значения
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Произведения векторов
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Вариант 5
- •Векторное и смешанное произведения векторов
- •Поверхности второго порядка
- •58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преоразования, заданного в некотором базисе матрицей . Ответы:
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
Скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов
16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором=(1,4,–2).
17. Два вектора =(2,-3,-6) и=(-4,4,7) приложены к одной точке. Найти координаты:
а) ортов ивекторови;
б) вектора +;
в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что.
18. Найти проекцию вектора =(2,3,1) на направление вектора .
19. Найти проекцию вектора =(,1,-9) на ось, составляющую с координатными осями Ох и Оz углы ,, а с осьюОу – острый угол β.
20. В четырехугольнике ОABC угол при вершине О имеет величину 120˚, а диагональ ОВ является биссектрисой этого угла. Известно, что . Найти величину угла между векторамии, используя последовательность действий:
а) ввести декартову прямоугольную систему координат ОУс началом в точке О так, чтобы ось была направлена по сторонечетырехугольника (в связи с этим сторонужелательно расположить на рисунке горизонтально);
б) найти в этой системе координаты точек О, А, В, С, ;
в) найти координаты векторов и;
г) найти по формуле;
д) подсчитать искомый угол по формуле .
21. В плоскости ХОУ найти вектор , перпендикулярный вектору, и имеющий одинаковую с ним длину.
22. На векторах ипостроен треугольник. Найти длину медианы, проведенной из вершиныА, если ,,.
23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину, если=(2,-1,-1),.
24. Даны вершины треугольника АВС: А(2,0,3), В(4,1,2) и С(-2,3,-1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.
25. Вычислить, ,,,=8.
26. Найти вектор , ортогональный векторамиеслигде.
27. Вычислить смешанное произведение векторов ,,.
28. Установить, компланарны ли векторы ,,.
29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(1,1,2), В(2,3,-1), С(2,
-2,4), D(-1,1,3).
30. Вектор перпендикулярен к векторами,. Зная, что ,,,найти , если тройка векторов– правая.
Аналитическая геометрия в пространстве:
плоскость и прямая в пространстве;
Поверхности второго порядка
31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости.
32. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые: ,
33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.
34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно двум плоскостям:,.
35. Найти расстояние от точкидо плоскости
36. На оси Ох найти координаты точек, отстоящих от плоскости 2x+2y+z-3=0 на расстоянии d=5.
37. Даны вершины треугльника А (-3,2,-1), В (-1,1,1), С (3,-3,8). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутренего угла при вершине В.
38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой,,.
39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.
40. Найти проекцию точки М (0,-5,2) на прямую.x=t+1, y=-2t+3, z=5t-1.
41. Найти координаты точки М1, симметричной точке М2(1,2,3) относительно плоскости .
42. Найти координаты точки М1, симметричной точке М2(2,1,4) относительно прямой .
43. Вычислить расстояние от точкиот прямой.
44. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку M0(3,-2,-4) параллельно плоскости П:3х-2у-3z-7=0 и пересекает прямую l: используя последовательность действий:
а) составить уравнение плоскости П1, проходящей через точку М0параллельно плоскостиП (см. задачу 31);
б) найти координаты точки М1 пересечения прямой l и плоскости П1 (см. задачу 39);
в) найти канонические уравнения искомой прямой, как прямой, проходящей через точки. М0 и М1.
45. Даны координаты вершин пирамиды А1(4,2,-2), А2(3,1,-2), А3(0,-2,-3), А4(1,2,5).
Найти:
1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
2) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
3) уравнение прямой А1А2;
4) уравнение плоскости А1А2А3;
5) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:
а) ;у2+z2=2x; x=0
б) z=0, z=1-y2, x=y2, x=2y2+1
Элементы линейной алгебры:
МЕТОД ГАУССА. РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ; ФОРМУЛЫ КРАМЕРА;
МАТРИЦЫ; МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ;
линейное векторное пространство;
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ (НЕЗАВИСЕМОСТЬ)
СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ; линейные операторы;
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .
49. Найти матрицу , где
А=, В=, С=.
50. Найти ранги матриц:
а) ; б).
51. Дана система линейных уравнений
Доказать ее совместимость и решить тремя способами:
а) методом Гаусса;
б) средствами матричного исчисления;
в) по формулам Крамера.
52. Являются ли вещественными линейным пространствами:
а) все векторы (х, у, z) из арифметического пространства R3 координаты которых удовлетворяют уравнению х+у+z=0 ?
б) все векторы (х, у, z) из арифметического пространства R3 координаты которых удовлетворяют уравнению х+у+z=1 ?
53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(2,3,),=(1,-2,-1),=(2,3,5),
=(-1,3,2).
54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой?=(1,0,-2,1),=(2,1,-1,0),=(1,2,1,1),=(2,2,-1,2).
55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R3, матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид:
а) ; б)
56. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени 4 от одного неизвестного с вещественными коэффициентами и найти матрицу этого преобразования в базисе:
57. Линейный оператор - оператор зеркального отражения векторов плоскости относительно прямойу=-2х, а оператор - оператор поворота вокруг начала координат на угол. Найти матрицы операторов ,,в базисе.
58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .