- •© Российский государственный
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Ответы:
- •Вариант 2
- •1.Аналитическая геометрия на плоскости: простейшие задачи аналитической геометрии
- •2. Определители. Базис в пространстве.
- •3. Линейные операции над векторами,
- •4.Аналитическая геометрия в пространстве:
- •Поверхности второго порядка
- •Векторы и собственные значения
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Произведения векторов
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Вариант 5
- •Векторное и смешанное произведения векторов
- •Поверхности второго порядка
- •58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преоразования, заданного в некотором базисе матрицей . Ответы:
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
2. Определители. Базис в пространстве.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
14.Вычислить определители:
а) по правилу треугольника;
б) разложением по элиментам первой строки;
в) разложением по элиментам второго столбца;
г) сведением к треугольному виду:
а) б)в)г)
15. Даны векторы: в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.
3. Линейные операции над векторами,
ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ. СКАЛЯРНОЕ,
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
16. Найти коородинаты еденичного вектора (орта) 0, сонаправленного с вектором .
17. Два вектораиприложены к одной точке. Найти координаты:
а) ортов и0 векторов и;
б) вектора 0+0;
в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамии, при условии, что=15.
18. Найти проекцию вектора на направление вектора.
19. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.
20. В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что .
Найти величину угла между векторами и, используя последовательность действий:
а) ввести декартовую прямоугольную систему координат ХОУ с началом в точке О так, чтобы ось Ох была направлена по диагонали (построение четырехугольника нужно ничинать с построения диагонали АС и BD, причем диагональ АС удобнее расположить горизонтально);
б) найти в этой системе координаты точек А,В,С,D;
в) найти координаты векторов и;
г) найти по формуле=;
д) подсчитать искомый угол по формуле .
21. Найти координаты вектора , еслиипр =-44, где,,.
22. Дано =2, , ()=, . Найти=.
23. Вычеслить координаты векторного произведения и его длину, если.
24. Даны вершины треугольника А(5,-6,2), В(1,-1,2), С(1,3,-1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.
25. Вычислить , если=2,=3, ()= 3.
26. Вектор ортогонален векторам (2,1,3) ии составляет с осьюOу тупой угол. Найти координаты вектора , еслии=10.
27. Вычислить смешанное произведение векоров
28. Установить, компланарны ли векторы ,,.
29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А(3,4,2), В (5,2,-1), С(7,4,8), D(-4,-3,7).
30. Вектор перпендикулярен к векторами. Вычислить, если (,=,= 2,=2, а тройка векторов- правая.
4.Аналитическая геометрия в пространстве:
плоскость и прямая в прстранстве;
Поверхности второго порядка
31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2,-1,0), параллельную плоскости: x+2y+2z+1=0.
32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2,2,-1) и прямую:.
33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости2x+y+3z-2=0.
34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М0(2,2,-3) перпендикулярно двум плоскостям: 2x-y+5=0 и 3x-2y-z+1=0.
35. Найти расстояние d точки М0(3,-1,-1) до плоскости x+2y-2y-2z+7=0.
36. На оси Oy найти координаты точек, отстоящих от плоскости 2x-y+2z-1=0 на расстоянии d=3.
37. Даны вершины треугольника А(3,-1,-1), В (1,2,-7), С (3,3,-5). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.
38. Составить канонические уравния прямой, проходящей через точку М0(2,-2,-1), параллельной прямой x=t, y=4t+3, z=2t-1.
39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости2x+3y+z-1=0.
40.-Найти проекцию точки Р(1,2,-1) на прямую x=t+2, y=7t-4, t=-3t+5.
41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2,-4,5) относительно плоскости x+7y-3t-18=0.
42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(0,8,-7) относительно прямой .
43.Вычеслить расстояние d точки Р(1,2,-2) от прямой .
44.Составить уравнение прямой l , которая проходит через точку М0(2,-1,3) перпендикулярно вектору и пересекат прямуюl1:
используя последовательность cmb действий:
а) составить уравнение плоскости П, прроходящей черезточку М0 с нормальным вектором ;
б) найти координаты точки М1 пересечение прямой с плоскостью П (см. задачу 39);
в) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М0 и М1.
45. Даны координаты вершин пирамиды А1(2,4,5), А2(4,4,3), А3(3,5,5), А4(5,3,4). Найти:
угол между ребрами А1,А2 и А1А4;
угол между ребрами А1А4 и гранью А!А2А3;
уравнение прямой А1А2;
уравнние плоскости А1А2А3;
5) уравень высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
46.Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:
а) z=2-y2, z-x=0, z+x=0;
б) z=x2+y2, z=2x2+2y2, x2+y2=4.
элЕменты линейной алгебры: метод гаусса,
решения системы линейных уранений;
формулы крамера; матрицы; матричные
уравнения; линейное векторное пространство;
линейная зависимость (независимость) системы
векторов; линейные операторы; собственные