2. Средняя арифметическая, способы расчета.

Больше всего в эк. практике приходится употреблять среднюю арифметическую, которая может быть исчислена как средняя арифметическая простая и взвешенная.

Средняя арифметическая (СА) -наиболее распространенный вид средних. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общест­венных явлений характерна аддитивность (суммарность) объе­мов варьирующего признака, этим определяется область при­менения СА и объясняется ее распро­страненность как обобщающего показателя, напр: общий фонд з/ п – это сумма з/п всех работников.

Чтобы исчислить СА, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. СА примен-ся в 2 формах.

Рассмотрим сначала простую арифметическую среднюю.

1-СА простая (исходная, определяющая форма) равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (применяется когда имеются несгруппированные инд. значения признака):

Произведенные вычисления могут быть обобщены в следующую формулу:

(1)

где — среднее значение варьирующего признака, т. е. средняя арифметическая простая;

означает суммирование, т. е. сложение отдельных признаков;

x — отдельные значения варьирующего признака, которые называются вариантами;

n — число единиц совокупности

Пример1, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд инд. значений признака, шт.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

СА простая рассчитывается по формуле(1),шт.:

Пример2. Рассчитаем СА на основании условных данных по 20 магазинам, входящим в торговую фирму (табл. 1). Таблица.1

Распределение магазинов торговой фирмы "Весна" по торговой площади, кв. М

№ магазина	Площадь	№ магазина	Площадь
1	60	11	50
2	80	12	120
3	40	13	100
4	100	14	60
5	60	15	80
б	70	16	60
7	50	17	70
8	120	18	40
9	100	19	50
10	60	20	50

Для вычисления средней площади магазина () необходимо сложить площади всех магазинов и полученный результат разделить на число магазинов:

Т.о., средняя площадь магазина по этой группе торговых предприятий составляет 71 кв.м.

Следовательно, чтобы определить СА простую, нужно сумму всех значений данного признака разделить на число единиц, обладающих этим признаком.

2

где f₁, f₂, … ,f_n – веса (частоты повторения одинаковых признаков);

– сумма произведений величины признаков на их частоты;

– общая численность единиц совокупности.

-СА взвешенная - средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты). СА взвешенная – средняя сгруппиро­ванных величин x₁, x₂, .., x_n, – вычисляется: (2)

Где х — варианты;

f— частота (вес).

СА взвешенная есть частное от деления суммы произведений вариантов и соответствующих им частот на сумму всех частот. Частоты (f) фигурирующие в формуле СА, принято называть весами, вследствие чего СА, вычисленная с учетом весов, и получила название взвешенной.

Технику вычисления СА взвешенной проиллюстрируем на рассмотренном выше примере 1. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим их в табл.

Средняя из сгруппированных данных определяется следующим образом: сначала перемножают варианты на частоты, затем складывают произведения и полученную сумму делят на сумму частот.

Таблица

По формуле (2) СА взвешенная равна, шт.:

Распределение рабочих по выработке деталей

П

риведенные в предыдущем примере 2 данные можно объединить в однородные группы, которые представлены в табл.Таблица

Распределение магазинов фирмы "Весна" по торговой площади, кв. м

Площадь магазинов (варианты)	40	50	60	70	80	100	120
Число магазинов (частоты)	2	4	5	2	2	3	2

Т.о., результат получился тот же самый. Однако это уже будет величина средняя арифметическая взвешенная.

В предыдущем примере мы вычисляли арифметическую среднюю при условии, что известны абсолютные частоты (численность магазинов). Однако в ряде случаев абсолютные частоты отсутствуют, а известны относительные частоты, или, как принято их называть, частости, которые показывают долю или удельный вес частот во всей совокупности.

При расчетах СА взвешенной использование частот позволяет упрощать расчеты, когда частота выражена большими, многозначными числами. Расчет производится тем же способом, однако, так как средняя величина оказывается увеличенной в 100 раз, полученный результат следует разделить на 100.

Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

где d – частость, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

(3)

В нашем примере 2 сначала определяют удельный вес магазинов по группам в общей численности магазинов фирмы "Весна". Так, для первой группы удельный вес соответствует 10% . Получаем следующие данныеТаблица3