Свойства средней арифметической

Первое свойство. Нулевое свойство средней величины заключается в том, что сумма отклонений вариант от их СА величины равна нулю. Первое свойство средней может быть использовано, в частности, для контроля правильности вычислений арифметической средней: если средняя вычислена правильно, сумма отклонений должна равняться нулю (практически, с учетом округлений, допускаемых при вычислении средней, — очень близка к нулю).

Второе свойство. Если все варианты уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное число, то СА этих вариант уменьшится или увеличится на то же самое число. Пр:. Пусть заработная плата каждого работника фирмы "Весна" увеличилась за некоторый период на 150 руб. Тогда сред­няя з/п всех работников фирмы увеличилась также на 150 руб.

Третье свойство. Если все варианты одинаково увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то СА увеличится (или уменьшится) во столько же раз. Пр: Так, если бы з/п каждого работника фирмы "Весна" увеличилась на 10%, то и средняя заработная плата всех работников фирмы увеличилась бы на 10%.

Четвертое свойство. Если же все веса средней одинаково уве­личить (или уменьшить) в несколько раз, СА не изменится. Увеличение всех весов в несколько раз приводит к тому, что во столько же одновременно увеличится и числитель, и знаменатель дроби (СА), поэтому значение дроби не изменяется.

В качестве весов средней вместо абсолютных показате­лей можно использовать удельные веса в общем итоге (доли или проценты). Тем самым достигается упрощение расчетов средней. Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьше­ния значений вариантов и частот. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение одного из центральных вариантов, обладающего наибольшей частотой, в качестве i – величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчета, поэтому такой метод вычисления средней называется «способом отсчета от условного нуля» или «способом моментов».

ПР:Допустим, что все варианты х сначала уменьшены на одно и то же число A, а затем уменьшены в i раз. Получим новый вариационный ряд распределения новых вариантов x₁. Тогда новые варианты будут выражаться: а их новая САm₁ – момент первого порядка – формулой: Она равна средней из первоначаль­ных вариантов, уменьшенной сначала наА, а затем в i раз, т.е.:

Для получения действительной средней надо момент первого порядка m₁ умножить на i и прибавить А: (6)

Находим момент первого порядка

Затем, принимая A = 19 и зная, что i = 2, вычисляем х, тыс. руб.:

х = m₁i + А = 0  2 + 19 = 19.

Данный способ вычисления СА из вариационного ряда называют«способом моментов». Применяет­ся этот способ в рядах с равными интервалами. Расчет СА по способу моментов ил­люстрируется данными табл. Распределение малых предприятий региона по стоимости основных производственных фондов (ОПФ) в 2000 г.