Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 1 Введение в анализ
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
1.1.
а)
б)
в)
г)
д)
1.2.
а)
б)
в)
г)
д)
1.3.
а)
б)
в)
г)
д)
1.4.
а)
б)
в)
г)
д)
1.5.
а)
б)
в)
г)
д)
1.6.
а)
б)
в)
г)
д)
1.7.
а)
б)
в)
г)
д)
1.8.
а)
б)
в)
г)
д)
1.9.
а)
б)
в)
г)
д)
1.10.
а)
б)
в)
г)
д)
1.11.
а)
б)
в)
г)
д)
1.12.
а)
б)
в)
г)
д)
1.13.
а)
б)
в)
г)
д)
1.14.
а)
б)
в)
г)
д)
1.15.
а)
б)
в)
г)
д)
1.16.
а)
б)
в)
г)
д)
1.17.
а)
б)
в)
г)
д)
1.18.
а)
б)
в)
г)
д)
1.19.
а)
б)
в)
г)
д)
1.20.
а)
б)
в)
г)
д)
2.
Исследовать функцию
на непрерывность, найти точки разрыва
функции и определить их тип. Построить
схематический график функции.
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
в)
;а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
; в)
;
а)
б)
;
в)
;
а)
б)
;
в)
;
Методические указания к выполнению контрольной работы № 2
Производная и правила дифференцирования
1. Пусть
функция
=
получила приращение
,
соответствующее приращению аргумента
.
Определение.
Если существует предел отношения
приращения функции
к вызвавшему его приращению аргумента
,
при
,
стремящимся к нулю, т. е.
,
то он называется производной функции
по независимой переменной
и обозначается
,
или
,
или
.
Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой.
Задача
1.
Используя определение, найти производные
функцийа)
,
б)
.
Решение:
а) Дадим аргументу
приращение
и найдем соответствующее значение
функции
=
,
теперь найдем
и
составим отношение
.
Осталось
вычислить
,
.
б)
пусть аргумент
получил приращение
,
новому значению аргумента соответствует
значение функции
.
Найдем
приращение
.
.
Тогда
,
.
Основные правила дифференцирования
Если
=соnst,
а функции
,
дифференцируемы, то
1.
4.
;
2.
;
5.
;
3.
;
6.
.
Таблица производных основных элементарных функций
1.
;
10.
;
2.
,
;
11.
;
3.
;
12.
;
4.
;
13.
;
5.
;
14.
;
6.
;
15.
;
7.
;
16.
;
8.
;
17.
;
9.
;
18.
.
Правило дифференцирования сложной функции
Если
и
,
т. е.
,
где
и
имеют производные, то
.
Здесь
– промежуточный аргумент. Это правило
распространяется на цепочку из любого
конечного числа дифференцируемых
функций.
Задача 2. Найти производные функций:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
.
Решение: а) представим функцию в табличной форме как сумму степенных функций и затем только найдем производную.
,
.
б) введем промежуточный аргумент и затем воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
,
,
=3
;
в)
пусть
,
где
,
тогда
,
=
=
.
Окончательно:
,
;
г) правило 4 можно распространить на любое число сомножителей, если перемножаемые функции дифференцируемы.
,
,
в данном случае
,
,
,
,
,
,
.
Дифференцирование
сложной показательно-степенной функции
.
Логарифмическое
дифференцирование
Пусть
и
– дифференцируемые функции. Чтобы найти
производную функции
предварительно прологарифмируем ее по
основанию
:
,
теперь воспользуемся правилом 3 и 6
,
откуда
(1)
Задача
3.
Найти производные функций а)
,
б)
Решение:
а) воспользуемся формулой (1): Пусть
,
,
найдем
,
и подставим в формулу (1):
б)
сначала прологарифмируем
.
Дифференцируя левую и правую части
равенства, получим:
,
теперь найдем
=
.
Метод, основанный на предварительном логарифмировании функции, не требует запоминания формулы и имеет более широкий спектр применения, в частности при дифференцировании большого количества сомножителей.
Задача 4. Найти производные функций:
а)
,
б)
.
Решение: а) воспользуемся свойствами логарифмической функции:
,
,
,
.
Итак,
,
,
.