МЕХАНИКА (1)

Параллелограмм АВЕС образует одну из граней параллелепипеда, в котором параллелограмм AEKD является диагональным сече-

нием, а заданные силы F1 AB , F2 AC и F3 AD – ребрами

одного из его трехгранных углов. Таким образом, равнодействующая пространственной системы трех сил, сходящихся в одной точке (рис. 5.2), приложена в той же точке и по модулю и направлению равна диагонали параллелепипеда, ребра которого равны и параллельны заданным силам:

У

F

F 2

F 2

F 2

,

Т

1

2

3

т. е. модуль равнодействующей трех сходящихся сил, расположен-

ных в пространстве

перпендикулярно друг другу, равен корню

Н

квадратному из суммы квадратов модулей этих сил.

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

Рис. 5.2. Параллелепипед сил

е

авнодействующая любого числа сходящихся сил, расположен-

ных в пространстве, равна замыкающей стороне многоугольника,

Рстороны которого равны и параллельны заданным силам (правило

силового многоугольника) (рис. 5.3).

Аналитическое условие равновесия пространственной системы сходящихся сил выражается тремя уравнениями:

41

FRx

0,

FRy

0,

FRz

0.

У

т. е. для равновесия пространственной системы сходящихся сил

необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций

Т

всех сил на каждую из трех осей координат были равны нулю.

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

Рис. 5.3. Равнодействующая пространственной системы сходящихся сил

о

5.2. Момент силы относительно оси

е

моменты силы F

относительно осей M x (F ) ,

Обозначив

Р

M y (Fп) и M z

(F ) , можем записать:

M x (F )

Fyz

l,

M y (F )

Fxz

l ,

M z (F )

Fxy

l,

42

где Fyz , Fxz и Fxy – модули проекций сил на плоскости, перпенди-

кулярные той оси, относительно которой определяется момент;

l – плечи, равные длинам перпендикуляров от точки пересечения оси с плоскостью до проекции или ее продолжения.

Знак «плюс» или «минус» ставится в зависимости от того, в ка-

У

кую сторону поворачивается плечо l вектором проекции, если смот-

реть на плоскость проекции со стороны положительного направле-

Т

ния оси; при стремлении вектора проекции повернуть плечо против

хода часовой стрелки момент условимся считать положительным, и

наоборот.

Н

Следовательно, моментом силы относительно оси называет-

Б

ся алгебраическая (скалярная) величина, равная моменту проекции

силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пе-

ресечения оси с плоскостью (рис. 5.4).

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 5.4. Момент силы относительно оси

ис. 5.4 иллюстрирует последовательность определения момента

силы F относительно оси Z. Если задана сила и выбрана (или задана) ось:

а) то перпендикулярно оси выбирают плоскость (плоскость ХОY);

43

б) силу F проецируют на эту плоскость и определяют модуль Fxy этой проекции;

в) из точки O пересечения оси с плоскостью опускают перпендикуляр ОС к проекции Fxy и определяют плечо l = ОС;

г) глядя на плоскость ХОY со стороны положительного направления оси Z (т. е. в данном случае сверху), видим, что ОС поворачи-

У

вается вектором F xy против хода стрелки часов, значит,

M z (F)

Fxy

l.

Т

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось ле-

жат в одной плоскости:

Н

а) сила F

пересекает ось (в этом случае l = 0) (рис. 5.5, а);

б) сила F

параллельна оси ( Fxy

0 ), (рис. 5.5, б);

Б

в) сила F действует вдоль оси (l = 0

Fxy

0 ), (рис. 5.5, в).

й

и

р

о

т

и

з

а

б

в

о

п

Рис. 5.5. Случаи равенства нулю момента силы

е

5.3. Пространственная система

Р

произвольно расположенных сил. Условие равновесия

Ранее подробно был изложен процесс приведения сил к точке и доказано, что любая плоская система сил приводится к силе – главному вектору – и паре, момент которой называется главным момен-

44

том, причем эквивалентные данной системе сил сила и пара действуют в той же плоскости, что и заданная система. Значит, если главный момент изобразить в виде вектора, то главный вектор и главный момент плоской системы сил всегда перпендикулярны друг другу.

Рассуждая аналогично, можно последовательно привести к точке силы пространственной системы. Но теперь главный вектор есть замыкающий вектор пространственного (а не плоского) силового многоугольника; главный момент уже нельзя получить алгеб-

Н

раическим сложением моментов данных сил относительно Уточки

приведения. При приведении к точке пространственной системы

сил присоединенные пары действуют в различных плоскостяхТи их

моменты целесообразно представлять в виде векторов и склады-

вать геометрически. Поэтому полученные в результате приведения

й

пространственной системы сил главный вектор (геометрическая

сумма сил системы) и главный момент (геометрическаяБ

сумма мо-

и

ментов сил относительно точки пр ведения), вообще говоря, не

р

перпендикулярны друг другу.

Векторные равенства Fгл

0

Mгл 0 выражают необходимое

и достаточное условие равн весия п остранственной системы про-

т

извольно расположенных сил.

Если главный век ор равен нулю, то его проекции на три взаим-

оси

но перпендикулярные

оакже равны нулю. Если главный момент

з

равен нулю, то равны нулю и три его составляющие на те же оси:

о

п

FRx

0,

M x (FR )

0;

е

FRy

0,

M y (FR )

0;

Р

FRz

0,

M z (FR )

0.

Значит, произвольная пространственная система сил статически определима лишь в том случае, когда число неизвестных не превышает шести.

Среди задач статики часто встречаются такие, в которых на тело действует пространственная система параллельных друг другу сил

(рис. 5.6).

45

								У
							Т
							Н
Рис. 5.6. Пространственная							параллельныхБсил
						система
Уравнения равновесия для пространственной системы парал-
лельных сил:				р			й
				о
				Fkz		0,
			т
		и		M x	(Fk )		0,
				M y	(Fk )		0.
	з
В пространственной с стеме параллельных сил неизвестных
о
должно быть не больше трех, иначе задача становится статически
неопределим й.
п	ГЛАВА 6. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
	6.1. Основные понятия кинематики
аздел механики, занимающийся изучением движения матери-
альных тел без учета их масс и действующих на них сил, называется
Ркинематикой.

Движение – основная форма существования всего материального мира, покой и равновесие – частные случаи.

46

Всякое движение, и механическое в том числе, происходит в пространстве и во времени.

Все тела состоят из материальных точек. Чтобы получить правильное представление о движении тел, начинать изучение нужно с движения точки. Перемещение точки в пространстве выражается в метрах, а также в дольных (см, мм) или кратных (км) единицах длины, время – в секундах. В практике или жизненных ситуациях время часто выражают в минутах или часах. Отсчет времени при рассмотрении того или иного движения точки ведут от определенного,

заранее обусловленного начального момента (t = 0).

У

Геометрическое место положений движущейся точки в рассмат-

риваемой системе отсчета называется траекторией. ПоТвиду тра-

ектории движение точки делится на прямолинейное и криволиней-

ное. Траектория точки может быть определена и задана заранее.

Н

Так, например, траектории искусственных спутников Земли и меж-

планетных станций вычисляют заранее, или

Бесли принять движу-

щиеся по городу автобусы за матер альные точки, то их траектории

(маршруты) также известны. В подобных случаях положение точки

й

в каждый момент времени оп еделяется расстоянием (дуговой ко-

ординатой) S, т. е. длиной участка т

, отсчитанной от неко-

аектории

торой ее неподвижной

чки, п инятой за начало отсчета. Отсчет

расстояний от начала

раек

рииможно вести в обе стороны, по-

этому отсчет в одну какую-

сторону условно принимают за по-

ложительный, а в про

либо

воположную – за отрицательный, т. е. рас-

т

стояние S – вел ч на алгебраическая. Она может быть положитель-

ной (S > 0) или

цательной (S < 0).

и

При движении точка за определенный промежуток времени про-

з

ходит нек т рый путь L, который измеряется вдоль траектории в

направлении движения (рис. 6.1):

отр

п

S1

L

OA .

е

Если точка стала двигаться не из начала отсчета O, а из поло-

жения, находящегося на начальном расстоянии S0, то

Р

L A0 A

S1 S0 .

47

а		б

	У
Рис. 6.1. Движение точки	Т

Векторная величина, характеризующая в каждый данный момент

времени направление и быстроту движения точки, называется ско-

ростью. Единицы скорости:

Н

й

км

103

м

Бм

и

1 ч

= 3600

с .

с

0,278

р

Скорость точки в любой момент ее дв жения направлена по ка-

сательной к траектории (рис. 6.2):

т

и

о

AA

1

.

ср

t

з

о

п

е

Р

Рис. 6.2. Вектор скорости точки

48

Отметим, что это векторное равенство характеризует лишь положение ср , а модуль средней скорости за время t

AA1

L

,

ср

t

t

где AA1 L – путь, пройденный точкой за время t .

У

Модуль средней скорости равен частному от деления пройден-

ного пути на время, в течение которого этот путь пройден.

Н

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения

направления и числового значения скорости, называетсяТускоре-

нием (рис. 6.3):

Б

a

,

й

2 1 .

t

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 6.3. Ускорение точки

При равномерном движении по криволинейной траектории точка тоже имеет ускорение, так как и в этом случае изменяется направление скорости (рис. 6.4):

1 2

49

								У
							Т
							Н
			Рис. 6.4. К определению ускорения Бточки
					й	м	.
За единицу ускорения принимают обычно 1
				и		с2
			6.2. Спос бы задания движения точки
				р
Существует три способаозадания движения: естественный, коор-
динатный, векторный.т
Естественный способ задания движения точки. Если кроме
траектории, на к ит рой отмечено начало отсчета O, задана зависи-
мость S			f (зt) между расстоянием S и временем t, это уравнение
называется зак н м движения точки по заданной траектории
(рис. 6.5).		о
Прим р:			S 0,5t.
	п
е
Р

Рис. 6.5. Траектория движения точки

50