М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч
.1.pdfТогда
Цх и лг2, х3)—ХтАХ = |
|
*i |
|
|
4 |
1 |
- 3/2 |
|
||||
|
хг |
|
|
1 |
— 2 |
|
0 |
[ * 1 * 2 *з]. |
||||
|
|
—3/2 |
0 |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
хз |
|
|
|
||||
3. Записать квадратичную форму |
по |
заданной |
||||||||||
матрице: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
а) А — |
|
О |
1 |
; б) Л = |
1 |
2 |
||||||
- |
3 — |
1 |
2 0 5 |
|
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение, |
а) Имеем: ац=3, а22 = 2, |
ап — Оц = |
||||||||||
= — I. Тогда |
Цхt, х2) = Зд;? + 2x‘j — 2дг1*2. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
Так как аи = — 1, а22 = 0, а33=1, |
а|2= а2|=2, |
||||||||||
а»з = а3, = 3, а2з = а32 = 5, то |
|
|
|
|
|
|||||||
L {X ), |
Х-2 , ДГз) = — |
|
Х\ |
|
Х3 |
2XiX2 |
1Л'л |
ЪХ2Хз. |
||||
4. |
Привести |
к |
каноническому |
виду |
квадратичную |
|||||||
форму L(xu х%) = х\ + к\ + 4xi,x<i. |
а22=1, |
<212= Я21 = 2. |
||||||||||
Решение. |
Имеем: |
ом = 1, |
||||||||||
Тогда матрица квадратичной формы |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
А = |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||
Характеристическое |
уравнение |
имеет |
вид _dei64 — |
|||||||||
— Л£) = 0, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
‘ I 1 t i x = » . ^ |
2Х — 3 = 0. |
Отсюда собственными значениями матрицы А являются А.| = — 1, Х2 = 3. Значит, канонический вид квадратичной формы Цу,, у2) = —y] + 3yl
Определяем собственные векторы. При Х\ = — I по
лучаем систему уравнений
2<X| -j- 2а2= 0,)
2at 2СС2 = 0,]
откуда а2 = —аь Следовательно, a f = /, a2— t, 16 Н,—
ее решение. Таким образом, вектор-столбцы Х(|,= *
100
t Ф 0, R, являются собственными векторами матрицы Л,
соответствующими собственному числу к} = — I . Про
нормировав Х(1), получим Х(|)* = |
1/V2 |
|
- ‘/V 2 |
||
|
Координаты рь р2 собственных вектор-столбцов,
соответствующих собственному числу Яг = 3, находим из следующей системы уравнений:
~2Pt + 2^2 = 0,1
20. - 2fc = 0,|
откуда 02 = 0|. Следовательно, |
= (, |
$2 = t, |
t 6 R< - ее |
решение. Вектор-столбцы Х12)- |
,нt Ф |
0 , /6 |
являют |
ся собственными векторами матрицы А, соответствую щими собственному числу Лг= 3. Пронормировав Х(2),
1/V 2
получим Х(2)* =
I/ V 2 .
Ортогональное преобразование, приводящее квадра тичную форму к каноническому виду, имеет вид
- --Wyi + -у=-У%, |
|
|
V 2 |
у2 |
|
Х-2— ---------- 7=^ 1/1 |
Н--------W i/2 - |
|
У2 |
1/2 |
|
Матрица этого ортогонального |
преобразования |
|
|
} |
|
1/V 2 |
1/д/2 ~| |
|
- 1/лД |
1Л /2 |‘ |
|
5. |
Привести |
к каноническому виду |
квадратичную |
|||
ф о р м у |
L ( X j, Хг, |
Хз) = 4*? + *2 + 9*1 — 4*|*2 — 6*2*3 + |
||||
+ 12*|*з. |
как |
ам = 4, <а2г= 1, Язз=9, й12 = |
||||
Решение. Так |
||||||
= а2| = —2, 0|з=Озг=6, 023= 032= —3, |
то матрица |
|||||
квадратичной формы |
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
- 2 |
6 |
|
|
|
- |
2 |
|
I - 3 |
|
|
|
|
6 |
- 3 |
9 |
|
101
Характеристическое |
уравнение имеет вид det(Л — |
||
—Х£) = 0. |
Тогда |
|
|
4 |
— X |
—2 |
6 |
- 2 |
1 - Х |
- 3 = 0, X314Х2 = 0, |
|
|
6 |
- 3 |
9 - Х |
откуда X] = 14, X? = Хз = 0.
Следовательно, квадратичная форма имеет канониче
ский вид
Щ \, Уг, «/з)= 14у?.
При X — 14 для определения собственных векторов имеем следующую систему уравнений:пл.
—10<Х|— 2а2 + 6« з:- 0, 1
—2а | — 13а2 — Заз = <0. > 6ai — За2— 5аз1=I0 , )
эквивалентную системе
2ai + 13a2+ Заз — 0 .1
—42аг — 14аз = о, \ 63а2 + 21аз = о, J
откуда
ai = —2a2,l аз= —Заг/
Следовательно, ai = —2t, a 2= —21, t £ R, — ее решение.
Тогда вектор-столбцы
- 2 |
1 |
Х<’>= |
t , t Ф 0, t £ R, |
—3/
являются собственными векторами матрицы А, соответ ствующими собственному числу Х=14. Пронормировав
Х(Ч получим
- 2/V 1T
Х<‘>* = |
i/ V r r |
3/V14
При Х = 0 имеем систему
4р,-2р2 + 6р3= 0,'
—2pi + р2— З^з = 0,
601 — Зрг + 9рз — 0, J
102
которая сводится к одному уравнению 20t —ф + ЗРэ — О
или рг = 201 4- Зрз. Решение этой системы можно записать
в виде 02 = 2а + 36, где = о; Рз = Ь. В результате по лучим семейство собственных векторов X = aei+(2o + -j- 36)е2 + bt3, зависящее от двух параметров а и Ь. Из
него выделим два каких-либо ортогональных вектора. Положив а = О, b = 1, получим собственный вектор Х(2) =
= Зег 4**з.
Подберем параметры а и Ь так, чтобы выполнялось равенство (Х(1>, Х<2)) = 0. Имеем: (2а + ЗЬ) •3 4- Ь = О, 6а 4- 106= 0, За -j- 5& = 0. Теперь возьмем а = —5, Ь = 3.
Получим другой собственный вектор рассмотренного се
мейства |
= —5ei — ег 4 -Зез. |
|
Пронормировав векторы Х(г| и Х(3), найдем: |
||
|
0 |
-5 /V 3 5 |
|
х<2>* = з/УТсГ , x w - |
-1 /V 3 5 |
|
1лД о |
3/V35 |
Ортогональное преобразование, приводящее исходную
квадратичную форму к каноническому виду, имеет вид
Х\ : |
У\ |
У з . |
|
|
|
л/м~ |
л/35 |
|
|
|
|
3 |
I |
Уз, |
*2 = —=У\ + ^ = У 2 ' |
|
|||
|
У|4 |
"уЮ |
УзГ |
|
х3= |
-У) |
-~т- |
|
з Уз- |
|
УП"1 |
' УнГ^ |
' л/зз” |
|
Матрица этого ортогонального преобразования |
||||
■-2/VTT |
о |
-5/V3T |
||
U = |
1/ - ф л |
З/л/То" |
-1/V35 |
|
|
-3/VIT |
1/VTo |
3/V35 |
|
6. Привести к каноническому виду квадратичную |
||||
форму L{jfi, jc2, x%) = 2дг? + |
4-Здсз — 4-\/2х2*з- |
|||
Решение. |
Имеем: йц — 2, a22 — l, язз = 3, ai2 = |
= a2i = 0, a3i = a,3 = 0, a23 — an — —2 ^ 2, тогда матрица квадратичной формы
103
2 |
0 |
0 |
л = о0 |
1 |
- 2V 2 . |
0 |
—2-^2 |
3 |
Характеристическое уравнение |
имеет вид det(Л — |
||
— ХЕ) = 0, т. е. |
|
|
|
2 - Я |
0 |
0 |
|
0 |
I - Я |
-2д/2 |
=0, |
0 |
—2-fi |
3 - Я |
|
откуда
(2 — Я)(1 — Я)(3 — Д.)— 8(2 — Я) = О, <2 — ЗЯ +
_|_ ^2)(3 — X -16 + 8Я) = 0, Я3- 6Я2+ ЗЯ + 10 = 0.
Целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Используя это утверждение, получаем: Х>=2, Яг = 5, Я з = — 1. Тогда канонический вид квадратичной формы
Ц у \-У2, Уз) = 2у\ + Ьу1 — у\
Определим собственные векторы. При Я = 2 имеем систему уравнений
Поскольку
-1 |
- 2У 2 |
|
- 2-V2 |
I |
t 0. |
При Я = 5 получим систему уравнений
2р3 = 0, )
104
Полагая 02 = /, имеем Рз = —^2/. Тогда:
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
Х(2)* = |
/ |
, /^=0, |
/6 R, |
Х(г),= |
|
1/л/з |
||
_ - л /2 / |
|
|
|
|
1 д/2/д/з |
|||
При к= — I получим систему уравнений |
||||||||
|
|
|
|
|
|
п |
т |
|
|
|
|
3YI |
|
= О, |
|
|
|
|
|
|
2уг — 2^273 = 0, |
|
|
|||
|
|
-~2^ 2 у2 -j- (4уз=0, |
} |
|
||||
из которой находим: |
|
|
|
|
||||
|
|
Yi = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2^2 |
|
V2", |
|
|
|
|
|
Тз = |
2 |
V2 = — V2- } |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая у? = t. имеем у3 |
Тогда: |
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
х « - |
2/ |
, |
|
*ев, |
х<3)* = |
д/2л/з |
||
|
V2* |
|
|
|
|
|
1/л/з |
Ортогональное преобразование, приводящее квадра тичную форму к каноническому виду, имеет вид
*1 ~у\,
х* = ^V T 2 + л / т Уз’
1
* 3 = _ V f y2' Уз-
Задачи для самостоятельного решения
1.199. Записать матрицу данной квадратичной формы:
1)Ч- 2*|.to + 2x1■+■4х2х3 -f- 5x1;
2) |
X? — |
4х|х2 +2х|х3 + |
4х| + |
х|; |
3 ) |
x f — |
2 х | Х'2 - j - 2 Х ]Х 3 — |
2X |X 4 |
x i -|- 2 хгхз — 4х?х^ -|- |
+— 2x1
105
Ответ: 1) |
'! |
1 о" |
2) |
I |
- 2 \ |
3) |
1 - |
i |
1 - |
Г |
|
( |
|
1 2 2 t |
|
- 2 |
4 0 ; |
- 1 |
1 l — 2 |
||||
|
0 2 5 |
|
i |
0. 1 |
|
1 |
I 1 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
- 1 — 2 0 - 2 |
||||
1.200. Записать квадратичную форму по заданной ) |
|||||||||||
матрице: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) 8 |
|
2 |
1 2) ’ 2 - 3 |
O" 3) ' 2 - 1 5 " |
|
||||||
2 |
|
0 - 2 * |
|
- 3 |
I |
4 i |
- 1 —3 6 |
||||
1 - 2 - 3 |
|
0 |
4 - 5 |
5 |
|
6 0 |
|||||
(Ответ: |
1) |
|
8*? + 4*1*2 + 2хг*3 — 4*г*з — 3*з; |
2) |
2х\ — |
||||||
— 6 * i * 2 |
+ *5 + 8 x2 x3 |
— 5*з; 3) 2х? — 2 * 1 * 2 |
+ 10 *|*з — 3*2+ |
+ 12*2*3-)
1.201. С помощью ортогонального преобразования привести квадратичную форму к каноническому виду и
записать вид этого ортогонального преобразования:
1)Z,(x1, *2) = 5х? + 8* 1*2 + 5*1;
2)L{xt, х2)= 13*? — 48*!*г + 27*1:
3)L(x|, *2)=»5*? + 4-\/б*]*2+ 7л^;
4)L(x|, *s) = 5*f + 2-^3*[*2 +3*^;
5)L(x], *2, *з) = *? + 2*2 + 3*1 — 4*i*2 — 4*2*з;
6)L(xI, *2, X3) = 7X? + 5*? + 3*3 — 8* 1*2 + 8*2*3;
7)L(x1, *2, *3) = $ — 2x\ — 2*з — 4*i*2 + 4*|*з+ 8*2*з;
|
8 ) Л { * | , * 2, * 3) — 3 * f + 6 *3 + 3 * з — 4 * i* 2 — 8 * 1* ? — |
|||||||
— |
4* 2* 3; |
* 2, |
* 3) = |
2x\ + 5 *1 + 5*з + 4 * 1*2 — 4 * i * 3 |
— |
|||
|
9 ) L(x1, |
|||||||
— |
8 * 2X 3. |
|
|
|
|
|
|
|
( Ответ: 1) |
9*f + *?; |
*, = i- (*f — *£), |
*2= - ^ {*f + *2); |
|||||
2) |
45*Г — 5*2; |
* 1 — |
( —3*f + 4*2), |
*2 = |
(4*( + 3*2); |
|||
3) |
1lx{! + Xi ; x, = -^L*f + - p *2, *2 — —-—t *1 + ^—*2; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
л/s |
л/ь |
|
4) |
6д?Г +2x2 ; jt,= - ^ x f + lx $ ; |
v _ |
i |
v' VS" |
2* |
|||
|
|
|
|
|
2 |
T |
’ — T ~ |
5) 2xf* — хг’ + 5хзг; x't = у xi — у *2 — ■|'лгз. *2 = ~ * i + (Об
+ ~ |
Х2 + |
у Хз, X i = |
у X i |
— у *2 + у * з ; 6 ) I U f + |
5 *2 ~ |
|
— Х ? \ |
х'х |
= -£X, — L JC2 — -Lхз, |
х'2= Х х + -LХ 2 + у *3, |
|||
x j- |
' x. + l j c s - l x s ; |
7) |
- 7 * f + 2x? + 2 jf; |
х\ = |
||
|
■* |
6 |
3 |
|
|
|
— -g— I --- 1 — xi -)- —— Xz\ 9) 1OjcI* + x2 -)- -*э"; x't =
(.13. ПЛОСКОСТЬ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ПЛОСКОСТЕЙ
Положение плоскости в пространстве относительно прямоугольной системы координат определяется точкой Ма(*о. у», Zo), принадлежащей этой плоскости, и ненулевым вектором п = (А, В, С) (А2 + В 2 + С1Ф 0),
перпендикулярным |
к ней. Вектор п = (/4, В, |
С) называется |
нормаль |
ным вектором плоскости. |
плоскости, то |
векторы |
|
Если М (х, у, |
г) — произвольная точка |
МцМ и п взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произве дение равно нулю, т. е. (Af^A), п) = 0. Выражая скалярное произведение
через координаты векторов п и МлМ, получаем уравнение плоскости, заданной точкой Мо(ха, y<s, 20) и нормальным вектором п = (/1, В, С):
\А (х — лг0) + В(у — уо) + С(г — z„) = 0j
Раскрывая в этом уравнении скобки и обозначая число ~Ахо — Вуо ~-
— Сгс через D, получаем уравнение
Ax + By -f Cz + D = 0, |
|
которое называется общим уравнением плоскости. |
точки плоскости |
Пусть г = xi + у\ + zk — радиус-вектор текущей |
|
М (х, у, г), п = cos ai -f cos ftj + cos ?k — единичный |
вектор, имеющий |
направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, а, р, у — углы, образованные этим перпендикуляром с осями
107
координат Ох, Оу, Oz соответственно, р — длина этого перпеидмкуляр*. Запишем уравнение плоскости в векторной форме: (г, п) = р. При пе реходе к координатной записи это уравнение примет внд
х cos а + у cos р + 2 cos у — р = 0.
Его называют нормальны/ уравнением плоскости. Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду все члены уравнения надо умножить ка нормирующий множитель
ц=±1/1п| = +1/УЛг + В г + С2.
где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D
в общем уравнении плоскости.
Можно выделить следующие частные случаи расположения пло скости и записать соответствующие им уравнения:
By + Cz + D = 0 — плоскость параллельна оси Ох; Ах 4- Сг + D = 0 — плоскость параллельна осн Оу; Ах + By + D = 0 — плоскость параллельна оси Ог;
Ах + By -|- Сг = 0 — плоскость проходит через точку 0{0, 0, 0); Сг + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Оху:
By + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Охг; Ах -j- D — 0 — плоскость параллельна плоскости Оуг\ By + Cz — 0 — плоскость проходит через ось Ох:
Ах 4- By = 0 — плоскость проходит через ось Ог; Ах ■+■Сг = 0 — плоскость проходит через ось Оу:
г = 0 — уравнение плоскости Оху:
у= 0 — уравнение плоскости Охг: х = 0 — уравнение плоскости Oyz. Уравнение
х/а + у/Ь + г/с = I
называют уравнением плоскости в отрезках, так как а, Ь, с — абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Oz соответственно.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки Mi(xi, у |, гi), Л1г(*г, у2, 2з), Мз(*э. Уз, г5), имеет вид
(ЛМЛ, ЛМ*2, M^Mi) = О
или в координатной форме
|
|
X — JCI |
У — У1 |
2 — 7! |
|
|
|
*2— X, |
y i — y, |
22 — Zi =0. |
|
|
|
Х з — Х, |
У з — У 1 Z i — Zi |
|
|
Угол <p между |
плоскостями А<х+ B ty + Ctz + D t = 0 и A tX + |
|
|||
-j- Вгу -f- Су2 + D = 0 |
определяется по формуле |
|
|||
_ |
(п,, |
(I?) |
А |/42 -f- В]В$ Ci Сг |
|
|
C0S<P_ |
I"'!1"»! ~ |
^tf + Bl +ci-jAi + Bl +t T ' |
|
||
Условием параллельности плоскостей является nt || и2, nt = |
' |
||||
илн в координатной форме |
|
|
|
||
|
|
А | /А$ |
В]/В? = С\/С% — X. |
|
108
Условием перпендикулярности двух плоскостей будет iti А, Пг, т. е. (Hi, Пг)— 0 или в координатной форме AiA? ■+-BiSj + С|Сг *= 0.
Расстояние от точки Afo(*o. уо. го) до плоскости Ах + By + Cz +
+ D = 0 находится по формуле
d = \Ах$-l- Вуа -j- CZQ -f- D I
л/а 2+ e2+ с2
П p имеры
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Мо{—2, 7, 3) параллельно плоскости х-Ау-\-Ъг — - 1 = 0. - •
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости,
проходящей через данную точку:
А{х — x0) + B(t/ — г/0)+ С (г — го) = 0 или /4(дг + 2) +
+ B {y - 7 )+ C (z ~ 3 ) = 0.
Так как п, {А, В , С)[|п(1, -4, 5), то А/l = В / (- 4 ) =
— С/5 = k. Следовательно, А = k, В — —4k. С — 5k, k £ R. Подставляя найденные значения А, В, С в уравнение плоскости, получаем
k(x + 2)— 4k(y — 7) -f 5£(z — 3)== 0,
что равносильно.уравнению
jc + 2 - 4 ( j f - 7 ) + 5 ( z - 3 ) ~ 0
или
х— 4у + Ьг+ 15 = 0.
2.Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку 0 (0, 0, |
0) перпендикулярно к двум плоскостям |
2х — г/ + 5г-|-3 = 0 и . г + Зу — г — 7 = 0 (рис. 1.21) |
|
Решение. |
Воспользуемся уравнением Ах + By + |
-|- Cz = 0 плоскости, проходящей через начало координат, где п{/4, В, С) — нормальный вектор этой плоскости.
Нормальные векторы данных плоскостей л! = (2,
— 1, 5), пг = (1, 3, — 1). Если плоскости перпендикулярны,
то |
их |
нормальные |
векторы ортогональны, т. е. n_i_ni, |
||
п ± п 2. |
Следовательно, |
п коллинеарен вектору [iti, п2], |
|||
т. е. n = X[ni, Пг], |
|
Найдем |
|||
[п,, |
|
i |
j |
k |
e _ | 4i + 7j + 7k=-(-14,7,7). |
n2]= |
2 — 1 |
5 |
|||
|
|
1 |
3 |
- 1 |
|
Отсюда n — (— 14А,, 7Я, 7Я), X 6 R-
109