М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч
.1.pdf1.5.РАНГ МАТРИЦЫ. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА К РО Н ЕКЕРА — КА ПЕЛ Л И ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рангом матрицы А (обозначается гл) называется наибольший порядок г отличных от нуля мнноров матрицы А, а базисным минором — любой минор порядка г, отличный от нуля. Если в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка к, а все миноры порядка k I равны нулю, то ранг матрицы А равен к.
Для нахождения ранга матрицы А применяют метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице А найден минор М А-го порядка, отличный
от нуля. Рассмотрим лишь те |
миноры (k I )-го порядка, которые |
содержат в себе (окаймляют) |
минор М. Если все они равны нулю, |
то ранг матрицы А равен к. В |
противном случае среди окаймляющнх |
миноров найдется ненулевой минор (к -f 1)-го порядка, и вся процедура повторяется.
Элементарными преобразованиями матрицы называются-.
1) умножение некоторого ряда матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число;
3) перестановка двух параллельных рядов матрицы.
Теорема 1. Ранг матрицы, полученной из данной элементарными преобразованиями, равен рангу данной матрицы.
Рассмотрим систему m уравнений с п неизвестными: |
|
||
a 11 Jf| |
Хл= 6j, \ |
|
|
O il X) -(- O jj Хг + ... + |
X „ = 6 2, |
I |
(1.3) |
............................................... |
> |
+ am$xt + ...+ amaXt = bm. )
Матрица
aw #12
А = |
^22 . Ct2n |
|
|
|
Ctmrt |
называется матрицей системы (1.3), а матрица
аи |
Й|2 |
. а,„ |
Ь, ' |
Д = Й21 |
022 |
■ в2п |
Ьъ |
a*i| |
а„|2 |
а„п |
ьт |
полученная присоединением к А столбца свободных членов,— расши ренной матрицей системы (1.3). Легко видеть, что ранг матрицы А либо равен рангу матрицы А, либо на единицу больше последнего. В матричной записи система (1.3) имеет вид
АХ = В ,
где _¥ = [*, х3 ... x„]T; B = lbi b2 ... bm\T.
40
Упорядоченная совокупность чисел (ci, сг...... с„) называется решением системы (1.3), если каждое из уравнений системы (1.3) обращается в верное равенство после подстановки вместо jci, J T J , .... хл соответственно ct, с?, .... сл. Матрица С = [с, с2 ... с„\т называется
вектор-решением данной системы.
Система (1.3) называется совместной, если существует хотя бы одно решение этой системы; в противном случае она называется не совместной.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Система, имеющая более одного решения, назы вается неопределенной.
Теорема 2 ( Крокскера — Калеллн). Для того чтобы система (1.3) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.
Базисными неизвестными совместной системы называют те неиз вестные, коэффициенты при которых образуют базисный минор матрицы системы; остальные неизвестные называют свободными.
Решение системы линейных уравнений осуществляют следующим образом.
1. Находят ранг матрицы А и ранг расширенной матрицы а . Если rA гЛ, то система несовместна.
2.Если г4= г% — г, выделяют базисный минор и базисные не известные.
3.Данную систему заменяют равносильной, состоящей из тех г уравнений, в которые вошли элементы базисного минора.
4.Если г = it, т. е. число базисных неизвестных равно числу неизвестных системы, то система имеет единственное решение, кото рое можно найти по формулам Крамера.
5.Если г < л, т. е. число базисных неизвестных меньше числа
неизвестных системы,' то из системы, полученной в п. 3, находят вы ражение базисных неизвестных через свободные, используя, например, формулы Крамера. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получают бесконечное множество решений исходной системы.
Система (1.3) при Ь, = Ьч = ...= bm= 0 называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как ранг ее матрицы
равен рангу расширенной матрицы.
Набор чисел лг, = 0, i = I, |
п, всегда является решением однородной |
||||||
системы., Такое решение называют тривиальным. |
|
|
|||||
Однородная |
система имеет лишь |
тривиальное решение тогда и |
|||||
только |
тогда, |
когда |
ранг |
матрицы |
А равен |
числу |
неизвестных |
(г = л). |
В частности, |
если число уравнений равно |
числу |
неизвестных |
(т = п), то для того чтобы однородная система имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Если ранг матрицы системы однородных линейных уравнений мень ше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно.
Пусть Ci. С_>...... |
С *— вектор-решения системы однородных ли |
|
нейных уравнений, |
а |
ои, <%э...... а* — некоторые числа. Тогда вектор |
aiCi + а2С2 +... + |
|
называется линейной комбинацией вектор- |
решений С|, С2, ..., |
С», a ai, a2, .... a* — коэффициентами этой ком |
бинации.
Вектор-решения Ci, С2, .... С* называются линейно зависимыми. если хотя бы одно из них является линейной комбинацией остальных; в противном случае они называются линейно независимыми.
Фундаментальной системой решений системы однородных линейных уравнений называется совокупность максимальной числа линейно
41
независимых вектор-решений. Фундаментальная система решений су ществует тогда н только тогда, когда г< п, и содержит а —г решений.
Так как любое решение однородной системы при г <С п может быть представлено в виде линейной комбинации решений фундамен тальной системы, то формула
С = а*С| -f* ссгСг +-• гСя_ г, 0-4)
где а,, а*, .... а.,-, произвольные числа, дает общее решение одно родной системы. Каждое решение, подучаемое из формулы (1.4) при конкретных значениях ои, а», .... ап-г, называют частным решением
однородной системы.
Фундаментальная система решений может быть найдена следующим
образом.
Выделим базисный минор и базисные неизвестные. Не нарушая
общности, можно считать базисными |
неизвестными |
ж3, .... х„ |
Вы |
|||
разив их через свободные неизвестные, получим: |
}i, / = I , я — г, |
|
||||
*1 &*dnX/+\ + •••+ d\ a-rXa, |
|
|||||
Хг = |
+ 1+... -f-rfj я—гЛя, |
(1.5) |
||||
|
|
|
|
|||
X , = d , l X r + % - \ - . . . + d , * - г Хл. |
|
|||||
Возьмем (л — г) произвольных |
чисел Сц, |
та- |
||||
ких, что |
С12 |
|
|
|
|
|
С|[ |
■ч |
£\ я—г |
|
|
|
|
^2 |
С?2 |
|
С$ д—л |
Ф о. |
|
( 1.6) |
|
|
|
|
|
||
C/i— t | |
Ся—/э |
Сщ—r я ^ г |
|
|
|
В равенствах (1.5) будем придавать свободным неизвестным зна чения, равные соответственно элементам строк определителя. Получен ная таким образом совокупность решений является фундаментальной системой решений. Отметим, что часто определитель (1.6) записы
вают в виде |
|
|
|
1 |
0 |
... |
0 |
0 |
1 |
... |
0 |
0 |
0 |
... |
1 |
В этом случае соответствующую фундаментальную систему назы вают нормированной.
Примеры
1. Найти ранг матрицы
1 |
— 1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
-1 |
2 |
0 |
— 1 |
2 |
1 |
1 |
3 |
1 |
5 |
- 8 |
- 5 |
-12 |
3 |
—7 |
8 |
9 |
13 |
42
Реш ение. С помощью элементарных преобразова ний матрицы получим в первом столбце все нули, кроме первого элемента. Для этого первую строку умножим на
— 2 и прибавим ко второй, затем первую строку прибавим
к третьей, после этого первую строку умножим на — 1 и прибавим к четвертой. Наконец, первую строку умно
жим на —3 и прибавим к пятой:
i |
- 1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
3 |
- 5 |
—4 |
- 8 |
0 |
! |
3 |
4 |
7 |
0 |
6 -10 |
- 8 |
-16 |
|
0 |
—4 |
2 |
0 |
1 |
Поменяв местами вторую и третью строки полученной матрицы, имеем
1 |
-1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
3 |
4 |
7 |
0 |
3 |
— 5 |
- 4 |
- 8 |
0 |
6 |
-10 |
- 8 |
-16 |
0 |
- 4 |
2 |
0 |
1 |
Умножив вторую строку на —3, затем на —6, а после на 4 и прибавив соответственно к третьей, четвертой и
пятой строкам, получим
! |
-1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
3 |
4 |
7 |
0 |
0 |
-14 |
-16 |
-29 |
0 |
0 |
-28 |
-32 |
-58 |
0 |
0 |
14 |
16 |
29 |
Умножив третью строку на —2, затем на 1и првбавнв соответственно к четвертой н пятой строкам, имеем
1 |
-1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
3 |
4 |
7 |
0 |
0 |
--14 |
-16 |
-29 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
43
Минор
l - |
l |
2 |
О |
1 |
3 = - 1 4 ^ 0 . |
О0 - 1 4
Миноров четвертого порядка, отличных от нуля, нет. Следовательно, гА=3.
2. Найти ранг матрицы А методом окаймляющих мино ров, если
|
2 |
- 1 |
3. |
- 2 |
|
А = 4 |
- 2 |
5 |
1 |
|
2 |
- 1 |
I» |
8 |
Реш ение. Вычисляем: |
|
|
||
2 -1 |
= —4 + 4 = 0, |
— 1 |
3 |
|
4 —2 |
— 2 5 |
Найден минор второго порядка, отличный от нуля. Вы числим окаймляющие его миноры третьего порядка:
— 1 |
3 |
- 2 |
- 2 |
5 |
J = — 40 — 3 + 4 — 10 + 1+ 4 8 = 0, |
- 1 |
1 |
8 |
- 1 |
3 |
4 |
— 2 |
5 |
7 — - 1 0 - 2 1 - 8 + 2 0 + 12 + 7 = 0, |
- 1 |
1 |
2 |
2 |
— 1 |
3 |
4 |
- 2 |
5 = —4 — 10— 12 + 12 + 4+ 10 = 0. |
2 |
-1 |
1 |
Так как не существует миноров третьего порядка, от личных от нуля и окаймляющих минор второго порядка, отличный от нуля, то гА=2.
3. Решить систему уравнений
*1 |
— 2x2+ |
3*3 — |
* 4 = |
2 , 'I |
|
4*1 |
+ |
*2 — |
*3 + 2*4 = |
— 3, } |
|
5*1 + |
8*2 — 1 1*з + |
7*4 = |
— 12 . J |
Реш ение. Составим расширенную матрицу данной системы и найдем гА и г^ с помощью ее элементарных преобразований:
44
1 |
- 2 |
|
3 - 1 |
2 |
А = 4 |
1 |
- 1 |
2 |
- 3 |
5 |
8 |
-11 |
7 |
— 12 |
Первую строку матрицы умножим на —4 и прибавим ко второй, затем умножим первую строку на —5 и приба вим к третьей строке:
- 1 |
- 2 |
3 |
- 1 |
2 |
О |
9 |
-13 |
6 |
-11 |
О |
18 |
-26 |
12 |
-22 |
Затем вторую строку полученной матрицы умножим на
— 2 и прибавим к третьей:
|
1 |
_ 2 |
3 - 1 |
2 |
||
|
О |
|
9 |
|
— 136 |
— 11 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
Минор |
J - 2 |
= 9Ф |
0, отсюда г\ = г\ =■*=2, т. е. си- |
|||
0 |
9 |
стема совместна..
Исходная система равносильна системе
х\ — 2x2+ 3*з — х4— 2,1
9^2— I Зхз + 6х4= — 1 1 . J
В качестве базисных неизвестных возьмем Х|, Хч. Тогда
хз, х4— свободные неизвестные. Перенося их в правую
часть, получаем: |
|
|
|
|
|
Х| — 2хг = |
2 — Зхз -f* х4, t |
|
|
|
9x2 = — 11 —f—13xj — 6x4. /' |
|
||
Находим решение полученной системы по формулам |
||||
Крамера: |
|
|
|
|
|
2 — У х з - е |
Х4 |
— 2 |
|
|
— 11 + 1Зхз — 6х4 |
9 = -i- ( - 2 2 + 26x3- |
|
|
— |
12x4+18 — 27Хз + 9x4) — —( —Хз — 3x4 |
4), |
||
|
= -5- I- II+ |
13хз-6х4). |
|
Пусть Хз = С(, х4= с2, где с [у с26 R- Тогда решение
45
имеет вид £--( —с, — 3с2— 4) у ( — 11+ 13с( — 6с2) С\
с21 , Сь с26 R.
J Таким образом, исходная система имеет бесконечное множество решений.
4. Решить систему уравнений
*i |
— 2хг -f Зд:з— |
— 4, \ |
|
X i — Х3 + |
XiI = — 3, I |
Xi |
“Ь Зхз—, « 3jc4 1 . | |
—7X 2 4-Здсз -Ьд^4«=. —- зi . )
Реш ение. Исследуем данную систему на совмест ность:
"2 |
- 2 |
3 |
- 4 |
4 |
0 |
1 |
- 1 |
1 |
- 3 |
А = |
3 |
0 |
- 3 |
1 |
1 |
||||
0 |
- 7 |
3 |
1 |
- 3 _ |
'1 |
- 2 |
3 |
- 4 |
4" |
0 |
1 |
- 1 |
1 |
- 3 |
0 |
5 |
- 3 |
I |
- 3 |
|
- 7 |
3 |
I |
- 3 |
1 |
- 2 |
3 |
- 4 |
4 |
0 |
1 |
- 1 |
1 |
— 3 |
0 |
0 |
2 |
-- 4 |
12 |
0 |
0 |
- 4 |
8 |
- 2 4 |
'l |
- 2 |
3 |
— 4 |
4~ |
0 |
1 |
- 1 |
1 |
- 3 |
0 |
0 |
2 |
- 4 |
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Минор |
|
|
|
|
1 |
— 2 |
3 |
|
|
0 |
1 |
-1 |
= 2 ^ 0 . |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
но. |
Га — |
гд = 3. Выберем |
за базисный. Исходная система равносильна следующей
системе:
46
Xi — 2X2+ 3*з — 4*4 =
* 2 — Хз + Xi = -з.)
2хз — 4лс<= 1 2 . J
Тогда xi, х2, *з — базисные неизвестные, *4 — свободное неизвестное. Перенесем слагаемые с *4 в правую часть уравнения:
|
|
|
*i — 2*2! + 3*э = |
4 + 4*4, \ |
|
|||||||
|
|
|
|
*2!— |
*3 = — 3 — |
*4, / |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2*3= |
12 +4*4. J |
|
||||
Тогда *з = 6 + 2*4, а по формулам Крамера: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 + 4*4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
х 2 |
2 О |
- 3 - |
* 4 |
- 1 1 = |
|
||||
|
|
|
|
|
О |
|
12 + 4*« |
|
2 |
|
||
|
|
= i- (- 6 - 2 * 4 + |
12 + 4*4) = 3 + *4, |
|||||||||
|
|
4+4*4 |
— 2 |
|
3 |
= i-(8+ 8*4+ 24 + 8*4- |
||||||
х' = |
т |
- 3 - |
* 4 |
|
1 |
- |
1 |
|||||
12 + 4*4 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
- 3 6 - 1 2 *4 - 1 2 - 4 *4 )= - 8 . |
|
||||||||
Полагая * 4 = с (с 6 R), получаем: * ( = — 8, * 2 = 3 + с, |
||||||||||||
*з = 6 + 2с, |
т. е. исходная |
система |
имеет |
бесконечное |
||||||||
множество |
решений: [—8 |
3 + с 6 + 2с |
с]т, |
c6R* |
||||||||
5. |
|
Найти |
фундаментальную |
систему |
решений сле |
|||||||
дующей системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
* | + |
3*2 + |
*3 + |
*4и = 01 ,Л |
|
||||
|
|
|
7*i + |
5*2 — *3 + |
2*4С4 = 0,< |
I |
|
|||||
|
|
|
3*1 + |
*2 — *3 + 2*4С4=0, |
| |
|
5*1 + 7*г + * 3 + 4*4Г4 = 01. )
Реш ение. Находим ранг данной системы:
|
1 |
3 |
1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
|
А = |
7 5 |
-1 |
5 |
0 |
-16 |
- 8 |
- 2 |
||
3 |
1 -1 |
2 |
0 |
- 8 |
-4 |
- 1 |
|||
|
|||||||||
|
5 |
7 |
1 4 |
0 |
— 8 |
—4 |
-1 |
"| |
3 |
1 |
Г |
0 |
-16 |
-8 |
- 2 |
0 |
0 |
0 |
0 ♦ |
0 |
0 |
0 |
0 |
т. е. гА~ 2. Возьмем минор |
1 |
= — 16 Ф 0 в ка- |
0 -16 |
честве базисного». Тогда исходная система равносильна системе
Х\ + 3*2 = —Хз — *4, )
— 8 x 2 = |
4x j - | - x 4, J |
||
откуда |
|
|
|
*2= — -^-(4хз + х4), |
|||
— Х3 — Х4 |
3 |
= — - i ( — 4 * з + 5*4). |
|
4хз -j- х4 |
— 8 |
||
|
Положив вначале хз = 1, х4 = О, а затем хз = 0, х4= 1, получим решения [1/2 — 1/2 I 0]ти [—5/8 1/8 О 1]г,
которые и образуют нормированную фундаментальную
систему решений.
Общее решение системы имеет вид
_ i-Ci + |
— С г |
с, |
C2J, |
с,, Сг е R. |
|
|
|
|
|||
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
||||||||
В задачах 1.87— 1.92 вычислить ранг матриц^: |
|
||||||||||
1.87. |
2 |
1 |
3 |
-1 |
1.88. |
2 |
|
1 |
11 |
2 |
|
3 |
- 1 |
2 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
- 1 |
||
|
1 |
3 |
4 |
-- 2 |
|
11 |
|
4 |
56 |
5 |
|
4 - 3 1 |
|
1 |
|
2 - 1 |
5 - 6 |
||||||
|
|
(Ответ: |
2.) |
|
|
|
(Ответ: |
2. |
|||
1 .8*. |
0 |
4 |
10 |
|
1 |
I.M . |
2 |
1 |
1 |
1 " |
|
|
4 |
8 |
18 |
|
7 |
|
1 |
3 |
1 |
1 |
|
|
10 |
18 |
40 |
|
17 |
|
1 |
I |
4 |
I |
|
|
1 |
7 |
17 |
|
3 |
|
1 |
1 |
1 |
5 |
|
|
|
(Ответ: |
2.) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
(Ответ: 4.)
48
1 |
0 |
0 |
1 |
4 |
|
|
0 |
1 |
0 |
2 |
5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
3 |
6 |
|
|
1 |
2 |
3 |
14 |
32 |
|
|
4 |
5 |
6 |
32 |
77 |
|
|
|
|
(Ответ: |
3.) |
|
|
|
|
[ |
-1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
- |
1 |
2 |
0 |
|
-1 |
2 |
|
1 |
1 |
3 |
|
1 |
5 |
- |
8 |
- 5 |
- -12 |
|
3 |
— 7 |
|
8 |
8 |
13 |
(О твет: 3.
В задачах 1.93— 1.104 выяснить, совместна ли система уравнений, и, если она совместна, решить ее.
|
Х\ -f- |
3*2 + 2*з ™ 0, |
|
|
|
|
||||
(2 * i — |
*а + |
3*1 = |
О, |
|
|
|
|
|||
|
3* , - |
5* 2+ |
4*3= |
0. |
|
|
|
|
||
|
*j + |
l 7*2 + 4*3 = 0 . |
|
|
|
|
||||
^Ответ: [ — уС |
— у с |
cj , c6R*^ |
|
|
|
|||||
! |
3* i + |
4*2 — |
5*з + |
7*4 = |
О, |
|
|
|||
|
2* i — 3 * 2 + 3* з — 2 * 4 = 0 , |
|
|
|||||||
|
4*i + |
11*2 — 13*3 + |
16*4 = |
О, |
|
|
||||
|
7* i — |
2* i + |
|
*з + |
3*4 = |
0. |
|
|
||
(Ответ: [i£ LjL!*L |
|
|
|
с, |
а ] Г, с , |
c,£ R .) |
||||
|
*| + |
*2 |
|
— |
3 * 4 — |
*5 = 0, |
|
|||
|
*1 — |
*2 + |
2*3 — |
*4 |
|
= 0 , |
|
|||
(4* , - |
2*2 + |
6*3 + |
3*4 - |
4*8 = |
О, |
|
||||
|
2*1 + |
4* j — 2*з + |
4*4 — 7*5 = |
0. |
|
|||||
(07w r:[ —£| +7с2/6 £|+5с2/6 |
С| С2/З |
, ci, c*gR.) |
||||||||
( |
*i — 2*2 + |
*з — |
*4 + |
*5 = |
О, |
|
||||
|
2*| + |
*2 — *3 + 2*4 — 3*5 = О, |
|
49
3*1— 2*2 — * 3 + * 4 — 2*5 = 0,