- •Содержание
- •1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
- •2. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
- •3. ПРОГРАММА
- •3.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •3.2. Введение в математический анализ
- •3.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •3.4. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков
- •4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- •4.1. Матрицы
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5. Смешанное произведение векторов
- •4.6. Прямая и плоскость
- •4.7. Линии второго порядка
- •4.8. Поверхности второго порядка
- •5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •5.1. Предел числовой последовательности. Предел функции
- •6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •6.1. Дифференцирование функций
- •6.2. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •6.3. Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя
- •6.4. Формула Тейлора и ее приложения
- •7.1. Исследование функций на экстремум. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты
- •7.2. Исследование функций и построение их графиков
- •КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
- •Литература
y
|
|
0 |
|
x |
– 2 |
– 1 |
1 |
2 |
Рис. 7.1
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Задание 1. а) Проверить невырожденность системы линейных уравнений и решить ее по формулам Крамера и матричным способом. б) Исследовать систему на совместность и в случае совместности решить ее, используя метод Гаусса.
1.1. |
а) |
x1 + x2 − x3 = 6, |
б) |
6x1 + x2 − x3 = 1, |
|
|
|
|
+ 3x2 − 4x3 = 21, |
|
|
|
|
2x1 |
|
x1 − x2 + 2x3 = 3, |
|
|
|
|
− x2 − 3x3 = 6. |
|
|
|
|
7x1 |
|
8x1 − x2 + 3x3 = 7. |
|
1.2. |
а) |
3x1 − 3x2 + 4x3 = 7, |
б) |
2x1 + 3x2 + 4x3 = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 − 5x3 = −6, |
|
x1 − 2x2 + x3 = −3, |
|
|
|
|
− x2 + x3 = 2. |
|
|
|
|
2x1 |
|
5x1 − 3x2 + 7x3 = 2. |
66
1.3. |
а) |
x1 + 2x2 − x3 = 2, |
||||||||
|
|
|
|
|
− 3x2 + 2x3 = 2, |
|||||
|
|
2x1 |
||||||||
|
|
|
|
|
+ x2 + x3 = 8. |
|||||
|
|
3x1 |
||||||||
1.4. |
а) |
2x1 − 3x2 + 5x3 = 11, |
||||||||
|
|
3x |
− x |
2 |
+ 5x |
|
= 10, |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
||
|
|
x + 2x |
2 |
− 4x = −7. |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|||
1.5. |
а) |
4x1 − x2 − 3x3 = 1, |
||||||||
|
|
3x + 6x |
2 |
+ 2x = 4, |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2x |
+ 4x |
2 |
+ x |
3 |
= 4. |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
1.6. |
а) |
x1 + 2x2 + 3x3 = 6, |
||||||||
|
|
|
|
|
+ 3x2 − x3 = 4, |
|||||
|
|
2x1 |
||||||||
|
|
|
|
|
+ x2 − 4x3 = 0. |
|||||
|
|
3x1 |
||||||||
1.7. |
а) |
2x1 + x2 = 3, |
|
|
||||||
|
|
|
|
+ x2 = 1, |
|
|
||||
|
|
x1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ x2 + 2x3 = 0. |
|||||
|
|
3x1 |
||||||||
1.8. |
а) |
x1 − x2 − 3x3 = 13, |
||||||||
|
|
|
|
|
+ x2 − x3 = 0, |
|||||
|
|
2x1 |
||||||||
|
|
|
|
|
− 2x2 + 4x3 = −15. |
|||||
|
|
3x1 |
||||||||
1.9. |
а) |
2x1 + 3x2 + 5x3 = 12, |
||||||||
|
|
|
|
− 4x2 + 3x3 = −22, |
||||||
|
|
x1 |
||||||||
|
|
|
|
|
− x2 − 2x3 = 0. |
|||||
|
|
3x1 |
||||||||
1.10. |
а) |
2x1 + 3x2 − x3 = 4, |
||||||||
|
|
|
|
+ 2x2 + 2x3 = 5, |
||||||
|
|
x1 |
||||||||
|
|
|
|
|
+ 4x2 − 3x3 = 2. |
|||||
|
|
3x1 |
||||||||
1.11. |
а) |
x2 + 3x3 = −6, |
|
|||||||
|
|
|
|
− 2x2 − x3 = 5, |
||||||
|
|
x1 |
||||||||
|
|
|
|
|
+ 4x2 − 2x3 = 13. |
|||||
|
|
3x1 |
||||||||
1.12. |
а) |
4x1 + 2x2 − x3 = 12, |
||||||||
|
|
|
|
+ 2x2 + x3 = 7, |
||||||
|
|
x1 |
||||||||
|
|
x |
2 |
− x |
= −1. |
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
67
б) |
x1 − 2x2 + x3 = 6, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + x2 − x3 = 2, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 + 4x2 − 3x3 = −2. |
|||||||||||
б) |
4x1 − 2x2 − x3 = 1, |
|||||||||||
|
|
+ x2 + 3x3 = 3, |
|
|||||||||
|
x1 |
|
||||||||||
|
x |
− 5x |
2 |
−10x = 0. |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
б) |
x1 + x2 − x3 = 2, |
|
||||||||||
|
3x − 3x |
2 |
+ 2x = 5, |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x1 − 3x2 + x3 = 16. |
|||||||||||
б) |
x1 + 2x2 − x3 = 0, |
|
||||||||||
|
5x + x |
2 |
− 7x |
|
= 0, |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
x |
+ 2x |
2 |
+ 5x |
|
= 1. |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
б) |
2x1 + 3x2 − 4x3 = 1, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5x1 + x2 = 1, |
|
|
|
||||||||
|
− 3x + 4x |
2 |
− 4x |
3 |
= 2. |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
x1 − x2 − 3x3 = 0, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x1 + 2x2 + 5x3 = 1, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − 3x2 − 9x3 = 0. |
|||||||||||
б) |
x1 + 3x2 = 1, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 6x2 + x3 = 1, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 + 9x2 + x3 = 2. |
|||||||||||
б) |
x1 + 4x3 = 1, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
− 3x3 = 2, |
|
|
|
|
||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
+ x |
2 |
+ 7x |
= 0. |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
б) |
x1 + 5x2 − 4x3 = −3, |
|||||||||||
|
|
+ 3x3 = 2, |
|
|
|
|
||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
+ 7x |
2 |
+ 2x |
3 |
= 1. |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
3x1 + 2x2 − 4x3 = 8, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 4x2 − 5x3 = 11, |
|||||||||||
|
x |
− 2x |
2 |
+ x |
= 1. |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1.13. |
а) |
2x1 + x2 − x3 = 0, |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
= −6, |
||
|
|
3x |
|
− 4x |
||||||||
|
|
x |
|
+ x |
3 |
= 1. |
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.14. |
а) |
x1 + 2x2 + x3 = 8, |
||||||||||
|
|
3x − 2x |
2 |
− 3x = −5, |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − 4x2 + 5x3 = 10. |
||||||||||
1.15. |
а) |
2x1 − x2 = −1, |
||||||||||
|
|
|
|
− 2x2 − x3 = −2, |
||||||||
|
|
x1 |
||||||||||
|
|
x |
2 |
+ x |
|
= −2. |
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1.16. |
а) |
2x1 − 3x2 − x3 = −6, |
||||||||||
|
|
3x + 4x |
2 |
+ 3x = −5, |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
+ x |
2 |
+ x |
= −2. |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
1.17. |
а) |
3x1 + 2x2 + 5x3 = −10, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 5x2 − 3x3 = 6, |
||||||||||
|
|
x |
|
+ 3x |
2 |
|
− x |
3 |
= −6. |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.18. |
а) |
x1 + 2x2 + x3 = 8, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x1 + 3x2 − 3x3 = −5, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − 4x2 + 5x3 = 10. |
||||||||||
1.19. |
а) |
3x1 + 4x2 + 2x3 = 8, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 − 4x2 − 3x3 = −1, |
||||||||||
|
|
x |
|
+ x |
2 |
+ x |
= 0. |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
1.20. |
а) |
2x1 + 3x2 − x3 = 5, |
||||||||||
|
|
3x |
|
− x |
2 |
|
+ x |
3 |
= 4, |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
+ x |
2 |
+ x |
= 6. |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
1.21. |
а) |
2x1 − x2 = 0, |
|
|||||||||
|
|
|
|
+ 2x2 − x3 = −2, |
||||||||
|
|
x1 |
||||||||||
|
|
x |
2 |
+ x |
|
= −5. |
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1.22. |
а) |
x2 + 3x3 = −6, |
||||||||||
|
|
|
|
− 2x2 − x3 = 5, |
||||||||
|
|
x1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 + 4x2 − 2x3 = 13. |
68
б) |
x1 + x2 + x3 = 1, |
|||||
|
|
− x2 + 2x3 = −5, |
||||
|
x1 |
|||||
|
2x |
+ 3x |
3 |
= −2. |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
б) |
2x1 − x2 + 4x3 = 15, |
|||||
|
3x |
− x |
2 |
+ x = 8, |
||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
− 2x2 + 5x3 = 0. |
|||
|
5x1 |
|||||
б) |
3x1 − 3x2 + 2x3 = 2, |
|||||
|
|
|
− 5x2 + 2x3 = 1, |
|||
|
4x1 |
|||||
|
x |
− 2x |
2 |
= 5. |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
б) |
3x1 + 2x2 − 4x3 = 8, |
|||||
|
|
|
+ 4x2 − 5x3 = 1, |
|||
|
2x1 |
|||||
|
|
|
+ 6x2 − 9x3 = 2. |
|||
|
5x1 |
|||||
б) |
3x1 + x2 + 2x3 = −3, |
|||||
|
|
|
+ 2x2 + 5x3 = 5, |
|||
|
2x1 |
|||||
|
|
|
+ 3x2 + 7x3 = 1. |
|||
|
5x1 |
|||||
б) |
4x1 − 7x2 − 2x3 = 0, |
|||||
|
|
|
− 3x2 − 4x3 = 6, |
|||
|
2x1 |
|||||
|
2x − 4x |
2 |
+ 2x = 2. |
|||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
б) |
5x1 − 9x2 − 4x3 = 6, |
|||||
|
|
− 7x2 − 5x3 = 1, |
||||
|
x1 |
|||||
|
4x |
− 2x |
2 |
+ x = 2. |
||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
б) |
x1 − 5x2 + x3 = 3, |
|||||
|
3x |
+ 2x |
2 |
− x = 7, |
||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
4x |
− 3x |
2 |
= 1. |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
б) |
5x1 − 5x2 − 4x3 = −3, |
|||||
|
|
− x2 + 5x3 = 1, |
||||
|
x1 |
|||||
|
4x − 4x |
2 |
− 9x = 0. |
|||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
б) |
7x1 − 2x2 − x3 = 2, |
|||||
|
6x − 4x |
2 |
− 5x = 3, |
|||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
x |
+ 2x |
2 |
+ 4x = 5. |
||
|
1 |
|
|
|
3 |
1.23. |
а) |
x1 + 3x2 − x3 = −1, |
|||||||
|
|
|
|
− x2 + 5x3 = 9, |
|||||
|
|
x1 |
|||||||
|
|
2x + x |
2 |
− 2x = 3. |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1.24. |
а) |
5x1 + 8x2 − x3 = 7, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 − 3x2 + 2x3 = 9, |
|||||||
|
|
x |
|
+ 2x |
2 |
+ 3x = 1. |
|||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||
1.25. |
а) |
2x1 − x2 + 5x3 = 4, |
|||||||
|
|
5x + 2x |
2 |
+13x |
3 |
= 2, |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − x2 + 5x3 = 0. |
|||||||
1.26. |
а) |
4x1 + x2 − x3 = 6, |
|||||||
|
|
|
|
− x2 + 2x3 = −3 |
|||||
|
|
x1 |
|||||||
|
|
2x − 7x |
2 |
+ x = 0. |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1.27. |
а) |
2x1 − x2 = 0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
+ 2x2 − x3 = 1, |
|
||||
|
|
x1 |
|
||||||
|
|
x |
2 |
+ x |
= 0. |
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1.28. |
а) |
3x1 + 4x2 + 2x3 = 8, |
|||||||
|
|
|
|
+ 5x2 + 2x3 = 5, |
|||||
|
|
x1 |
|||||||
|
|
2x + 3x |
2 |
+ 4x = 3. |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1.29. |
а) |
x1 + x2 − x3 = −2, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 4x2 + 3x3 = 3, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − 2x2 + 5x3 = 13. |
|||||||
1.30. |
а) |
4x1 + 2x2 − x3 = 0, |
|||||||
|
|
|
|
+ 2x2 + x3 = 8, |
|||||
|
|
x1 |
|||||||
|
|
x |
2 |
− x |
= −3. |
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
б) |
4x1 − 3x2 + x3 = 3, |
||||||||
|
|
+ x2 − x3 = 4, |
|||||||
|
x1 |
||||||||
|
|
|
− 4x2 |
+ 2x3 = 2. |
|||||
|
3x1 |
||||||||
б) |
3x1 + x2 + 2x3 = 1, |
||||||||
|
|
|
+ 2x2 |
− 3x3 = 9, |
|||||
|
2x1 |
||||||||
|
x |
− x |
2 |
+ x = 2. |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
б) |
2x1 + 3x2 + 4x3 = 5, |
||||||||
|
|
+ x2 + 5x3 = 6, |
|||||||
|
x1 |
||||||||
|
|
|
+ 4x2 |
+ 9x3 = 0. |
|||||
|
3x1 |
||||||||
б) |
5x1 + 6x2 − 2x3 = 2, |
||||||||
|
|
|
+ 3x2 |
− x3 = 9, |
|||||
|
2x1 |
||||||||
|
|
|
+ 3x2 |
− x3 = 1. |
|||||
|
3x1 |
||||||||
б) |
4x1 − 9x2 + 5x3 = 1, |
||||||||
|
7x |
− 4x |
2 |
+ x |
3 |
= 11, |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ 5x2 |
− 4x3 = 5. |
|||||
|
3x1 |
||||||||
б) |
3x1 + 4x2 + x3 = 2, |
||||||||
|
|
+ 5x2 − 3x3 = 4, |
|||||||
|
x1 |
||||||||
|
2x |
− x |
2 |
+ 4x |
3 |
= 5. |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
б) |
2x1 + 8x2 − 7x3 = 0, |
||||||||
|
|
|
− 5x2 |
+ 6x3 = 1, |
|||||
|
2x1 |
||||||||
|
4x |
+ 3x |
2 |
− x |
|
= 7. |
|||
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
||
б) |
3x1 − 5x2 + 3x3 = 4, |
||||||||
|
|
+ 2x2 + x3 = 8, |
|||||||
|
x1 |
||||||||
|
2x − 7x |
2 |
+ 2x = 1. |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
Задание 2. Найти 1) прAC AB , 2) площадь треугольника с вершинами в
точках А, В, С.
2.1. |
А(7,1,4), |
В(9,–2,0), |
С(0,3,–3). |
2.2. |
А(3,1,4), В(–3,–1,0), |
С(2,1,–3). |
2.3. |
А(2,1,0), |
В(3,–1,–4), |
С(0,2,–2). |
2.4. |
А(3,–1,–1), В(3,1,4), |
С(1,0,5). |
69
2.5. А(2,1,–1), |
В(7,–1,3), |
С(0,3,3). |
2.6. А(2,–3,7), В(–3,–1,5), |
С(9,0,1). |
|||||||
2.7. А(7,–3,4), |
В(3,2,–1), |
С(4,1,1). |
2.8. А(1,1,0), В(2,1,–4), С(0,1,0). |
||||||||
2.9. А(1,–1,4), |
В(2,3,–4), |
С(1,0,–5). |
2.10. А(2,–4,7), |
В(8,1,0), С(–1,–3,0). |
|||||||
2.11. А(1,–1,0), |
В(0,1,7), |
С(–1,–2,–3). |
2.12. А(0,9,–3), |
В(1,3,4), С(0,2,–5). |
|||||||
2.13. А(1,–1,3), |
В(2,–2,4), |
С(1,0,1). |
2.14. А(2,–2,–3), |
В (–1,–4,7), С(0,4,–3). |
|||||||
2.15. А(1,0,0), В(–3,1,–1), |
С(1,–2,–3). |
2.16. А(1,3,7), В(7,3,–5), С(–1,–4,0). |
|||||||||
2.17. А(1,–1,1), |
В(0,1,0), |
С(1,4,–5). |
2.18. А(2,–2,3), |
В(1,–1,4), |
С(0,1,–1). |
||||||
2.19. А(2,0,–1), |
В(1,–1,1), С(0,1,7). |
2.20. А(1,–1,3), |
В(2,1,–4), |
С(0,1,0). |
|||||||
2.21. А(1,–2,2), |
В(2,0,1), С(1,4,–7). |
2.22. А(1,2,–3), |
В(2,–1,4), |
С(2,3,–4). |
|||||||
2.23. А(7,9,–3), |
В(1,0,–1), С(0,3,0). |
2.24. А(1,–2,0), |
В(2,4,–1), |
С(7,1,0). |
|||||||
2.25. А(3,–1,4), |
В(–4,2,3), С(0,1,–1). |
2.26. А(6,–3,0), |
В(3,0,1), С(2,–4,3). |
||||||||
2.27. А(4,5,–1), |
В(6,–4,2), С(0,3,–1). |
2.28. А(3,–1,2), |
В(3,6,–4), |
С(0,1,–1). |
|||||||
2.29. А(1,1,–1), |
В(3,4,0), С(0,5,–2). |
2.30. А(1,0,2), В(3,4,7), С(5,–1,1). |
|||||||||
Задание 3. Найти угол (в градусах) между прямой |
x −1 |
= |
y + 3 |
= |
z +1 |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
3 |
|
и плоскостью, проходящей через точки M1, M 2 , M 3 .
3.1.M1(1,–3,4),
3.2.M1(1,1,4),
3.3.M1(1,2,–1),
3.4.M1(1,2,3),
3.5.M1(1,3,–1),
3.6.M1(1,–2,–1/2),
3.7.M1(1,1,4),
3.8.M1(–13,3,2),
3.9.M1(1,–1,–3),
3.10.M1(2,3,–10),
3.11.M1(1,1,4),
3.12.M1(2,1,–3),
3.13.M1(1,0,1),
3.14.M1(–5,–1,1),
3.15.M1(2,1,3),
3.16.M1(2,3,1),
3.17.M1(–1,0,1),
3.18.M1(2,–2,9),
3.19.M1(1,2,–1),
3.20.M1(1,–2,1),
3.21.M1(1,–2,–5),
3.22.M1(1,3,4),
3.23.M1(1,–1,0),
3.24.M1(–1,2,0),
3.25.M1(1,2,3),
3.26.M1(–1,1,0),
3.27.M1(2,–3,5),
M2(0,–2,–1), |
M3(1,1,–1). |
M2(–2,1,1), |
M3(1,3,6). |
M2(–1,0,4), |
M3(–2,–1,1). |
M2(4,–1,–2), |
M3(4,0,3). |
M2(–3,1,–9), |
M3(1,0,–7). |
M2(2,1,3), |
M3(0,–1,–1). |
M2(2,–1,0), |
M3(3,2,1). |
M2(–3,–2,–4), |
M3(0,0,–3). |
M2(0,6,1), |
M3(2,2,–2). |
M2(1,–1,–9), |
M3(0,–1,–4). |
M2(2,0,2), |
M3(0,3,3). |
M2(1,1,0), |
M3(–1,2,7). |
M2(0,0,2), |
M3(1,1,1). |
M2(–2,0,1), |
M3(–1,1,0). |
M2(0,0,4), |
M3(1,1,1). |
M2(4,–4,–2), |
M3(1,0,0). |
M2(3,–2,–1), |
M3(–4,–1,2). |
M2(–2,0,1), |
M3(–4,1,3). |
M2(2,3,–10), |
M3(0,4,1). |
M2(0,–1,2), |
M3(2,–1,–1). |
M2(2,3,2), |
M3(–1,0,5). |
M2(0,1,2), |
M3(2,5,0). |
M2(–3,–4,1), |
M3(–1,–1,2). |
M2(6,3,1), |
M3(–15,0,2). |
M2(2,4,1), |
M3(2,0,–3). |
M2(3,–4,5), |
M3(–2,0,2). |
M2(1,–2,12), |
M3(4,–1,7). |
70
3.28.M1(3,–1,2),
3.29.M1(1,3,1),
3.30.M1(1,–1,1),
M2(4,–1,–1), |
M3(2,0,2). |
M2(4,0,7), |
M3(–2,1,2). |
M2(5,4,–2), |
M3(–1,–2,2). |
Задание 4. Упростить уравнение кривой и изобразить ее на рисунке.
4.1.x2 + 2 y 2 − 2x + 8y + 7 = 0
4.2.9x2 + y 2 − 36x + 2 y + 28 = 0
4.3.x2 + 8x + 2 y + 20 = 0
4.4.4x2 + 9 y 2 − 40x − 36 y +100 = 0
4.5.x2 − y 2 + 2x + 6 y −12 = 0
4.6.x2 + y 2 + 4x −10 y + 20 = 0
4.7.9x2 + 4 y 2 − 54x − 32 y +109 = 0
4.8.25x2 − 9 y 2 −150x − 72 y −144 = 0
4.9.2x2 + 8x − y +12 = 0
4.10.9x2 + 4 y2 −18x = 0
4.11.x2 − 4 y 2 − 4x + 40 = 0
4.12.x2 − 4 y 2 + 6x +16 y −11 = 0
4.13.9x2 +10 y 2 + 40 y − 50 = 0
4.14.9x2 −16 y 2 −18x + 64 y + 89 = 0
4.15.x2 + 4 y 2 − 6x + 8y = 3
4.16.x2 + 4 y2 + 2x = 0
4.17.4x2 − y 2 − 24x − 6 y + 43 = 0
4.18.x = 2 y 2 −12 y +14
4.19.y 2 + 4 y = 2x
4.20.2x2 − 5y 2 + 4x + 40 y − 58 = 0
4.21.4x2 − 9 y 2 + 4x = 0
4.22.x2 − 8x + y +15 = 0
4.23.3x2 + 4 y 2 + 30x − 24 y + 99 = 0
4.24.3x2 − 4 y2 +18x +15 = 0
71
4.25.9x2 −16 y 2 − 54x − 64 y −127 = 0
4.26.y 2 − 6x + 6 y + 27 = 0
4.27.5x2 + 9 y2 − 30x +18y + 9 = 0
4.28.4x2 + 8x − y + 7 = 0
4.29.y 2 + 2x − 4 y +14 = 0
4.30.x2 − 5x − y + 7 = 0
Задание 5. Найти пределы функций:
5.1. |
|
lim |
3x3 |
− 5x2 + 2 |
|
|||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→∞ 2x3 |
− 4x2 − x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x −1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x→∞ 2x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.2. |
|
lim |
|
x2 |
+ 3x + 2 |
|
||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x→−1 3x2 |
|
+ 4x +1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
e x − |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x→0 x |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|||||||||
5.3. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4 |
|
|||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→0 |
|
|
x2 +16 − 4 |
|
||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
x sin 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x→0 1 − cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.4. |
|
lim |
|
|
|
|
x3 − 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x→3 |
|
|
3x |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
lim |
cos x − cos3 x |
|
||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.5. |
а) |
lim |
|
(x +1)3 − (x −1)3 |
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x→∞ (x + 2)2 + (x +1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
1− x2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
e− x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
б) |
lim |
1− cos x |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 x sin 3x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
ln(x2 − 3) |
|||||||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→2 x2 + 3x |
−10 |
||||||||||||||||||||
б) |
lim |
|
cos x − cos 3 |
x |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
1 − 1− x2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) |
lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim |
5x3 + x2 − 6 |
||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ 2x4 − x + |
12 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
||||||||||||||||
г) |
lim cos |
|
. |
|||||||||||||||||||
x2 |
||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2x + 5 |
5x |
||||||||||||||||
б) |
lim |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
г) |
lim |
x + 2 ln x |
. |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
lim |
1− cos 3x |
; |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
2x tg 4x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
− x |
|
|
|
|
|
||||
г) |
lim (cos x)2 . |
|||||||||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.6. а) lim |
|
x3 − 64 |
|
; |
|
2 − 27x |
|
||
x→4 7x |
− 4 |
в) lim 1− cos 2x ; x→0 x sin 3x
5.7. |
а) |
lim |
|
3x3 |
− 2x +1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x→∞ 5x2 − x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
2x2 |
− 9x − 5 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x2 − 4x − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x→5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.8. |
а) |
lim |
|
3x2 |
− x −10 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− x − 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x→2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
1− cos 7x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
2x tg 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5.9. |
а) |
lim |
|
|
|
2x2 |
+ x − 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x→1 3x2 − 2x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
1+ sin x |
|
1− sin x |
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 3x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5.10. а) |
lim |
|
|
|
|
x3 + 5x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− 3x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ 2x4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1− e− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln 1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.11. а) |
lim |
|
5x2 |
− 3x +1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x→∞ 7x2 + x − |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
+1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.12. а) |
lim |
|
|
x |
2 |
− 2x |
− |
|
1 − |
x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 7x + 3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) |
lim |
tg x − sin x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
lim ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
); |
|
|
||||||||||
б) |
|
|
|
|
x + 2 |
x |
||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
lim (1− x)ln(1− x). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→1−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
lim |
|
cos x − cos 2 |
x |
; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
2 − |
4 − x2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x +1 x+1 |
||||||||||||||||||||||
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
lim x2e |
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
11x5 − 5x2 −1 |
||||||||||||||||||||||||
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ 20x4 − 4x + 8 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
lim(3x + x)x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x −1 |
||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 cos 2x − cos 5x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
lim(5 − 2x) |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
г) |
x−2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
x2 − 3x + 2 |
||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→2 |
|
|
5 − x − x +1 |
||||||||||||||||||||||||
г) |
lim x2 sin |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
lim |
|
|
4x2 − 5x − 21 |
||||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→3 2x2 − 3x − |
9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
г) |
lim(1− x)ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.13. а) |
lim |
|
5x2 + 9x − 44 |
|
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 + 5x −12 |
|
|||||||||||||||||||
|
x→−4 2x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в) |
lim |
ln(1+ x) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 |
|
3x −1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.14. а) |
lim |
|
x − x2 + 3x3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ 4x3 − 2x2 +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
lim |
1− cos x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 x2 − sin x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.15. а) |
lim |
|
|
|
x3 |
− x − 6 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→2 3x2 |
− x −10 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−x |
|
|
|
|||||||||
в) |
lim(1− 4x) x ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.16. а) |
lim |
4x2 −12x +17 |
|
; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
5x2 + 3x +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
в) |
lim |
cos 5x − cos 2x |
; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|||||||||||||||
5.17. а) |
lim |
|
|
|
|
20 + x − x2 |
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−11x − 20 |
|
||||||||||||||||||
|
x→5 3x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в) |
lim |
1− cos 5x |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 |
|
3x tg 3x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||||||||
5.18. а) |
lim |
|
|
|
|
|
2 − x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1 |
|
|
5 − x − 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
в) |
lim |
|
1 − sin x |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→ |
π |
π |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
− x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5.19. а) |
lim |
|
|
|
7x5 − 3x2 +1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
2x3 + x4 + |
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ 5 + |
3x5 |
|||||||||||||||||||||||
в) lim |
(x + 2)(ln(2x +1)− ln(2x −1)); |
||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
|
lim |
3x3 + x2 −1 |
|
|||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ 4x4 + x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
г) |
lim (sin x)tg x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→5 x − 5 |
|
|
|
x2 − x − 20 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
lim(x + e2x )x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
|
4 + 5x2 − 4x3 |
|
||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
8 − 6x + x5 |
|
|||||||||||||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
|
ln(1+ x2 ) |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 cos 3x − e− x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
2x2 − 9x + 4 |
|
||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→4 |
|
|
5 − x − |
x − 3 |
|
||||||||||||||||||||
г) |
lim (1+ x)ctg x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
x + x2 + 3x3 |
|
|||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ x2 + 2x − |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
lim |
ln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1 1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
−4x |
|
|||||||||||||
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→∞ |
1+ 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
г) |
lim |
|
|
ln 2x ln(2x −1). |
|
|||||||||||||||||||||
|
x→ |
1 |
+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
lim |
|
|
x3 +1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→−1 x3 − x2 − |
2x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 − e− x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 sin x + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.20. а) |
lim |
|
|
|
x2 − 4x + 3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→1 2x2 + x − 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
lim |
1− x2 |
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 cos 3x |
− cos 5x |
|||||||||||||||||||
5.21. а) |
lim |
x3 + 2x2 − 5 |
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ 4x2 − x +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
в) lim (x − 4)(ln(2 − 3x)− ln(5 − 3x)); |
|||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|||||||||
5.22. а) |
lim |
|
2x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→2 |
x3 − 8 |
|
|
|
||||||||||||||||
в) |
lim |
|
|
|
5x2 |
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 cos3 2x − cos 2x |
||||||||||||||||||||
5.23. а) |
lim |
6x2 − 5x +1 |
|
; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
8x3 |
−1 |
|
|
||||||||||||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
lim(1+ tg 2 |
|
|
|
|
|
)x |
|
|
|
|||||||||||
в) |
|
|
|
x |
; |
|
|
||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.24. а) |
lim |
|
|
3x3 |
+ x |
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ x4 − 3x2 +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
в) |
lim |
1 − cos 4x |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→0 1 − cos 7x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
||||||||
5.25. а) |
lim |
|
|
x2 + 9 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
x2 +1 −1 |
|
|
|
||||||||||||||
в) lim |
(2x + 5)(ln(x − 2)− ln(x −1)); |
||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75
|
lim |
|
|
|
4x3 + 2x2 − 3 |
|||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ 3x4 |
+ x3 + 2x2 +1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
lim (x + 3x )x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim |
|
x2 − 8x +15 |
|||||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
− 9x − |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→5 2x2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
e3x |
− 3x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 sin 2x − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5x −1 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ 5x |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 − sin 2 |
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1 |
(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
− 7x + 4 − 2x ; |
||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
lim |
π − 2 arctg x |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim (ctg x) |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
г) |
ln x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim |
|
2x4 − x + 7 |
|||||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ 5x4 |
+ x2 +11 |
||||||||||||||||||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
x − sin x |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 e x − e− x − 2x |
5.26. а) |
lim |
|
x3 −100x2 +1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→∞ 100x2 +15x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
lim |
(1− cos x)2 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.27. а) |
lim |
|
|
|
4 + x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→−3 5 − |
|
22 − x |
|
|
|||||||||||||||||||
в) |
lim |
(3x +1)(ln(1 − 3x)− ln(5 − 3x)) ; |
||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.28. а) |
lim |
|
(x + 2)2 + (x −1)2 |
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
(x +1)3 − (x −1)3 |
||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
x arcsin 3x |
|
|
||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 cos 2x − cos 6x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
||||||||||||
5.29. а) |
lim |
|
|
|
|
|
2 + x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→−1 x3 − 4x2 − |
5x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
+ 4 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ x2 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.30. а) |
lim |
|
|
|
|
|
x3 + x − 2 |
; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→∞ 7x4 + 3x3 + x −1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
2 arcsin 3x |
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
1+ sin x − |
|
|
|
1 − sin x |
|
lim |
|
x3 − x2 − x +1 |
|||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
x3 + x − |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim (e x + x) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
3x4 + 9x3 |
−12 |
|||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||
|
x→∞ 4x3 + x2 |
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
− |
|
1 |
|||||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 x sin x x2 |
|
||||||||||||||||||
|
lim |
x3 + 2x2 − 8x |
||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→2 |
1 − 3 − x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
г) |
lim |
|
− arctg x . |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
2x3 + 4x2 + x − 3 |
||
б) |
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
5x2 + 2x −1 |
||
г) |
lim |
|
ln(x −1)ln x . |
||
|
x→1+0 |
||||
|
lim |
2x3 − 5x2 − 9 |
|||
б) |
|
; |
|
||
|
|
||||
|
x→3 |
|
x2 + x −12 |
||
г) |
lim (lnctg x)tg x . |
||||
|
x→+0 |
Задание 6. Исследовать функции на непрерывность и установить характер точек разрыва, если таковые имеются. В пункте б) дополнительно построить график функции.
|
x +1 |
|
|
1, |
|
x < 0, |
|
6.1. а) f (x) = |
; |
б) f (x) = |
2 x |
, |
0 < x ≤ 2, |
||
|
|||||||
|
x2 + 2x |
|
|
|
|
||
|
|
x + 3, x > 2. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
76
1
6.2. а) f (x) = 21− x ;
6.3. а) f (x) = |
|
x + 4 |
|
|
; |
|
|
|
|||||
x2 |
|
|
|
|||
|
+ 4x |
6.4.а) f (x) = sin(x + 2) ;
x2 + x − 2
6.5. а) f (x) = x3 + 8 ; x2 + 2x
6.6.а) f (x) = ln(1+ x) ;
x2 − x
6.7. |
а) |
f (x) = |
|
2 |
|
; |
|
|
|
1+ 31/ x |
|
|
|||||||
6.8. |
а) |
f (x) = |
|
x2 − 2x +1 |
; |
||||
x4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
− x3 − x2 + x |
||||||
6.9. |
а) |
f (x) = |
1− cos x |
|
; |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||
6.10. а) |
f (x) = |
|
2 |
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
1− x |
, |
|
x ≤ 0, |
|||||||||
б) f (x) = |
|
|
|
|
< x ≤ 3, |
|||||||||
0, 0 |
||||||||||||||
|
x − 3, |
|
|
|
x > 3. |
|||||||||
|
|
|
x < 0, |
|||||||||||
|
2, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ π, |
||||||
б) f (x) = cos x, |
|
|
|
|||||||||||
|
1− x, |
|
x > π. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ln x, |
|
0 < x ≤ 1, |
|||||||||||
б) f (x) = x −1, 1 < x ≤ 4, |
||||||||||||||
|
x2 −10, |
|
x > 4. |
|||||||||||
|
|
+1, − ∞ < x ≤ 0, |
||||||||||||
|
x2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|||
б) f (x) = tg x, 0 < x ≤ |
, |
|||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||
|
1, |
|
x > |
π |
. |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
, −1 ≤ x ≤ 1, |
|||||||||
|
1− x2 |
|||||||||||||
б) f (x) = |
x −1, 1 < x ≤ 3, |
|||||||||||||
|
− |
|
, |
|
|
|
x > 3. |
|||||||
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− ∞ < x ≤ π, |
|||||||
|
sin x, |
|
|
|||||||||||
б) f (x) = x − π, π < x ≤ 2π, |
||||||||||||||
|
cos x, |
|
|
|
x > 2π. |
|||||||||
|
|
|
x ≤ 0, |
|||||||||||
|
1, |
|
||||||||||||
б) f (x) = |
|
, 0 < x ≤ 1, |
||||||||||||
3x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2x + 2, |
x > 1. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) f (x) = |
− x, |
|
x ≤ 0, |
|||||||||||
ln x, 0 < x ≤ e, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x − e, |
|
|
|
x > e. |
|||||||||
|
−1, |
x < 0, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ π, |
||||||
б) f (x) = cos x, |
|
|
|
|||||||||||
|
1− x, |
|
x > π. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77
6.11.а)
6.12.а)
6.13.а)
6.14. а)
6.15. а)
6.16.а)
6.17.а)
1
f (x) = e 2 x+4 ;
f (x) = |
arcsin x |
; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 - x |
|
|
|||||||||||
f (x) = |
|
1 |
|
- |
2 |
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
- x |
1- x2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
1 |
- 3 |
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
+ 3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (x) = arctg |
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
x -1 |
|
f(x) = x + 8 - 3 ;
x2 -1
( ) = sin(x2 -1) f x ;
x3 - x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 £ x < 1, |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
x , |
|
|
|
|||||||||||
б) f (x) = x2 +1, 1 < x £ 2, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
+ 3, |
|
|
|
|
|
x > 2. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x +1, |
|
|
|
x £ 0, |
|
|
|||||||||||||
б) f (x) = |
4 x , 0 < x £ 1, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- x |
2 |
, |
|
|
|
|
x > 1. |
|
|
|||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 - x |
2 |
, |
- 2 £ x £ 2, |
||||||||||||||
б) f (x) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
- 2, 2 < x £ 4, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 4. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- 2 x , |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 £ x £ |
p |
|||||||
|
tg x, |
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) f (x) = |
2 |
|
x, |
|
|
|
|
|
p |
< x < p, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x ³ p. |
|||||||||
|
sin x + 2, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 +1, - ¥ < x £ 1, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) f (x) = |
2 |
, 1 < x < 4, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x - 2 |
, |
|
|
|
|
x > 4. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
+1, |
|
|
|
|
x £ 0, |
|
|
||||||||||
б) f (x) = |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3x , 0 < x £ 2, |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- x, |
|
|
|
x > 2. |
|
|
||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x +1, |
|
|
|
- ¥ < x £ 3, |
|||||||||||||||
б) f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x - 7, 3 < x £ 4, |
||||||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 4. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
x , |
|
|
|
|
78
6.18.а)
6.19.а)
6.20.а)
6.21.а)
6.22.а)
6.23.а)
6.24.а)
6.25.а)
1
f (x) = 5 x−3 ;
f (x) = e x - e− x ; x
f (x) = |
tg(x -1) |
|
; |
|
x2 - 3x + |
2 |
|||
|
|
f(x) = 7 + x - 3 ;
x2 - 4
f(x) = ln(1+ 2x) ;
x2 - 3x
f(x) = x2 - 5x + 6 ;
x2 - 2x
f (x) = |
1 - cos x |
; |
|
3x2 - x3 |
|||
|
|
f (x) = 1 ;
1
1+ 4 x−1
б) f (x) = |
cos x, |
x < 0, |
||||||||||||||||
1 - x, 0 < x £ 3, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- 5, |
x > 3. |
||||||||||||||
|
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x £ 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||
б) f (x) = tg x, 0 < x < |
, |
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
- |
|
|
x ³ |
|
p |
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
, |
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x, |
|
|
|
x £ 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) f (x) = x2 , 0 < x £ 1, |
||||||||||||||||||
|
|
2 |
+1, |
x > 1. |
||||||||||||||
|
x |
|
||||||||||||||||
|
x + 2, |
x £ 1, |
||||||||||||||||
б) f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x , 1 < x < 2, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ³ 2. |
||||||||
|
- x + 5, |
|||||||||||||||||
|
sin x, |
x £ 0, |
||||||||||||||||
б) f (x) = x2 , 0 < x £ 1, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1, |
x > 1. |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
- x2 , |
x £ 1, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x, 1 < x £ e, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3x + 4, x > e. |
|||||||||||||||||
|
x, |
|
|
|
x £ 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) f (x) = |
- |
|
|
, 0 < x £ 4, |
||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - 4)2 |
, x > 4. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x £ 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) f (x) = ctg x, |
0 < x £ |
, |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
- |
|
|
x > |
p |
||||||||||||
|
x |
|
|
|
, |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
79
6.26. а) f (x) = |
|
|
x - 2 |
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
||||||
x2 - 2x |
|||||||
|
|
( ) x2 + 2x
6.27. а) f x = x2 ( x + 3 -1) ;
6.28. а) f (x) = arcsin(x +1) ; x2 + x
6.29.а) f (x) = x3 - 3x + 2 ;
x- x3
6.30.а) f (x) = e2 x -1 ;
x2 + 3x
Задание 7. Найти dy функций.
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||
7.1. |
а) |
y = ln tg |
2x +1 |
; |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
|
в) |
x y - y x |
= 0 ; |
|
|
|
||||
7.2. |
а) |
y = sin 2 |
|
|
x |
ctg |
x |
; |
||
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
в) |
y 2 cos x = 4 sin 3x ; |
sin x, |
x £ 0, |
|||||||||||||
б) f (x) = x2 - 3, 0 < x < 2, |
||||||||||||||
|
-1, |
x ³ 2. |
||||||||||||
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
x < 0, |
||||||||||
-1, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|||||
б) f (x) = tg x, 0 £ x £ |
, |
|||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
4 |
|
|
|
x > |
p |
|||||||||
|
|
|
|
|
x, |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x £ 0, |
||||||||||
- x2 , |
||||||||||||||
б) f (x) = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
, 0 < x £ 1, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
-1, |
x > 1. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
- x, |
x £ 0, |
|||||||||||||
|
|
|
|
, 0 < x £ 1, |
||||||||||
б) f (x) = 1 - x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln x, |
x > 1. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(x + 2)2 , x £ -2, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) f (x) = |
|
4 - x2 , - 2 < x £ 0, |
||||||||||||
|
|
|
|
> 0. |
|
|
|
|
||||||
x, x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
y = x |
ln x |
; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
x = arcsin t; |
y = 1- t 2 . |
||||||||
|
y = ( |
|
)3 |
|
; |
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|||||
б) |
x |
|
|
|
||||||
г) |
x = 2 cos2 t; |
y = 2 sin 2 t . |
80
7.3. |
а) |
y = |
x |
arcsin |
|
x |
+ |
|
1 - x |
; |
|
б) |
y = xarcsin x ; |
|
|
|
|||||||||||
|
в) |
x4 - 6x2 y 2 + 9 y 4 - 5x2 +15 y 2 -100 = 0 ; |
|
г) x = t 2 + 2; |
y = |
1 |
t 3 -1 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.4. |
а) |
|
3x |
2 |
+ |
9x |
4 |
|
|
|
|
б) |
y = x |
ln x |
; |
|
|
|
|
||||||||
y = ln |
|
|
|
+1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
sin(y - x2 )- ln(y - x2 )+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
в) |
y - x2 - 3 = 0 ; |
|
г) |
x = cos3 t; |
y = sin t . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
7.5. |
а) |
y = tg |
x |
+ |
2 cos x |
; |
|
|
|
|
б) |
y = (ln x) x |
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в)
7.6.а)
в)
7.7.а)
в)
xy 2 - 3 y + 2x3 = 0 ;
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1+ sin x |
|
|||
y = ln |
|
|
; |
||
|
|
||||
1 |
- sin x |
e x + e y - 2 xy - 3 = 0 ;
y = arctg |
|
1 - x |
|
|
|
|
; |
||
1 + x |
г)
б)
г)
б)
x = 1 + et ; y = t + e−t .
y = (x +1)8 (x - 3)2 ;
(x + 2)5
x = 5t 2 ; y = 4t 3 + tg t .
= ( )cos x
y sin x ;
x2 sin y + y3 cos x - 2x - 3y +1 = 0 ; г) x = 11cos2 t; y = 11sin 2 t .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
y = (sin x)arcsin x ; |
||
7.8. |
а) |
y = arc cos |
1- e x + |
|
; |
б) |
|||||||||||||||||
x4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
в) |
e y + xy = 3 ; |
|
|
|
|
г) |
x = et cos t; |
y = et sin t . |
||||||||||||||
7.9. |
а) |
y = arcsin |
|
2x3 |
; |
|
|
|
|
б) |
y = xsin x ; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
= 0 ; |
|
|
|
|
|
x = 2(t - sin t ); y = 2(1- cos t ) . |
|||||||||
|
в) |
+ e |
x |
- 3 |
|
|
|
|
|
г) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.10. а) |
y = ln |
|
|
x2 +1 |
-1 |
; |
|
|
|
|
б) |
y = x2e x2 |
sin 2x ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
y = ln(1 - t 2 ). |
||||||||
|
в) |
x4 + y 4 = x2 × y 2 ; |
|
|
|
|
г) |
x = arcsin t; |
|||||||||||||||
|
y = log2 (sin 2 x)- 3x 2 |
|
|
y = (sin x)tg x ; |
|||||||||||||||||||
7.11. а) |
|
1+ x |
; |
б) |
|||||||||||||||||||
|
в) |
x sin y + y sin x = 0 ; |
|
|
|
|
г) |
x = ln(1 + t 2 ); |
y = t - arctg t . |
81
|
|
|
|
|
|
|
б) y = (x2 + 3x −1) |
4 |
7.12. а) y = arcsin |
|
sin x |
|
|
|
x |
||
|
|
|
; |
; |
||||
|
+ sin 2 |
|
||||||
1 |
x |
|
|
в) |
|
x2 |
+ |
y2 |
= 1; |
|
|
|
25 |
|
|
|
|||||
|
9 |
|
|
|
|
|||
7.13. а) |
|
y = arctg(x +1)+ |
|
x +1 |
; |
|||
|
x2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+ 2x + 2 |
||
в) |
2 y ln y = x ; |
|
|
7.14.а) y = 5(x + 4)2 arcsin 7x2 ;
в) ln y − xy = 5 ;
7.15.а) y = e x − sin e x cos3 e x ;
в) x + y = 7xy ;
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
7.16. а) |
y = ln 1− |
|
|
|
|
+ |
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
||||||
в) |
xy = arctg |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 + ctg3 (2x − 3) |
||||||||||||||
7.17. а) |
y = |
ln( |
|
|
|
|
|
|
+ 2) |
|
; |
|
||||
|
|
|
x |
|||||||||||||
в) |
y 2 − 5cos2 x + tg y = 0 ; |
|||||||||||||||
7.18. а) |
y = ln tg |
x |
+ cos x + |
1 |
cos2 x ; |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
в) |
e x sin y − e y cos x = 0 ; |
г) x = ln t; y = t 2 −1 .
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = (x +1) x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x = arccos |
|
|
|
y = |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
t − t 2 |
|||||||||||
г) |
|
t ; |
||||||||||||||
|
y = ( |
|
|
)cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
|
x |
; |
|
|
|
|
|||||||||
г) |
x = t − ln sin t; |
y = t + ln cos t . |
||||||||||||||
б) y = x2e x2 |
ln x ; |
|||||||||||||||
г) |
x = 4t cos t; |
|
|
|
y = 4t sin t . |
|||||||||||
б) y = |
(x − 2)2 3 |
|
|
; |
||||||||||||
x +1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(x − 5)3 |
|||||||||||
г) |
x = arctg t; |
|
|
y = ln(1+ t 2 ). |
||||||||||||
б) |
y = (arctg x)ln x ; |
|||||||||||||||
г) |
x = tg t; |
y = ctg t . |
||||||||||||||
б) |
y = (ln x)x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) |
x = |
|
|
1 |
|
; |
|
y = tg t . |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
cos t
7.19. а) |
y = arccos(2e2 x −1); |
б) |
y = x sin x |
1 − e x |
; |
||
в) sin(xy)+ cos(xy) = 0 ; |
г) |
|
|
|
|||
x = 2 sin t + sin 2t; y = 2 cos t + cos 2t . |
|
|
|
||||
|
y = 3 |
|
+ e− cos x sin 2x ; |
|
y = (arccos3x)lg(5x−1) ; |
||
7.20. а) |
5x4 − 2x −1 |
б) |
|||||
в) |
y = cos(x + y); |
г) |
x = arcsin t; |
y = arccost . |
82
7.21. а) |
y = ln |
|
|
|
|
x2 |
+ 2x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
x |
+1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
в) x |
|
+ y |
|
= 4 |
|
y ; |
|
|||||||||||
3 |
3 |
3 |
|
|||||||||||||||
7.22. а) |
y = lntg |
e2sin x |
|
; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
x − y = arcsin x − arcsin y ; |
|||||||||||||||||
7.23. а) |
y = |
|
|
|
e3x |
|
+ lg 2 |
(1 + sin x); |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3x2 − 4x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) e y − e− y − 2xy = 0 ;
7.24.а) y = arctg 3x − x3 ;
1− 3x2
в) 2x + 2 y = 2x+ y ;
7.25.а) y = 2x + 1(ln(2x + 1)− 2);
в) |
arctg |
y |
= ln |
x2 + y 2 |
; |
|
|
||
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
||||
7.26. а) |
y = sin 3 e x cos ex − |
|
|
ln x |
|||||
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
1− x4
x
в) |
x + y = e y ; |
||
7.27. а) |
y = |
arctg x |
− ln |
|
|||
|
2 |
|
|
в) |
x2 + y 2 = 25 ; |
x= cos t + t sin t;
7.28.а) y = e x 1 − e2 x
в) cos(xy) = x ;
x
;
1 + x2
y= sin t − t cos t .
−arcsin e x ;
б) y = |
(x + |
1)3 4 |
|
|
|
|
; |
||
x − 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 (x − 3)2 |
|||||||
г) |
x = 6 cos3 t; |
y = 6 sin3 t . |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
б) |
y = (cos x) |
x2 |
|
; |
|
|
|
г) x = 1+ e4t ; y = 4t + e−4t .
б) y = 9 |
(x + 3)ln(2x − 3) |
; |
|||
(x − 3)2 |
|||||
|
|
||||
г) x = tet ; y = t 2 + 2t . |
|
||||
1 |
|
|
|||
б) y = (ctg x) |
|
; |
|
||
x |
|
г) |
x = t 2 + 2t; y = ln(t + 1). |
|||||||||
б) y = 2(x3 − 4) |
|
|
; |
|
|
|
||||
x |
||||||||||
г) |
x = 2 cos t; |
y = sin t . |
||||||||
б) y = |
(x − 7)10 |
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
3x −1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 (x + 3)5 |
г) x = 2t − t 2 ; y = 3t − t 3 .
б) y = |
|
x |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
+ x |
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
б) y = |
(x2 + 3)(x2 − 3)2 |
; |
|||||
|
|
|
(x + 5)4 |
||||
|
|
|
|
|
|||
г) x = e2t ; |
y = e3t . |
|
83
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x2 +1) |
|||
7.29. а) |
y = 3 arcctg 2x + 4− x ln5 (x + 2); |
|
y = 3 |
|||||||||
б) |
|
|
; |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 −1)2 |
|||
в) |
x − y = exy ; |
г) |
x = 2 sin t; |
y = 4 cos2 t . |
||||||||
7.30. а) |
y = − |
1+ ln cos x |
; |
б) |
y = (x2 +1)sin x ; |
|||||||
|
||||||||||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
||
в) y3 − 3yx + 6x2 = 0 ; |
г) x = t 2 + 2t − 3; y = t + t 3 . |
Задание 8. Исследовать функцию и построить ее график.
8.1.y = x2 −1 .
x2 +1
8.4. y = |
x |
||
|
|
. |
|
(1+ x)3 |
|||
8.7. y = |
4x3 |
. |
|
|
|||
|
1 − x3 |
8.10. y = 4x3 + 5 .
|
|
|
x |
||
8.13. y = |
|
|
x3 |
||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
2 −1 |
||
8.16. y = |
|
|
x4 |
||
|
|
. |
|
||
1 − x2 |
|||||
8.19. y = |
2 |
− 4x2 |
. |
||
|
|
||||
|
1 |
− 4x2 |
8.22. y = x3 + 2 .
|
2x |
|
8.25. y = |
x3 |
|
|
. |
|
(x − 2)2 |
8.28. y = x4 + 1 . x2
8.2. y = x2 + 1 . x
8.5. y = (x −1)ex .
8.3.y = 1 − x2 .
x2
8.6. y = |
x3 |
|
|
. |
|
1− x2 |
8.8. y = |
x |
|
|
. |
|
1 + x2 |
8.11. y = x2e− x .
8.14. y = x3 − 6x2 +16 .
8.17. y = ln(4 − x2 ).
8.20. y = x1− x2 .
8.9.y = x2 .
x−1
8.12.y = 4x2 + 1 .
|
|
x |
|||
8.15. y = |
|
x2 |
. |
|
|
|
|
||||
|
1 − x |
||||
8.18. y = |
|
x4 |
|||
|
|
. |
|
||
|
|||||
|
|
x3 −1 |
|||
8.21. y = |
|
x3 |
|||
|
|
. |
|||
|
2(1+ x)2 |
8.23. y = |
|
x |
8.24. y = |
|
x3 |
||||
|
|
. |
|
|
|
. |
|||
x2 |
|
|
|
|
|||||
|
− 4 |
|
x |
2 − 4 |
|||||
8.26. y = x3 − 6x2 + 9x − 3 . 8.27. y = |
2 |
+ x3 |
. |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||
8.29. y = ln(1 − x2 ). |
8.30. y = |
|
4x |
||||||
|
|
. |
|||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
+ x2 |
84