- •Содержание
- •1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
- •2. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
- •3. ПРОГРАММА
- •3.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •3.2. Введение в математический анализ
- •3.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •3.4. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков
- •4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- •4.1. Матрицы
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5. Смешанное произведение векторов
- •4.6. Прямая и плоскость
- •4.7. Линии второго порядка
- •4.8. Поверхности второго порядка
- •5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •5.1. Предел числовой последовательности. Предел функции
- •6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •6.1. Дифференцирование функций
- •6.2. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •6.3. Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя
- •6.4. Формула Тейлора и ее приложения
- •7.1. Исследование функций на экстремум. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты
- •7.2. Исследование функций и построение их графиков
- •КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
- •Литература
|
|
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
2 |
-1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
D1 = |
|
5 |
- 2 |
-1 |
|
= 28; D2 = |
|
3 |
5 |
-1 |
|
= 35; D3 = |
|
3 |
- 2 |
5 |
|
= -21. |
|
|
6 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
6 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формулам Крамера находим решение системы:
x = D1 |
= |
28 |
= 4, x = |
D2 = |
35 |
= 5, x = D3 |
= - 21 = -3. |
||
|
|
||||||||
1 |
D |
7 |
2 |
D 7 |
3 |
D |
7 |
||
|
|
|
4.3. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов
R R
обозначаемое ab или (a,b ) и равное
угол между a и b .
Свойства скалярного произведения:
a |
и b |
называется число, |
||
R |
R |
R |
R |
cos j, где ϕ – |
(a,b ) = |
a |
b |
||
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
2. |
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
l Î R; |
|
|
|
|||||
1. (a,b ) = (b, a); |
|
|
(la,b ) = l(a,b ), |
|
|
|
|||||||||||||||||
R |
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
= |
|
R |
^ b. |
|
|
|||
3. (a + b, c) = |
(a, c) + (b, c); |
4. (a,b ) |
0 Û a |
|
|
||||||||||||||||||
Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если векторы |
a(x1, y1, z1) и b (x2 , y2 , z2 ) |
представлены своими |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
координатами в ортонормированном базисе |
|
i , |
j , k , то скалярное про- |
||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изведение равно |
(a,b ) = x1x2 + y1 y2 + z1z2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Из этой формулы и определения скалярного произведения следует: |
|||||||||||||||||||||||
RΛV |
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
x x + y y |
|
+ z z |
|
|
|
||||||
|
(a,b ) |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||
cos(a,b ) = |
|
R |
|
R |
|
|
= |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x12 + y12 + z12 × x22 + y22 + z22 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Учитывая, |
|
|
|
|
R |
|
|
R |
cos j, где прab |
|
– проекция вектора b |
||||||||||||
что npa b = |
b |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R |
= |
R |
cos j, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
на вектор a , |
а прbRa |
a |
скалярное произведение векторов |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R
a, b можно записать в виде
20
|
|
|
R R |
= |
R |
|
|
R |
= |
R |
|
|
|
R |
|
|
|||||||||
|
|
(a,b ) |
b |
npbRa |
a |
npaRb. |
|
|
|||||||||||||||||
П р и м е р |
4.4. Даны векторы |
R |
|
|
R |
|
R |
b |
R |
||||||||||||||||
a = |
3i - |
3 j + k , |
= - j + 7k . |
||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти пpbR a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R |
= |
(a,b ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поскольку прbRa |
|
|
R |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
заданы координатами в ортонормированном базисе, то |
||||||||||||||||||||||||
а векторы a, b |
|||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
= 3 × 0 + (-3)(-1) +1× 7 = 10. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
(a,b ) |
|
|
||||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
R |
= |
|
|
|
10 |
|
= |
10 |
|
|
= |
|
50 |
. |
|
|
||||||
|
прbRa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
12 + 72 |
50 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||
Механический |
смысл |
скалярного |
произведения: |
работа А, |
|||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производимая силой F , точка приложения которой перемещается из |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
точки M1 в точку M 2, |
вычисляется по формуле A = (F , M1M 2 ). |
||||||||||||||||||||||||
|
4.4. Векторное произведение векторов |
|
|||||||||||||||||||||||
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов |
R |
R |
|||||||||||||||||||||||
a, b, c назы- |
вается правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой (рис. 4.1).
21
a c |
б c |
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
R R |
R R |
|
|
|
Рис. 4.1: а – тройка (a, b, c ) правая; б – |
тройка (a, b, c ) левая |
||||
Векторным произведением вектора a |
на вектор b называется |
|||||||
вектор c, удовлетворяющий условиям: |
|
|||||||
1) |
|
R |
= |
R |
R |
sin ϕ, ϕ – угол между векторами a и b ; |
||
|
c |
a |
b |
|||||
2) |
|
R |
b, |
|
R |
R |
|
|
c |
|
c |
a; |
|
RR
3)Упорядоченная тройка a,b, c – правая.
R |
R |
R |
R |
× b. |
Обозначение: c |
= [a, b ], |
c |
= a |
Свойства векторного произведения
R |
|
R |
|
|
|
1) [a, b ] = −[b, a]; |
|
|
|
||
|
R |
R |
R |
λ R; |
|
2) [λa, b ] = [a, λb ] = λ[a, b ], |
|||||
R |
R |
R R |
R |
|
|
3) [a |
+ b, c] |
= [a, c ] + [b, c ]; |
|
|
|
R |
|
R |
условие коллинеарности векторов. |
||
4) [a, b ] = 0 |
a || b – |
||||
|
|
R |
|
b (x2 , y2 |
, z2 ) заданы своими коорди- |
Если векторы a(x1, y1, z1), |
|||||
|
|
|
|
R |
R |
натами в ортонормированном базисе i , |
j , k , то |
||||
|
|
|
|
22 |
|
|
|
R |
R |
R |
|
|
||||
R R |
]= |
i |
j |
k |
|
|
||||
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
||||||
[a,b |
. |
|
||||||||
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
||||
Площадь параллелограмма, построенного на векторах |
R |
|||||||||
a,b, |
||||||||||
можно определить по формуле |
|
|
|
|
|
|
||||
|
S = |
|
R |
R |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
[a,b ] |
|
|
|
|
П р и м е р 4.5. Найти площадь и длину высоты BD треугольни-
ка с вершинами в точках А(1, –2, 8), В(0, 0, 4), С(6, 2, 0).
Р е ш е н и е . Поскольку площадь S треугольника АВС (рис. 4.2)
равна S = |
1 |
|
AC |
|
|
|
BD |
|
, то |
|
BD |
|
= |
2S |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B
|
|
|
|
|
|
C |
||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.2 |
|
|
|
|
|
|
1. Находим координаты векторов AB, |
|
|
||||||
AC и длину |
AC |
векто- |
||||||
ра AC : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
R |
+ |
R |
− 8k ; |
||
AB = −i |
+ 2 j |
− 4k ; AC = 5i |
4 j |
AC = 52 + 42 + (−8)2 = 105.
23