1.1. Свойства прямоугольного проецирования

1. Точка проецируется в точку.

Доказательство: проецирующий луч – прямая, а прямая пересекает плоскость П₁в точке А₁ (рис. 1).

2. Прямая проецируется в прямую.

Доказательство: прямая СО и проецирующий луч DD₁определяют плоскость, а плоскости пересекаются только по прямой линии (см.рис. 1).

3. Прямые, перпендикулярные к плоскости проекций, называются проецирующими. Точки, расположенные на одном проецирующем луче, называются конкурирующими точками, например ЕF(рис. 1). Конкуренция этих точек проявляется в видимости их относительно плоскости проекций П₁где точка Е закрывает точкуF.

4. Если точка принадлежит прямой, то и проекция точки принадлежит проекции прямой. Доказательство (рис. 2, а): САВ => С₁А₁В₁.

Это свойство следует из определения проекции прямой, как геометрического места проекций всех ее точек.

Рис. 2

5. Если прямые параллельны, то и их проекции параллельны между собой. Доказательство: плоскость АВВ₁А₁параллельна плоскости СDD₁(рис. 2, б), так как АВ || СDи проецирующие лучи АА₁, ВВ₁, СС₁,DD₁параллельны между собой. Плоскость проекций П₁пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, т. е. А₁В || С₁D₁.

6. Отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков (см. рис. 2, б). Доказательство: треугольники ВЕВ₁и АЕА₁подобны, так как проецирующие лучи параллельны между собой (ВВ || АА) следовательно,.

7. Отношение отрезков параллельных прямых равно отношению проекций этих отрезков (см. рис. 2, б). Доказательство: треугольники ВЕВ₁иDFD₁подобны, так как их стороны параллельны. Учитывая свойство п.6, имеем.

8. Проекция отрезка не может быть больше самого отрезка (см. рис. 1, отрезок СD). Доказательство: в прямоугольном треугольникеDСD₁отрезок СDявляется гипотенузой, а его проекция СD₁– катетом. Известно, что катет не может быть больше гипотенузы.

В частном случае, когда отрезок параллелен плоскости проекций, например отрезок МN, его проекция М₁N₁конгруэнтна самому отрезку, так как они параллельны между собой. Прямые, параллельные плоскости проекций, называются прямыми уровня.

Рис. 3

Из этого следует, что, если плоская фигура ограничена прямыми одного уровня, то она проецируется на параллельную плоскость проекций в конгруэнтную фигуру без искажения, в остальных случаях – с искажением.

1.2. Теорема о частном случае проецирования прямого угла

При прямоугольном проецировании прямой угол между отрезками прямых проецируется без искажений (прямым углом), если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая – не перпендикулярна к ней (рис. 3).

Доказательство: = 90°, допустим, что АВ и ВС || П₁Проеци-рующие плоскостииП₁,= 90°.

Повернём в плоскости прямую АВ в положение А₁В, так, чтобы А₁В стала прямой общего положения, сохранив при этом угол А₁ВС = 90°. Эта теорема справедлива и для двух скрещивающихся прямых.

2. Комплексный чертёж точки (эпюр Монжа)

Две и более прямоугольные проекции геометрического образа, определяющие его форму, размеры и положение в пространстве, составляют комплексный чертёж, который называют метрически определённым, или обратимым.

Положение точки в пространстве определяется её расстоянием (координатами) от выбранных трёх взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. На рис. 4, апредставлено аксонометрическое изображение плоскостей проекций: П₁– горизонтальная плоскость проекций; П₂– фронтальная плоскость проекций; П₃– профильная плоскость проекций. Кроме этого, представлена точка А с координатами (Х_А, У_А,Z_А).

На рис. 4, б показано построение комплексного чертежа точки А.

Рис. 4

Точку А проецируют одновременно на три плоскости проекций: П₁, П₂, П₃. Проекцию А₁называют горизонтальной проекцией точки А, проекцию А₂– фронтальной проекцией точки А, а проекцию А₃– профильной проекцией точки А (рис. 4, а).

Пользоваться для изображения предметов пространственной системой взаимно перпендикулярных плоскостей проекций сложно, поэтому её приводят к плоскому виду. Для этого горизонтальную плоскость проекций П₁вращением вниз вокруг оси Х совмещают с фронтальной плоскостью проекций П₂. Профильную плоскость проекций П₃располагают справа от наблюдателя перпендикулярно одновременно горизонтальной П₁и фронтальной П₂плоскостям проекций (произошло совмещение плоскостей проекций с плоскостью чертежа). В результате получается трёхпроекционный комплексный чертёж точки А с осями х, у,z, гдеА₁, А₂, А₃соединяются прямой, называемой линией связи (см.рис. 4, б). Линия связи всегда перпендикулярна к оси проекций.

Основные свойства трёхпроекционного комплексного чертежа (см. рис. 4, б):

две проекции точки принадлежат одной линии связи;

линии связи перпендикулярны к соответствующей оси проекций;

две проекции точки определяют положение её третьей проекции. Некоторые свойства прямоугольных проекций точки:

точка в пространстве удалена от плоскостей проекций П₁, П₂на величину удаления от оси соответственно её горизонтальной и фронтальной проекций;

положение точки в пространстве определяется её ортогональными проекциями на две плоскости проекций (или тремя координатами);

если точка принадлежит плоскости, то одна из её проекций совпадает с точкой, а две другие находятся на осях проекций.