- •Управление непрерывными динамическими тп Поиск экстремума функционалов
- •Свойства функций и функционалов
- •Классическое вариационное исчисление Метод Эйлера для определения экстремальных функций без ограничений
- •Решение вариационной задачи на безусловный экстремум при различных заданиях подынтегральной функции в функционале
- •Решение вариационных задач на условный экстремум (метод Эйлера-Лагранжа)
- •Решение задач акр с помощью кви
- •Решение задач акр с помощью метода Эйлера-Лагранжа
- •Решение неклассических задач вариационного исчисления
- •Принцип максимума
- •I. Решение задачи без ограничений на u.
- •II. Решение задачи с ограничениями.
- •Оптимальное по быстродействию управление линейными объектами
- •Теорема об nинтервалах
- •Нелинейные задачи оптимального управления
Свойства функций и функционалов
Функции |
Функционалы |
1. Определение функции. Каждому значению из области определения соответствует значение функции. Например: , |
1. Определение функционала. Каждой функции из некоторого класса функций соответствует число . Ось абсцисс – функциональное пространство. В оптимальном управлении рассматриваются: а) непрерывные функции – они обозначаются . Если первая производная функции также непрерывна, то говорят о классе. В общем случае, класс– с непрерывнойn-ной производной. б) кусочно-непрерывные – функция имеет точки разрыва, в которых левый и правый предел не равны между собой. Например, возьмем две функции из :ии рассмотрим два функционала: и . Если, то графически: |
2. Непрерывность функции. Приращением аргумента называется число . Если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции, то функция называется непрерывной. Если , то. |
2. Непрерывность функционала. Приращение аргумента функционала есть разность функций, называемая вариацией аргумента. . В предыдущем примере: . Если малой вариации аргумента можно поставить в соответствие малую вариацию функционала, то говорят о непрерывном функционале, т.е. если , то для непрерывности должно выполняться условие:. Приращения по аргументам характеризуются степенями близости разного порядка. Если функции близки по ординатам, то это близость нулевого порядка. Если функции близки по ординатам и по первым производным, то это близость первого порядка и т.д. |
3. Линейность функции. Функция линейна, если она обладает свойствами: а) аддитивности б) однородности |
3. Линейность функционала. Тоже самое для функционалов, т.е. функционал линеен если: а) . б) . Интегральные функционалы являются линейными. |
4. Приращение функции. Дифференциал функции есть главная линейная часть приращения функции, пропорциональная дифференциалу независимой переменной. и |
4. Приращение функционала. Дифференциал функционала (вариация функционала) есть главная линейная часть приращения функционала, пропорциональная дифференциалу аргумента. |
5. Экстремум функции. В точке экстремума дифференциал функции |
5. Экстремум функционала. В экстремуме функционала вариация функционала равна 0: . |
Таким образом, в вариационном исчислении надо найти такие , которые обеспечивают функционалу вариацию.
Классическое вариационное исчисление Метод Эйлера для определения экстремальных функций без ограничений
Как и при поиске экстремума функций рассмотрим сначала случай, когда на функционал не накладывается никаких ограничений или уравнений связи, т.е. дан функционал и требуется найти функцию, доставляющую экстремум этому функционалу.
Пусть дан функционал
,
для которого требуется найти , которая будучи подставленной вдоставляет ему экстремальное значение.
Предположим, что мы уже нашли . Проварьируем эту функцию, варьируемая функция должна проходить черези.
Запишем вариацию функционала:
. (1)
Разложим в ряд Тейлора подынтегральную функцию в первом интеграле:
. (2)
Подставляя (2) в (1), получим вариацию функционала в виде:
.
Для исследования экстремума используется главная линейная часть. Интегрируя ее и учитывая условия равенства в экстремальной точке, получим уравнение, получившее название уравнения Эйлера.
.
Уравнение Эйлера является необходимым условием экстремума функционала.
Пример. Пусть дан функционал:
.
Найти для экстремальностипри граничных условиях,,.
Составляем уравнение Эйлера:
.
В операторной форме:
, ,
.
Для нахождения постоянных ирассматриваются граничные условия:
.
Задаваясь численными значениями можно получить аналитическое решение для, удовлетворяющее граничным условиям.
Рассмотрим важный случай, когда пределы интегрирования заданы от , т.е.
.
Мы уже получили требуемую функцию , минимизирующую функционал используя уравнение Эйлера:
Потребуем, чтобы процесс, задаваемый, был устойчивым, т.е. придолжна стремиться к 0. Тогдадолжен быть равен 0 и. Если при, то.
Как известно из теории дифференциальных уравнений (а также из курса ТАУ) такой же вид имеет решение дифференциального уравнения апериодического звена при.
Таким образом, данному квадратичному функционалу соответствует решение дифференциального уравнения 1-го порядка
, ,
икаждому решению данного уравнения будет соответствовать свой функционал.
Параметр Т, стоящий в подынтегральном выражении функционала, называется весовым коэффициентом, т.к. он задает различные виды функции. Графикипри различных значенияхдают поле экстремалей.
Следует также отметить, что если известна экстремальная функция , зависящая от параметра, т.е., то подставляя эту функцию в уравнение функционалаи интегрируя в пределахполучим зависимость. Таким образом можно свести вариационную задачу к задаче поиска экстремума функциипо параметру. Для решения этой задачи можно воспользоваться методами, рассмотренными ранее.