I. Решение задачи без ограничений на u.

Составляем функцию Гамильтона :

,

т.к , то.

Для оптимальности управления требуется, чтобы доставляло максимум. Определяем экстремумпо:

, т.е. доставляет максимум.

Определим вспомогательную переменную :

.

Решая совместно уравнения связи и уравнение вспомогательной переменной

получаем ,,.

II. Решение задачи с ограничениями.

Пусть сейчас на наложено ограничение. Сначала требуется решить задачу без ограничений. Если ограничения существенны, т.е. в задаче без ограничений получено управление больше допустимого, то нужно решать задачу с ограничениями. ПМ позволяет решить вопрос о точке схода с ограничения и управления после ограничения.

Доказывается, что в поставленной задаче (как и в любых других с квадратичным по управлению функционалом) управление выражается так:

.

Аналитически найти точку схода в общем случае невозможно. Посмотрим как это можно сделать численно из условия, что вдоль оптимальной траектории.

1. Пусть в момент времени ,.

, т.е. в точке управление должно быть равно –0,3.

2. Возьмем интервал времени ,.

, следовательно на интервале .

3. Аналогично берем .

4. Далее , , следовательно, здесь управление должно лежать внутри ограничения. Искомая точка схода будет зависеть от требуемой точности решения, например, при точности время схода с ограничения.

Итак, решение будет иметь следующий вид:

Оптимальное по быстродействию управление линейными объектами

Общая задача управления линейным стационарным объектом.Рассмотрим задачу определения оптимального в смысле быстродействия управления объектом, движения которого описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

, .

Эту систему можно записать в векторной форме

, (1)

где –n-мерный вектор состояний (координат);

–r-мерный вектор управлений;

– матрица размером;

– матрица размером.

Введем следующие понятия. Систему (1) будем называть полностью управляемой, если ее можно перевести из любого заданного состояния в любое желаемое за конечный промежуток времени, выбирая надлежащим образом закон изменения любой из компонент . Это свойство называется свойством управляемости.

Управляемость определяется строением матриц и, т.е. физически структурой и типами звеньев системы. Без доказательства примем, что система (1) является полностью управляемой если матрицаDвида:

размером имеет ранг.

Если система управляема по каждой из компонент вектора , то такая система называется нормальной. Для того, чтобы линейная система с постоянными коэффициентами вида (1) была нормальной, необходимо и достаточно, чтобы все матрицы

,

были невырожденными, т.е. имели ранг или определитель этих матриц не был равен 0. Здесь–k-тый столбец матрицы, который характеризует воздействиеk-той компоненты вектора. Отметим, что каждая нормальная система является полностью управляемой, тогда как не всякая полностью управляемая система является нормальной.

Покажем это на примере.

Дана система с двумя входами и двумя выходами.

Матрицы иимеют вид:

,

Составим матрицу :

,

которая имеет ранг, равный 2, при любых значениях , следовательно, система полностью управляема.

Для оценки нормальности системы запишем матрицы и:

Нетрудно видеть, что матрица – невырожденная, а матрицаневырожденная при. Если, то получаем систему, которая не управляется с помощью одного из управлений.

Постановка задачи.Во многих задачах автоматического управления в качестве критерия оптимальности выбирается быстродействие, т.е. время перевода системы из положенияв положение. В этом случае минимизируемый функционал имеет вид:

Пусть требуется решить линейную задачу быстродействия для объекта (1):

,

для которого заданы начальное и конечноесостояния. Область управления представляет собой многогранник

,

Функция Гамильтона для рассматриваемой задачи

.

При иполучим:

,

что является довольно жестким ограничением. Более приемлемо ограничение

.

Сопряженная система уравнений для вспомогательных переменных :

.

Согласно второму условию принципа максимума, оптимальное управление должно доставлять максимум функции . Максимумпоопределяется только слагаемым, следовательно, оптимальное управление должно доставлять максимум этому слагаемому. Можно показать, как в линейном программировании, что оптимальным будет управление, принадлежащее вершинам многогранника. Выражениедостигает максимума еслипринимает значения из кусочно-постоянной функции

,

или в общем виде

.

Например, в системе

, ,

Максимум поопределится максимумом.

Переменная зависит от времени, но максимумлежит на границе. Найдем:

,

Здесь не выяснен вопрос, когда же значение переменной сменится с на(момент) и когда спереходить на. Ответ на этот вопрос зависит от граничных условий.