- •Киров 2005
- •Введение
- •Тема 1. Применение законов распределения случайных величин
- •1.1 Типовые законы рассеивания размеров
- •1.2 Задачи
- •Тема 2. Точность обработки. Первичные погрешности, связанные с этапом установки заготовки
- •2.1 Основные понятия и определения
- •2.1.1 Базы и базирование
- •2.1.2 Типовые схемы базирования
- •2.1.3 Погрешность установки и ее составляющие. Погрешность базирования
- •2.2 Условные обозначения установочно-зажимных устройств
- •2.3 Примеры базирования некоторых деталей
- •Тема 3. Точность обработки. Первичные погрешности, связанные с непосредственной обработкой заготовок и погрешностью настройки
- •3.1 Рассеивание размеров, связанное с методом обработки
- •3.1.1. Факторы, влияющие на рассеивание размеров, связанное с методом обработки
- •3.1.2. Поле рассеивания размеров, вызванное непостоянством упругих перемещений в технологической системе
- •3.1.3. Поле рассеивания размеров, вызванное износом режущего инструмента
- •3.1.4. Поле рассеивания размеров, вызванное геометрической неточностью станка
- •3.1.5 Поле рассеивания размеров, вызванное тепловыми деформациями в технологической системе
- •3.2. Погрешность настройки
- •3.3 Задачи
- •Тема 4. Точность обработки. Суммарная погрешность механической обработки
- •4.1 Расчет суммарной погрешности механической обработки
- •4.2 Особенности расчетов точности на станках с ЧПУ
- •4.3 Задачи
5
Тема 1. Применение законов распределения случайных величин
Рекомендуемая |
литература: /1, |
с.90-105/, |
/2, |
с.31, |
45-56, |
63-73/, |
|
||
/3, с.16-35/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1 Типовые законы рассеивания размеров |
|
|
|
|
|
||||
В зависимости от условий обработки |
и |
особенностей |
выдерживаемы |
||||||
размеров |
рассеивание |
размеров |
может |
подчиняться |
различным |
зако |
распределения. Наиболее часто встречающимися являются закон нормального распределения, закон треугольника (закон Симпсона), закон равной вероятности, закон эксцентриситета (закон Релея).
При обработке с точностью 8по–му и 9-му квалитетам (и грубее) рассеивание размеров, как правило, подчиняется нормальному закону(закону Гаусса).
Нормальное распределение размеров– один из самых распространенных видов распределений случайных величин. Этот закон имеет место в случае влияния большого числа взаимно независимых факторов, если среди них нет
доминирующего. |
Нормальный |
закон |
распределения характеризуется двумя |
|||||
параметрами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) средним |
арифметическим |
значением |
X |
, характеризующим |
положение |
|||
центра группирования кривой распределения на числовой оси(«настроечный |
||||||||
|
|
|
= å X i |
/ N ; |
|
|||
размер») |
|
X |
(1.1) |
б) генеральным средним квадратическим отклонениемs, характеризующим меру рассеивания значений относительно центра группирования(при числе наблюдений N→∞)
|
|
|
|
|
|
s = å(X i - |
|
)2 . |
|
||
X |
(1.2) |
||||
|
N |
|
|||
Поле рассеивания значений |
|
||||
w = 6s . |
(1.3) |
Для определения генерального среднего квадратического отклонения нужно достаточно большое количество наблюдений(объем выборки). В реальных условиях объем выборки ограничен, поэтому по ее результатам определяют
выборочное среднее квадратическое отклонение S как
|
|
å(X i |
- |
|
)2 |
|
|
|
S = |
X |
. |
(1.4) |
|||||
|
|
|||||||
|
|
N -1 |
|
|||||
Значения генерального и выборочного средних квадратических отклонений |
||||||||
связаны соотношением |
s = pS , |
|
||||||
|
|
(1.5) |
6
где p – коэффициент, зависящий от объема N выборки. Для нормального распределения можно принять
p =1+ |
|
3 |
|
. |
(1.6) |
|
|
|
|||
|
|
2N |
|
||
На рисунке 1.1 показано, как влияет изменение среднего |
арифметического |
значения (Х2 > Х1) и среднего квадратического отклонения на изменение кривой распределения (s1 > s 2 ).
s2
s1
X1
X2
Рисунок 1.1
Систематическая погрешность влияет на характер кривой распределения.
Во всех случаях, когда в результате измерений партий деталей получается многовершинная кривая, следует искать причину в появлении дополнительных систематических факторов.
Надежность обеспечения требуемой точностиобработки деталей
выражается величиной запаса точности К, определяемого по формуле |
|
К=Т/w, |
(1.7) |
где Т – допуск на обработку; w - фактическое поле рассеивания |
размеров |
заготовок. |
|
В случае, когда запас точностиК > 1,0, обработка деталей может быть осуществлена без брака(при условии соответствующей настройки станка, обеспечивающей совмещение вершины кривой рассеивания с серединой поля допуска). Когда запас точности К < 1,0, брак при обработке весьма вероятен.
Надежная обработка без брака возможна, если поле допуска Т превышает полt
рассеивания размеров w при обработке с запасом 20%, т. е. |
|
1,2w£Т. |
(1.8) |
7
При решении задачи минимизации ожидаемого брака следует учитывать, что для симметричного распределения вероятный брак минимален, если центр группирования совмещен с серединой поля допуска.
1.2 Задачи
Задача 1.1
Определить, возможна ли обработка без брака при растачивании отверстий Ø50Н10(+0,1), если по результатам измеренияN = 50 деталей определено
выборочное среднее квадратическое отклонениеS. Принять, что рассеивание размеров подчиняется нормальному закону распределения.
Решение. Обработка без брака возможна, если поле рассеивания размеров w меньше поля допуска Т.
Проверяется условие w=6s£Т, т.е. w=6рS£Т.
Поправочный коэффициент на объем выборкиp = 1 + |
|
3 |
|
= 1,3, |
|
|
|
|
|||
2 ×50 |
|||||
|
|
|
|
тогда w = 6×1,3×0,02 = 0,156 мм > 0,1.
Условие не выполняется, обработка без брака в этих условиях невозможна.
Задача 1.2
Для условий задачи 1.1 определить, по какому квалитету возможна надежная обработка деталей без брака.
Решение. Для надежной обработки без брака должно выполняться условие
(1.8):
1,2×0,156=0,187 мм < 250 мкм, что соответствует допуску по 12-му квалитету.
Задача 1.3
Для условий задачи1.1 оценить ожидаемый процент исправимого и
неисправимого брака, если настроечный размер Dн =50,04 мм. |
|
|||
Решение. При обработке отверстия исправимый |
брак– это отверстия с |
|||
размерами, меньшими минимально допустимого (50,00 мм); неисправимый брак – |
||||
это «проваленные» отверстия, размер которых больше максимально допустимого |
||||
(больше 50,10 мм). Схема к расчету приведена на рисунке 1.2. |
|
|||
Нормированный |
показатель |
интегральной |
функции |
нормированно |
нормального распределения t=X/s. |
|
|
|
|
Ожидаемый |
исправимый |
брак |
определяется |
в |
последовательности: |
|
|
|
|
8
|
|
D0 |
|
- D |
н |
|
|
Fиспр = F1 |
= 0,5-Ф(t1), t = |
min |
|
, интегральная |
функция |
||
|
|
|
|||||
|
1 |
|
s |
|
|
|
|
нормированного нормального распределенияФ(t1) |
|
определяется по |
формуле |
||||
(А.1) (таблица А.1), тогда |
|
|
|
|
|
|
æ |
50 - 50,04 |
ö |
= 0,5 - Ф(1,54) = 0,5 – 0,4382 = 0,0618 » 6,2%. |
|
F1 |
= 0,5 - Фç |
|
÷ |
||
0,026 |
|||||
|
è |
ø |
|
Исправимый |
|
y |
|
|
|
|
|
брак F1 |
3s |
3s |
Неисправимый |
|
|
|
|
|
|
|
брак F2 |
Dmin |
D |
Dн |
|
D0min |
T |
D0max |
|
Dmax |
|
Рисунок 1.2
|
Ожидаемый неисправимый брак Fнеиспр = F2 = 0,5 - Ф(t2), |
|
||||||
|
|
D0 |
- D |
|
|
|
|
|
t2 |
= |
max |
н |
, |
интегральная |
функция |
нормированного |
нормально |
|
|
|||||||
|
|
s |
|
|
|
|
||
распределения Ф(t2) определяется по формуле (А.1) (таблица А.1), тогда |
|
|
æ |
50,1- 50,04 |
ö |
= 0,5 - Ф(2,31) = 0,5 – 0,4896 = 0,0104 |
|
|
F2 |
= 0,5 - Фç |
|
÷ |
» |
||
0,026 |
||||||
|
è |
ø |
|
|
||
|
|
|
|
»1,0%. |
|
|
Общий процент брака составляет Fбр = F1 + F2, Fбр = 6,2+1,0=7,2%. |
|
9
Задача 1.4
Для условий задачи1.3 определить поправку, которую надо внести в настроечный размер, чтобы ожидаемый процент брака был минимальным. Каким будет ожидаемый процент брака после внесения такой поправки?
Решение. Для симметричного распределения вероятный брак минимален, если центр группирования совмещен с серединой поля допуска.
D0 - D0
Следовательно, поправка D = max min - Dн ,
2
D = 50,1- 50 - 50,04 = +0,01 мм. 2
Знак «плюс» означает, что настроечный размер должен быть увеличен.
В этом случае вероятности исправимого и неисправимого брака одинаковы, поэтому
Fбр = 2F1= 2(0,5 - Ф(0,05/0,026))= 2 (0,5 - Ф(1,92))=
=2 (0,5 - 0,4725)= 0,055 » 5,5%.
Задача 1.5
Для условий задачи 1.1 определить, каким должен быть настроечный размер
|
|
/ , чтобы |
исключить |
неисправимый , брак исправимый |
брак |
был |
||||||
D |
||||||||||||
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
минимальным, |
если |
погрешность настройки н =0,010 мм. Каким |
будет |
|
||||||||
ожидаемый процент брака при такой настройке? |
|
|
||||||||||
|
|
Решение. Поскольку неисправимый брак при обработке отверстия– это |
|
|||||||||
получение размера, большего максимально допустимого размера, то настройка |
|
|||||||||||
ведется относительно верхней границы поля допуска. Поэтому |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
/ |
= D0 |
- D |
|
- 3s , |
|
/ = 50,1 – 0,010 - 3×0,026 = 50,012 мм. |
|
|
|
|
|
D |
н |
D |
|
||||||
|
|
|
н |
max |
|
|
н |
|
|
Ожидаемый процент исправимого брака
F1=0,5 - Ф(0,012/0,026)=0,5 - Ф(0,46)=
= 0,5 - 0,1772=0,3228»32,3%.