Так что окончательно имеем:
res f (z) =	1	·	420	=	35	.
	2		64
1					216

6.3 Вычет в точке z = 1 в предыдущем примере можно найти иначе.

Прежде всего отметим, что z = ∞ является правильной точкой функции f (z).

Действительно

1

1

−

+ 5

1

= ζ2

1 − ζ + 5ζ2

f

=

ζ2

ζ

ζ

1

1

1

+ 5

(1 − ζ)3(1 + 5ζ)

−

3

ζ

ζ

и ζ = 0 является нулем второго порядка этой функции, следовательно и z = ∞ — нуль второго порядка f (z). Поэтому res f (z) = 0.

∞

Тогда из (6.7) имеем res f (z) = −res f (z).

1−5

Так как z = −5 — полюс первого порядка, то представим f (z) =

ϕ(z) =

z2 − z + 5

, а

ψ(z) = z + 5

ψ( 5) = 0

,

ψ (

5) = 1

).

(z

−

1)3

( −

−

25 + 5 + 5

35

res

35

res

(−6)3 =

−

216 и

f (z) =

216 .

Тогда −5 f (z) =

1

Вычисления здесь гораздо короче.

ϕ(z) , где

ψ(z)

6.3Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.

2π
6.3.1 Интегралы вида 0	R(cos ϕ, sin ϕ) dϕ.

Подынтегральная функция — действительная дробно–рациональная функция от cos ϕ и sin ϕ действительного переменного ϕ. Интеграл берется по отрезку действительной оси ϕ.

Можно ввести комплекснозначную функцию z = ei ϕ действительного переменного ϕ, так что при изменении ϕ от 0 до 2π точка z описывает единичную окружность |z| = 1 на плоско-

сти Z.

i

1

1

i

1

Имеем далее dz = i ei ϕ dϕ, то есть dϕ = −

dz,

cos ϕ =

(z +

),

sin ϕ = −

(z −

).

z

2

z

2

z

˜

И после такой замены R(cos ϕ, sin ϕ) переходит в R(z), которая пусть имеет m полюсов

z1, z2, . . . , zm внутри окружности |z| = 1. Иных особых точек внутри |z| = 1 у дробно– рациональной функции быть не может.

Но тогда из основной теоремы вычетов получим

2π

R(cos ϕ, sin ϕ) dϕ =

0|z|=1

	m
˜	˜
R(z) dz = 2πi	i
	res R(z).
	zi
	=1

54

Примеры.

	6.4 Интеграл	2π	cos2 ϕ dϕ.
				1	1 2 1	1
			i
		0

Замена z = ei ϕ, dϕ = −

dz, cos2 ϕ =

z +

=

z2 + 2 +

.

z

4

z

4

z2

2π

i

2

1

π

2

1

cos ϕ dϕ =

+

dz =

0

0

= π.

−4

z

z3

2

z

z

3

2

z +

res

+ res

0

|z|=1

Поскольку res

2

= 2 (ϕ(z) = 2, ψ(z) = z),

res

1

=

1

lim

d2

z3

1

= 0.

z

z3

z3

0

0

2! z→0 dz2

2π

dϕ

6.5 Интеграл 0

.

2 − sin ϕ

i

1

Замена z = eiϕ, dϕ = −

i

sin ϕ = −

z

dz,

−

.

z

2

z

2π

sin ϕ = −i

z 2 +

i

z

1

= −

z2

4i z 1 .

2

dϕ

dz

2 dz

0

−

|z|=1

−

|z|=1

− −

2

z

√

√

√

Полюсы подынтегральной функции z1,2 = 2i ±

−4 + 1

= 2i ± i

3 = i (2

±

3) — первого

порядка, внутри окружности лежит один полюс z2 = i (2 − √3).

Так что последний интеграл равен

−2πi

2

2π

i (2 − √

√

= √

.

3) − i (2 +

3)

3

∞

6.3.2Интегралы вида f (x) dx.

−∞

Сначала рассмотрим лемму.

Лемма 6.1 Пусть функция f (z) — аналитическая при Im z > 0, кроме конечного числа изолированных особых точек, и существуют положительные числа R0, M и δ такие, что

|f (z)| <	M	,	для всех	|z| > R0.	(6.9)
	|z|1+δ
Тогда
	lim		f (ζ) dζ =	0,	(6.10)
	R→∞

CR

где CR : (|z| = R, Im z 0) — верхняя полуокружность радиуса R с центром в z = 0.

Доказательство следует из оценки интеграла при R > R0:

	f (ζ) dζ		|f (ζ)| dζ < R1+· δ		= Rδ → 0 при R → ∞.
CR		CR		M πR		πM

55

Замечание 1. Очевидно, что условие (6.9) выполняется, если z = ∞ — нуль функции f (z)

не ниже второго порядка.					ψ(z)
Тогда f (z) =	c−2	+	c−3	+ . . . =			, где |ψ(z)| < M .
	z2		z3		z2

Замечание 2. Можно переформулировать лемму для функции f (z), аналитической при

Im z < 0, имеющей в этой полуплоскости конечное число изолированных особых точек и удовлетворяющей условиям (6.9).

Тогда	˜
lim		f (ζ) dζ = 0,	(6.11)
R→∞
CR

где ˜R : (|z| = R, Im z 0) — нижняя полуокружность радиуса R с центром в z = 0.

C

Теорема 6.3 Пусть функция f (x) действительного переменного x может быть аналитически продолжена в полуплоскость Im z 0, ее аналитическое продолжение f (z) удовлетворяет условиям леммы 6.1 и не имеет особых точек на действительной оси.

Тогда
∞	N
−∞
		res f (z),
	f (x) dx = 2πi k=1 zk		(6.12)

где zk (k = 1, 2, . . . , N ) — особые точки f (z) в верхней полуплоскости Z.

Возьмем CR : (|z| = R, Im z 0) такого радиуса R, чтобы все точки zk (k = 1, 2, . . . , N ) находились внутри нее.

Тогда по теореме 6.1

R	f (x) dx +	N
		k=1 zk
−R	CR		res f (z).
	f (ζ) dζ = 2πi

Устремим R → ∞, тогда по лемме 6.1 —

— lim f (ζ) dζ = 0, а по определению несобствен-

R→∞

			CR
	ного интеграла —			∞
			R
Рис. 6.2:	—	lim	f (x) dx =		f (x) dx.
		R→∞
		−R		−∞

Замечание. Теорема может быть переформулирована следующим образом.

Если функция f (x) может быть аналитически продолжена в нижнюю полуплоскость, где ее аналитическое продолжение f (z) удовлетворяет условиям, оговоренным в замечании 2 к лемме 6.1, то

∞	N
−∞
		res f (z).
	f (x) dx = −2πi k=1 zk		(6.13)

Знак минус появляется вследствие обхода области в отрицательном направлении.

56

Примеры.

6.6

∞

dx

1

1

z=i= π,

1 + x2

= 2πi i 1 + z2

z + i

−∞

res

= 2πi

1

1

поскольку функция

=

имеет полюсы первого порядка в z = i и в z = −i.

1 + z2

(z + i)(z − i)

Можно использовать и формулу (6.13).

∞

dx

1

1

z=−i

−

1 + x2 = −2πi −i

1 + z2

z − i

−∞

res

=

2πi

= π,

6.7

∞

dx

1 + x6 .

−∞

Полюсы аналитического продолжения подынтегральной функции суть корни уравнения:

																							√																		z6 + 1 = 0,																															√
														z1,6 =											3			±					i								z2,5 = ±i,																			z3,4 = −																3		±				i
																																			,																																																.
																							2										2																																							2										2
Все полюсы первого порядка, в верхней полуплоскости лежат z1, z2 и z3.																																																																	√
																																1																																																	4														+ i
		res f (z) =																																																																		=																							=			3			.
		√3		i									√							i																													√							3																				√														−		12
	2 + 2												3				−							√3 √3 + i																									3			+								i i									4(−3 3 + 3i)
													2							2																													2							2																																8
res	f (z) =																															1																																									=																									i
																																																																																															9)i = −
							√							i				√											i							√									3														√								3											( 3									1)( 3											6 .
i
					−		3				+							3					+													3				+								i			2i −								3						+						i								−						− −							−
							2							2				2											2							2										2													2									2
																																																			1																																					√		− i			.
						res f (z) =																																																																															=				3
						√3			i																							√										i											√			3																																12
				− 2 +					2										−√3 −													3						−									i −						3				+								i		−√3 + i
																																2										2											2										2
Окончательно														∞			f (x) dx = 2πi																										√3 + i															i +								√3 − i												= 2π .
																																							−															−
																																													12													6									12														3
												−∞

∞

6.3.3Интегралы вида ei axf (x) dx.

−∞

Лемма 6.2 (Лемма Жордана.) Пусть функция f (z) — аналитическая в верхней полуплоскости Im z > 0, кроме конечного числа изолированных особых точек и равномерно относительно arg z стремится к 0 при |z| → ∞.

Тогда при a > 0

lim ei aζ f (ζ) dζ = 0, (6.14)

R→∞

CR

где CR : (|z| = R, Im z 0) — верхняя полуокружность радиуса R с центром в z = 0.

57

Равномерное относительно arg z стремление к 0 при |z| → ∞ функции f (z) означает:

R > R0		= R)		и	μ		R	→ ∞.
	μR > 0 : |f (z)| < μR при z : (|z| i ϕ				R → i∞ϕ при
Произведем замену переменного ζ = Re			, dζ = i Re			dϕ, i aζ = i aR(cos ϕ + i sin ϕ) =
= −aR sin ϕ + i aR cos ϕ.
Остается провести оценку интеграла
	π	π

CR ei aζ f (ζ) dζ μRR

0

|ei aζ | dϕ = μRR

0

π e−aR sin ϕ|ei aR cos ϕ| dϕ =

π

2

π

0

0

2

= μRR

e−aR sin ϕdϕ = μRR

e−aR sin ϕdϕ +

e−aR sin ϕdϕ

=

π

π

0

π

π

2

2

2

e−aR sin ϕdϕ −

= μRR

e−aR sin ψ dψ

= 2μRR e−aR sin ϕdϕ < 2μRR

e−2aRπ ϕdϕ =

0

2

0

0

π

= −

πμR

(e−aR −

1)

πμR

→ 0

при R → ∞.

a

a

В шестом выражении произведена замена sin ϕ = sin(π − ϕ) = sin ψ, dϕ = −dψ.

В восьмом — использовано неравенство: sin ϕ

2ϕ

ϕ

π

при 0

.

π

2

Замечание. Лемма Жордана справедлива и в том случае, когда функция f (z) удовле-

творяет сформулированным в лемме условиям в полуплоскости Im z > y0

= const (y0 > 0

или y0 < 0). Тогда интеграл (6.14) берется по верхней полуокружности CR : (|z − i y0| = R, Im z y0). При доказательстве леммы тогда производится замена переменного:

ζ = Rei ϕ + i y0.

Модификации леммы Жордана.

1) Очевидно, если a < 0 и f (z) удовлетворяет условиям леммы Жордана в нижней полуплоскости Im z 0, то формула (6.14) верна для полуокружности в нижней полуплоскости Z.

lim		ei aζ f (ζ) dζ = 0,	(6.15)
R→∞

CR

где CR : (|z| = R, Im z 0) — нижняя полуокружность радиуса R с центром в z = 0.

2) Пусть a = i α (α > 0), а f (z) удовлетворяет условиям леммы Жордана в правой полуплоскости Z : Re z > 0.

Тогда
R→∞	e−		f (ζ) dζ = 0,	(6.16)
lim		αζ

CR

где CR : (|z| = R, Re z 0) — правая полуокружность радиуса R с центром в z = 0.

3) Пусть a = −i α (α > 0), а f (z) удовлетворяет условиям леммы Жордана в левой полуплоскости Z : Re z < 0.

Тогда
lim		eαζ f (ζ) dζ = 0,	(6.17)
R→∞

CR

где CR : (|z| = R, Re z 0) — левая полуокружность радиуса R с центром в z = 0.

58

В справедливости формул (6.15 – 6.17) легко убедиться, повторив выкладки по приведенной схеме для оценки соответствующего интеграла с указанными значениями параметров.

Замечание. Модификации леммы Жордана справедливы и в тех случаях, когда функция f (z) удовлетворяет сформулированным условиям

1)в нижней полуплоскости Im z < y0 = const,

2)в правой полуплоскости Re z > x0 = const,

3)в левой полуплоскости Re z < x0 = const.

Интегралы (6.15 – 6.17) берутся по полуокружностям CR с соответствующим образом смещенным центром.

Теорема 6.4 Пусть функция f (x) действительного переменного x (x (−∞, ∞)) может быть аналитически продолжена в верхнюю полуплоскость Z (Im z 0), ее аналитическое продолжение f (z) при Im z 0 удовлетворяет условиям леммы Жордана и не имеет особых точек на действительной оси.

Тогда

∞					n
−∞
		i ax				res (ei az f (z),
	e		f (x) dx = 2πi k=1 zk				(6.18)
где zk (k = 1, 2, . . . , n) — особые точки функции ei az f (z) при Im z 0,							a > 0.
Доказательство точно такое же, как у теоремы 6.3.
Примеры.
6.8 Вычислить интеграл			∞ cos ax
		I =			dx,	a > 0.
				x4 + 1

−∞

Чтобы воспользоваться леммой Жордана, заменим по формуле Эйлера cos ax = Re eiax, тогда

∞

eiax

I = Re

dx,

a > 0.

x4 + 1

−∞

Аналитическое продолжение подынтегральной функции f (z) =

eiaz

имеет в верхней полу-

z4 + 1

√

√

плоскости Z два полюса первого порядка z1 =

2

(1 + i) и z2 =

2

(−1 + i).

2

2

Найдем вычеты в этих точках

z1

z + √2

eiaz

√2

+ √2 i

z=

22 +

22 i

√2 i z + √2

+ √2 i z

res f (z) =

√

√

=

−

−

2

2

2

2

2

2

√

√

√

2

2

2

=

e−

2

aei

2

a

=

e−

2

a

√2 − i√2

cos

√2

a + i sin

√2

a

=

√2(√2 + i√2)i√2

2i√

·

4

2

2

e−

2

a

√

√

√

√

2

2

2

2

=

2

sin

− cos

a − i sin

a + cos

;

4√

a

a

2

2

2

2

2

59

z2

z

√2

eiaz

√2 +

√2 i

z=− 22

+

22 i

√2 i z + √2 + √2 i z

res f (z) =

√

√

=

−

−

√2

−

2

2

2

2

2

2

√

√

2

2

=

e−

2

ae−i

2

a

=

e−

2

a √2 + i√2

cos

√2

a − i sin

√2

=

−√

2(−√

+ i√

2)i√

·

a

2i

4

2

2

2

2

√2

e− 22 a

√2

√2

√2

=

√

cos

a − i sin

4√

a − sin

a + cos

a ;

2

2

2

2

2

e−

√

a

√

a + cos

√

a .

2

i

2

2

res

f (z) +

res f (z) =

2

sin

z1

z2

−

2√2

2

2

Окончательно имеем

∞

√

√

22 a

cos ax

e−

√

2

2

dx =

π

√

sin

a

+ cos

a .

x4 + 1

2

2

2

−∞

6.9 Вычислить интеграл

∞ cos ωx

I = 0

dx,

a > 0,

ω > 0.

x2 + a2

Используя четность подынтегральной функции, имеем

1

∞

cos ωx

1

∞

ei ωx

I =

dx =

Re

dx.

2

x2 + a2

2

x2 + a2

−∞

−∞

ei ωz

Аналитическое продолжение подынтегральной функции f (z) = z2 + a2 имеет в верхней полуплоскости один полюс первого порядка — z1 = i a.

				ei ωz			z=i a=			e−aω
z1 f (z) = z + i a										2i a .
res
Окончательно получаем	1
I =		Re	2πi		e−aω			=	π	e−aω .
	2				2i a				2a

Приведенный пример показывает, что при помощи леммы Жордана возможно также вычисление интегралов вида

∞∞

f (x) cos ax dx,	f (x) sin ax dx, a > 0,
0	0

если функция f (x) — четная в первом случае и нечетная — во втором.

60