Лекция 8

8.1Обратное преобразование Лапласа.

Пусть функция f (t) имеет изображение Лапласа F (p), которое может быть найдено по формуле (7.2).

Зададимся целью получить аналитическое выражение, определяющее обратный переход от изображения F (p) к оригиналу f (t).

Предполагаем, что функция f (t) (t (−∞, ∞)) удовлетворяет условиям: 1) f (t) ≡ 0, при t < 0,

2) f (t) — кусочно–гладкая, так что на любом конечном отрезке числовой оси имеет конечное

число точек разрыва первого рода,
3) M > 0, a > 0 : |f (t)| < M eat t (0, ∞).			−∞		∞		где		— единичная
Введем функцию	ϕ(t) = e−xtf	(t)H(t), t				), x > a,		H(t)
			(	,

функция Хевисайда.

Введенная функция ϕ(t) — кусочно–гладкая, на любом конечном отрезке числовой оси имеет конечное число точек разрыва первого рода и абсолютно интегрируема на всем интервале (−∞, ∞) вследствие экспоненциального убывания при t → ∞.

Таким образом, в точках непрерывности ϕ(t) ее можно представить в виде интеграла Фурье

1

∞

∞

dξ

ϕ(η)eiξ(t−η)dη.

ϕ(t) =

(8.1)

2π

Далее

−∞

−∞

1

∞

∞

1

∞

∞

dξ

dξ eiξt

e−xtf (t)H(t) =

e−xηf (η)H(η)eiξ(t−η) dη =

e−(x+iξ)ηf (η) dη.

2π

2π

−∞

−∞

−∞

0

Произведем замену переменного x + iξ = p,

dξ =

1

dp, получим

i

1

x+i∞

∞

1

x+i∞

f (t)H(t) ≡ f (t) =

dp ept

e−pηf (η) dη =

eptF (p) dp.

2πi

2πi

x−i∞

0

x−i∞

Напомним, что интегрирование по dξ в интеграле Фурье (8.1) понимается в смысле главного значения Коши, таким образом, и интеграл в последней формуле понимается как главное значение его.

Фактически нами доказана теорема, которая формулируется ниже.

71

Теорема 8.1 Если известно, что данная функция F (p) комплексного переменного p в области Re p > a является изображением Лапласа кусочно–гладкой функции f (t) действительного переменного t, обладающей степенью роста a, то в точках своей непрерывности

		1	x+i∞
	f (t) =			eptF (p) dp.	(8.2)
		2πi

x−i∞

Выражение (8.2) известно как формула обращения преобразования Лапласа или формула Меллина.

Интегрирование в (8.2) ведется в комплексной плоскости P по прямой, параллельной мнимой оси и проходящей правее прямой Re p = a, интеграл, вообще говоря, понимается в смысле главного значения.

Ясно, что интеграл (8.2) не зависит от величины x при условии Re p > a, поскольку по теореме (7.2) в области Re p > a функция F (p) — аналитическая.

В точках разрыва функции f (t) левая часть формулы Меллина должна быть заменена на 12 (f (t + 0) + f (t − 0)).

Сейчас установим достаточные условия того, что заданная функция F (p) комплексного переменного p является изображением Лапласа некоторой функции f (t) действительного переменного t.

Теорема 8.2 Пусть функция F (p) комплексного переменного p = x + i y удовлетворяет следующим условиям:

1)F (p) — аналитическая в области Re p > a,

2)в области Re p > a функция F (p) → 0 при |p| → ∞ равномерно относительно arg p,

x+i∞

3) x > a существует интеграл |F (p)| dy < M .

x−i∞

Тогда функция F (p) при Re p > a является изображением функции f (t) и

		1	x+i∞
	f (t) =			eptF (p) dp, x > a.	(8.3)
		2πi

x−i∞

Покажем сначала, что интеграл (8.3) существует.

Произведем его оценку

1

x+i∞

eptF (p) dp

2πi

x

i

− ∞

x+i

1

∞

|eptF (p)||dp| =

2π

x−i∞

x+i∞

ext

extM

=

|F (p)| dy

.

(8.4)

Рис. 8.1:

2π

2π

x

i

− ∞

Таким образом, интеграл (8.3) существует.

Возьмем в качестве контура Γ на плоскости P стороны прямоугольника ABCD (рис. 8.1).

72

По теореме Коши

	eptF (p) dp = 0,
	Γ
устремим y1 → ∞, а y2 → −∞.
Тогда по условию 2) теоремы имеем
AB	eptF (p) dp → 0 и	CD	eptF (p) dp → 0.
Отсюда получаем
x1+i∞	x2+i∞

eptF (p) dp =

eptF (p) dp.

x1−i∞

x2−i∞

Таким образом, интеграл (8.3) является функцией

только одного переменного t и не зависит от x при

любых x > a. Причем из оценки (8.4) это функция

ограниченного роста с показателем степени роста a

(поскольку a = inf x).

Пусть сейчас значения t < 0.

Составим контур Γ из отрезка прямой

[x − i R, x + i R] и правой полуокружности CR

Рис. 8.2:

По теореме Коши

Γ

eptF (p) dp = 0.

По модификации леммы Жордана

eptF (p) dp → 0

при

R → ∞ и при t < 0.

CR

Поэтому получается, что

1

x+i∞

f (t) =

eptF

(p) dp

= 0

при

t < 0, Re p > a.

2πi

x−i∞

Найдем изображение Лапласа от f (t) и рассмот-

рим его значение при p = p0 : Re p0 > a.

∞

∞

1

x+i∞

e−p0tf (t) dt =

e−p0t

eptF (p) dp

dt.

2πi

x

0

0

i

− ∞

Выберем x : a < x < Re p0 и изменим порядок интегрирования в правой части:

∞	1		x+i∞			∞
e−p0tf (t) dt =				F (p)			e−(p0−p) dt
	2πi	x
0			i			0
			− ∞

Рис. 8.3:

		1	x+i∞	F (p)
	dp =					(8.5)
					dp.
		2πi		p0 − p

x−i∞

73

F (p)

По условию 2) теоремы

F (p)

→ 0 при

1

R → ∞ быстрее, чем

, поэтому можно

p0 − p

|p|

найти интеграл (8.5) при помощи

вычетов,

основываясь на лемме (6.1) и замыкая контур

интегрирования правой полуокружностью бесконечно большого радиуса (рис. 8.3).

Тогда

F (p)

dp → 0

при R → ∞.

p0

−

p

CR

Единственная особая точка функции p0 − p — полюс первого порядка p0. Поэтому

1

2πi

x+i∞	p0 − p dp = − p0		p0 − p		0).
	F (p)	res	F (p)	= F (p

x−i∞

Поскольку p0 — произвольная точка области Re p > a, мы доказали тем самым последнее оставшееся утверждение теоремы для всей указанной области.

Пример.

p2

8.1 Найдем оригинал f (t) для функции F (p) = (p2 + ω2)2 , Re p > 0. Функция F (p) удовлетворяет условиям теоремы 8.2, поэтому

	1	x+i∞	eptp2
f (t) =				dp, x > 0, t > 0.
	2πi		(p2 + ω2)2
		x−i∞

Рис. 8.4:

Аналогично в точке p = −i ω

Интеграл вычисляем при помощи вычетов, из модифицированной леммы Жордана ясно, что замыкать контур интегрирования при данных значениях параметров следует полуокружностью в левой полуплоскости.

eptp2

eptp2

Функция ϕ(p) =

=

(p2 + ω2)2

(p + i ω)2(p − i ω)2

имеет два полюса второго порядка p = ±i ω, найдем

вычеты в них.

В точке p = i ω

d

eptp2

tp3ept + i ωtp2ept + 2i ωpept

·

=

,

dp

(p + i ω)2

(p + i ω)3

так что

res

1

i

i ωt

ϕ(p) = 4 t − ω e .

i ω

d

·

eptp2

= tp3ept − i ωtp2ept − 2i ωpept

,

dp

(p

−

i ω)2

(p

−

i ω)3

так что

1

i

res ϕ(p) =

t +

e

−

i ωt.

4

ω

−i ω

74

	Окончательно получаем
	f (t) = res ϕ(p) + res ϕ(p) =		t	cos ωt +	1	sin ωt.
			2		2ω
	i ω	−i ω

75

76