2. Несимметричные короткие замыкания в сверхпереходном режиме (поперечная несимметрия)

Расчет токов КЗ при несимметричных повреждениях принципиально может быть выполнен, решив систему уравнений, составленных для всех контуров сети. Однако технически это сложно сделать из-за большого количества уравнений и необходимости знать взаимные индуктивности у элементов энергосистемы. Более предпочтительным является преобразование исходной трехфазной цепи в три однофазные, для которых отдельно производятся расчеты токов, а полный ток получают путем геометрического суммирования токов однофазных цепей.

Преобразование трехфазной цепи в три однофазные соответствует преобразованию матрицы сопротивлений трехфазной цепи Z в диагональную матрицу. Из линейной алгебры известно, что квадратная матрица преобразованием подобия преобразуется в диагональную Z_D:

где Т - унитарная преобразующая матрица, Т^-1 - матрица обратная Т.

Для линии электропередачи матрица сопротивлений:

Z=

(Z_c- собственные сопротивления, - взаимные сопротивления), как правило, является симметричной (при несимметричном расположении фазных проводов производится их транспозиция) и может быть преобразована в диагональную по более простой формуле:

Т_tZТ=Z_D,

гдеT_t- транспонированная Т.

В любом случае диагональные элементы матрицы Z_D представляют собой спектр собственных значений матрицы Z, причем каждое собственное значение встречается в качестве диагонального элемента столько раз, какова его алгебраическая кратность.

Собственными значениями квадратной матрицы называются такие значения скалярного параметра , для которых матрица[Z- Е] является вырожденной, т.е. определитель |Z- Е| = 0, где Е - единичная матрица.

Следовательно, для нахождения спектра собственных значений необходимо решить уравнения относительно:

=0. (2.1)

Корни этого уравнения равны, следовательно ₁=,_2,3=, диагональная матрица, независимо от преобразующей матрицы Т, имеет вид:

Z=

Условию (2.1) удовлетворяет большое количество преобразующих матриц. Ниже приводятся матрицы, наиболее широко используемые для расчетов:

1. Система симметричных составляющих или матрица Фортескью (составляющие прямой 1, обратной 2 и нулевой 0 последовательностей):

Z_ф=

где а=- фазный множитель. В методе симметричных составляющих (МСС) сопротивление прямой последовательностиZ₁=Z_c-Z_вз, сопротивление обратной последовательности Z₂=Z_c-Z_вз, сопротивление нулевой последовательности Z₀=Z_c+2Z_вз. Это преобразование целесообразно использовать для схем, в которых сопротивления прямой и обратной последовательностей равны, а также для расчета установившегося режима. Недостатком системы симметричных составляющих является наличие комплексных элементов (а) в преобразующей матрице Т, что особенно неудобно при расчетах переходных процессов и на ЭВМ.

2. Система составляющих EditClarke (

Z_к=.

Этой системой целесообразно пользоваться при Z₁Z₂ и для расчета переходных режимов. Здесь нет комплексных коэффициентов, однако имеются иррациональные. В матрице преобразования Кода отсутствуют и иррациональные элементы, но при этом матрицы преобразования для тока и напряжения различны.

3) Система составляющих Парка (d,q,0):

Z_p=

Эта система наиболее полно соответствует конструкции электрических машин и позволяет параметрические дифференциальные уравнения, описывающие процессы в машинах свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Она позволяет учесть неравенство эквивалентных сопротивлений контуров электрической машины по продольной и поперечной осям. Однако, эта система достаточно сложна. При переходе от системы фазных координат (А,В,С) к системе (d,q,0) требуется выполнение сложных матричных перемножений. Кроме того, дифференциальные уравнения, описывающие переходный режим в машине также содержат переменные коэффициенты.

В данном разделе рассмотрены методы расчета токов КЗ при однократном несимметричном КЗ, т.е. при однократной поперечной несимметрии. При этом предполагается, что электрическая сеть является симметричной, а несимметрия возникает только вследствие КЗ.