1.1.1 Векторный способ задания движения точки

     В этом случае положение точки на плоскости или в пространстве определяется вектором-функцией 

r=r(t)            (1.1)

Рисунок 1.1

     Этот вектор откладывается от неподвижной точки, выбранной за начало отсчета, его конец определяет положение движущейся точки.

Годограф r, т.е. положение концов этого вектора в пространстве, определяет траекторию движущейся точки. Ее скорость в этом случае определяется как производная от радиуса-вектора и направлена по касательной к годографу r (по касательной к траектории движения точки, рисунок 1.1):

V=dr/dt           (1.2)

а

б

Рисунок 1.2

     Ускорение точки (изменение ее скорости) определяется как производная от скорости:

11. Координатный способ задания движения с помощью ускрения точки  В выбранной системе координат задаются координаты движущейся точки как функции от времени. В прямоугольной декартовой системе координат это будут уравнения:

x=x(t)

y=y(t)                   (1.4)

z=z(t)

Рисунок 1.3

     Эти уравнения являются и уравнениями траектории в параметрической форме. Исключая из этих уравнений параметр t, можно получить три пары систем двух уравнений, каждая из которых представляет траекторию точки, как пересечение поверхностей.

    Кроме декартовых могут быть использованы другие системы координат (сферическая, цилиндрическая). Всегда можно перейти от координатного способа задания движения к векторному (рисунок 1.3):

       r(t)=i⋅x(t) ⊕ j⋅y(t) ⊕ k⋅z(t) (1.5)

     Поэтому, используя формулы для определения скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения, можно получить аналогичные формулы для координатного способа:

    То есть: 

 

     Направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов:    

 

     Формулы (1.6) и (1.7) полностью определяют вектор скорости при координатном способе задания движения точки, т.е. по величине и направлению.

     Аналогичны формулы для определения ускорения точки:

     Формулы (1.8) определяют величину и направление вектора ускорения. В формулах (1.6) и (1.8) приведены используемые в различных учебниках обозначения проекций скоростей и ускорений точек на оси декартовой системы координат.

12. Естественный способ задания движения точки, скорости ускорения точки

Из определения скорости точки где - единичный вектор касательной, тогда Алгебраическая скорость – это проекция вектора скорости на касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты. Из определения ускорения поскольку τ - переменный по направлению вектор, то: Производная определяется только свойствами траектории в окрестности данной точки, при этом n - единичный вектор главной нормали, ρ   - радиус кривизны траектории в данной точке. Таким образом, т.е. вектор ускорения раскладывается на две составляющие - касательное и нормальное ускорения: Здесь: - алгебраическое значение касательного ускорения (проекция вектора ускорения на касательную) характеризует изменение скорости по величине; – нормальное ускорение (проекция вектора ускорения на главную нормаль) характеризует изменение скорости по направлению. Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и проекция ускорения на бинормаль равна нулю (ab=0). Движение точки ускоренное, если знаки проекций векторов скорости и ускорения на касательную совпадают. >> Задачи кинематики твердого тела

Теоретическая механика Содержание краткой теории Примеры решения задач  Обзорный курс Литература

13.Частный случай движения точки При движении точки по траектории направления естественных осей непрерывно изменяются.

2. О кривизне кривой. Угол между двумя касательными в двух сколь угодно близких точках М и М₁ на кривой называется углом смежности. Обозначим его через Δφ. Отношение Δφ к элементу дуги Δs называется средней кривизной кривой К_{с р}на отрезке ММ₁

K_CP=

Предел этого отношения при Δs 0 называется кривизной К кри­вой в данной точке:

K =

Следует заметить, что в общем случае кривизна кривой не явля­ется постоянной величиной и изменяется от точки к точке.

Величина р, обратная кривизне кривой в данной точке М, назы­вается радиусом кривизны кривой в этой точке:

ρ = K=,

откуда К = .

 

 

 

1. Прямолинейное движение. Если во время движения нормальное ускорение ω_n равно нулю, то движение точки является прямолинейным. Действительно, если ω_n = 0, то =0 и ρ=∞, т. е. траекторией являемся прямая. В этом случае полное ускорение равно касательному: ω= ω_τ.

2. Если в криволинейном движении точки в какой-нибудь момент времени нормальное ускорение равно нулю (ω_n= 0), эта точка в данный момент находится в точке перегиба траектории.

3. Равномерное криволинейное движение. Если во время движения точки касательное ускорение ω_τравно нулю (ω_τ=0) величина проекции скорости υ_τ не изменяется. Действительно, ω_τ=0; ; υ_τ=const. В этом случае точка движется равномерно по кривой, а полное ускорение точки равно нормальному: ω=ω_n.

4. Равномерное и прямолинейное движение. Если во время движения точки ее ускорению равно нулю (ω = 0), то движение является равномерным и прямолинейным, так как скорость в этом случае не изменяется ни по величине, ни по направлению.

5 Равнопеременное движение. Если во время движения точки ю некоторой кривой касательное ускорение будет постоянным(ω_τ=const), то движение точки называется равнопеременным криволинейным движением. При этом если τω_τ совпадает с направлением скорости, то движение называется равноускоренным, если τω_τ не совпадает с направлением скорости, то движение точки будет равнозамедленным.

Выразим скорость и закон движения точки s=s (t) в случае равнопеременного движения.

Так как ω_τ= const, то υ_τ =const, υ_τ = ω_τt + С₁. Постоянную интегрирования найдем из начальных условий движе­ния: при t = О, υ_τ = υ₀-Следовательно, С₁ = υ_о. Получим

υ_τ= υ₀+ ω_τt

 

Так как υ_τ = s, то

s= υ₀+ ω_τt, ds= υ₀dt+ ω_τtdt.

14.Поступательное движение твердого тела скорости и ускорения точек тела при поступательном движении Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором прямая, проходящая через любые две точки в этом теле, будет оставаться параллельной своему первоначальному положению во все время движения. Заметим, что при этом траектории точек тела могут быть любыми и иметь форму прямой, окружности, пространственной кривой и т.д.

Примерами поступательного движения служат движения контактной рейки трамвайного пантографа относительно вагона, кабины колеса обозрения в парке относительно земли, ступеней эскалатора относительно пола в метро и т. д.

Свойства поступательного движения: 1) траектории всех точек тела, совершающего поступательное движение, конгруэнтны, т. е. одинаковы, и могут быть получены одна из другой параллельным переносом; 2) скорости всех точек тела одинаковы; 3) ускорения всех точек тела одинаковы.

Эти выводы можно подтвердить на основании следующего анализа. Дня двух любых точек А и В тела, совершающего поступательное движение (рис.), можно записать соотношение , где АВ=const - вектор, имеющий постоянные модуль и направление во время движения, так что траектории точек А и В как годографы соответствующих радиус-векторов rA и rB оказываются смещенными в любой момент времени одна относительно другой на одну и ту же величину в одном и том же направлении, что и доказывает первое свойство.

Дифференцируя левую и правую части приведенного выше векторного соотношения и учитывая, что dAB/dt=0, получаем drB/dt =drA/dt, или VB = VA. Дифференцируя по времени левую и правую части полученного соотношения для скоростей, находим dVB/dt=dVA/dt, или аB = аА. На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод: чтобы задать движение и определить кинематические характеристики тела, совершающего поступательное движение, достаточно задать движение одной его любой точки (по- люса) и найти ее кинематические характеристики.

Как и материальная точка, тело при его поступательном движении будет иметь одну степень свободы при движении по направляющей, задающей траекторию его точкам; две степени свободы в случае движения на плоскости (при постоянном контакте с ней хотя бы одной точкой) и три степени свободы в общем случае движения в пространстве.

15. Вращательное движение твердого тела угловая скорость угловое ускорение равномерное и равнопеременное вращение угловая скорость тела как вектор Поступательное движение - это такое движение твердого тела, при котором любая прямая соединяющая две точки тела, движется, оставаясь параллельной самой себе.

Поступательное движение нельзя смешивать с прямолинейным, так как при поступательном движении траектория может быть какой угодно.

Свойства поступательного движения характеризует следующая теорема:

Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Пусть дано твердое тело совершающее поступательное движение относительно системы отсчета Oxyz (рис. 49 ).

Выберем произвольные точки A и В характеризующиеся радиус-векторами в момент времени t.

Проведем вектор , тогда

Так как тело движется поступательно, то траекторию точки А получим из траектории точки В параллельным смещением всех точек на отрезок .

Продифференцируем уравнение (9.1.1):

Взяв производную от (9.1.3), получаем

т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.

9.2.

Вращательное движение твердого тела

Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором две какие-нибудь точки принадлежащие телу, остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки лежащие на оси так же неподвижны.

Чтобы определить положение вращающегося тела, введем две плоскости, проходящие через ось вращения (рис. 50 ) А - плоскость неподвижная; В - плоскость связанная с телом и вращающаяся с ним; DE - ось вращения, совпадающая с осью z.

Теперь в любой момент времени положение тела будет определяться углом между плоскостями А и В или углом поворота тела, положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Закон вращательного движения

Угол поворота обычно измеряют в радианах.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то средняя угловая скорость будет численно равна

Угловой скоростью тела в данный момент t называется величина, к которой стремится средняя угловая скорость , если стремится к нулю.

Угловая скорость твердого тела является первой производной от угла поворота по времени.

Размерность: [радиан/время]; [1/время]; [1/сек =].

Угловую скорость можно изображать вектором. Вектор угловой скорости направляют по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки.

Если угловая скорость не является постоянной величиной, то вводят еще одну характеристику вращения - угловое ускорение.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.

Если за промежуток времени угловая скорость получает приращение , то среднее угловое ускорение равно

Угловым ускорением твердого тела в данный момент времени t называется величина к которой стремится при стремящемся к нулю

Как вектор, угловое ускорение направлен так же, как и , вдоль оси (рис. 51 )

Если направление и совпадает, то вращение ускоренное, если противоположно, то замедленное.

Если = const, то вращение будет равномерным.

Найдем его закон. Так как , то, интегрируя при начальных условиях t = 0, = 0, получаем

Это и есть закон равномерного вращения.

В технике вращение характеризуют оборотами в минуту n [об/мин]. Угловая скорость и обороты в минуту n связаны следующим соотношением:

Если угловое ускорение тела все время остается постоянным, то вращение называют равнопеременным (= const).

Найдем закон вращения, если в начальный момент t = 0, = 0 и :

, интегрируя получаем

Подставляем вместо правую часть (9.2.3), разделяем переменные и, вновь интегрируя, имеем

Это закон равнопеременного вращения.

Если и имеют один знак, то вращение равноускоренное. Если знаки разные - равнозамедленное. (рис. 51, а,б).

9.3.

Скорость и ускорение точек вращающегося тела

Рассмотрим точку М вращающегося тела (рис. 50) находящуюся на расстоянии h от оси вращения. За время dt тело поворачивается на угол . Точка М по траектории совершает перемещение ds =. Тогда скорость точки будет равна отношению ds к dt, то есть

v - называется линейной или окружной скоростью точки М твердого тела. Направлена линейная скорость по касательной к описываемой точкой М окружности. Линейные скорости пропорциональны их расстояниям от оси вращения (рис. 52 ).

Найдем ускорение произвольной точки М вращающегося тела.

Полное ускорение точки М будет

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса определяется углом (рис. 53 )

9.4.

Задачи

9.4.1

При вращении кривошипа м угол изменяется по закону . Определить радиус кривизны траектории точки D полукруга ABD при t = 2 с, если АВ = 0,25 м . (0,16)

9.4.2

Тело 3, установленное на двух цилиндрических катках 1 и 2, совершает поступательное движение. Чему равно ускорение точки С, если ускорение точки А равно 2 , причем ВС = 2АВ = 1 м . (2)

9.4.3

Угловая скорость тела изменяется согласно закону . Определить время t остановки тела. (0,5)

9.4.4

Угловое ускорение тела изменяется согласно закону = 2t. Определить угловую скорость тела в момент времени t = 4 с, если при = 0 угловая скорость равна нулю. (16)

9.4.5

Нормальное ускорение точки М диска, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно 6,4 . Определить угловую скорость этого диска, если его радиус R = 0,4 м . (4)

9.4.6

Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону . В момент времени t = 2 с определить касательное ускорение точки тела на расстоянии от оси вращения r = 0,2 м. (4,8)

9.4.7

Какой должна быть частота вращения (об/мин) шестерни 1, чтобы тело 3 двигалось с постоянной скоростью v = 90 см/с, если числа зубьев шестерен = 26, = 78 и радиус барабана r = 10 см? (258)

9.4.8

Угловая скорость зубчатого колеса 1 изменяется по закону . Определить ускорение груза 3 в момент времени t = 2 с, если радиусы шестерен = 1 м, = 0,8 м и радиус барабана r = 0,4 м . (4)

9.4.9

Зубчатое колесо 3 вращается равнопеременно с угловым ускорением . Определить путь, пройденный грузом 1 за промежуток времени t = 3 с, если радиусы = 0,8 м, = 0,6 м, r = 0,4 м. Груз 1 в начале движения находился в покое . (10,8)

16. Скорости и ускорения точек врящающегося тела Скорости и ускорения точек при вращении твердого тела

Рисунок 2.4

     При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется по окружности. Радиус окружности R равен расстоянию от точки до оси вращения. 

     Закон движения точки может быть задан естественным способом (рисунок 2.4): траектория – окружность; начало отсчета точка O₁  и положительное направление движения выбраны, длина дуги (дуговая координата) определяется по формуле 

     Скорость точки

                                    V=dS/dt=dφ⋅R/dt=ωR          (2.9)

     Скорость направлена по касательной к траектории, поэтому можно написать

     Вектор скорости можно получить векторным произведением:

                                       V=ω⊗ r,  V=ω⋅rsinα=ωR.

     Ускорение при естественном способе задания движения определяется как сумма касательного и нормального ускорений (см. вывод формулы (1.10)):

Рисунок 2.5

        Эти же выражения можно получить, взяв производную от векторного произведения V=ω⊗ r  .

     Угол, который составляет полное ускорение с радиусом, может быть определен из соотношения (рисунок 2.5)

     То есть эти углы для всех точек тела одинаковы и не зависят от их расположения на теле. На этом же рисунке представлены законы распределения скоростей и ускорений точек во вращающемся теле в зависимости от расстояния их до оси вращения. Эти законы распределения соответствуют формулам:  

 

17.Сложное движение точки теорема о сложении ускорений Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.  Опр-е ускорения точки в сложном движении VM=VO+[ ωr]+Vr WM=d VM/dt=(d VO/dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+d Vr/dt  dr/dt=[ ωr]+ Vr  WM=Wo+[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ω Vr]+ [ ωVr]+Wr  d Vr/dt=[ ω Vr]+ Wr  Wk=2[ω Vr] WM=WL+Wr+WK – кинематическая теорема Кариолиса Абсолютное ускорение точки –это есть сумма переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кариолиса Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном движении. Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной скорости в переносном движении Ускорение Кариолиса. Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса + пл-ти, в кот-й лежат вектора ω и Vr и направлена в ту сторону,что с конца этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ω к Vr кажется видным против хода часовой стрелки.

18.Сложное движение точки теорема о сложении скоростей Теоре́ма о сложе́нии скоросте́й — одна из теорем кинематики, связывает между собой скорости материальной точки в различных системах отсчёта. Утверждает, что при сложном движении материальной точки её абсолютная скорость равна сумме относительной и переносной скоростей^[1][2].