Содержание

  [убрать] 

• 1 Равновесие механической системы

• 2 Механические связи

• 3 Принцип возможных перемещений

• 4 Принцип Даламбера

• 5 Принцип Даламбера-Лагранжа

• 6 Общее уравнение механики

• 7 Замечание

• 8 Примечания

Равновесие механической системы[править | править вики-текст]

Для свободного тела, то есть тела, на которое не наложено никаких связей, условие равновесия в декартовой системе координат определяется равенством нулю сумм проекций действующих на каждый компонент системы сил на координатные оси и сумм всех приложенных к телу моментов сил относительно этих осей:

 (1)

и (2)

Выполнение этих условий будет свидетельствовать о том, что избранная система отсчёта инерциальна и потому в этой системе отсчёта тело будет либо покоиться, либо двигаться без поворота (в том числе и вращения) равномерно и прямолинейно.(^[1] Стр.601)

Но выполнения этих условий недостаточно для того, чтобы равновесие сохранялось независимо от внешних воздействий на систему. Для этого необходимо, чтобы оно было устойчивым.

Равновесие системы считается устойчивым, если при малом нарушении её консервативности, т.е изменении суммы её кинетической и потенциальной энергий (^[1] Стр.309) путём воздействия извне, её компоненты мало отклоняются от равновесного положения и возвращаются в него после прекращения воздействия.

Для консервативных систем достаточное условие равновесия системы определяется теоремой Лагранжа-Дирихле, согласно которой равновесие устойчиво, если положение её равновесия соответствует минимуму потенциальной энергии

24.Дифференциальное уравнение движения материальной точки МТ) по заданной неподвижной поверхности и плоской кривой.

Рассмотрим МТ М, движущуюся под действием задаваемой силы Р по некоторой поверхности, являющейся для точки связью (рис. 11.5).

 

 

Рис. 11.5

 

Пусть уравнение поверхности имеет видf(x, y, z)= 0.

Рассмотрим случай, когда эта поверхность абсолютно гладкая. В этом случае реакция связи N направлена по нормали к поверхности и называется нормальной реакцией.

Согласно принципу освобождаемости от связи отбросим связь, заменив ее действие реакцией N. Тогда для несвободной МТ М получим основное уравнение динамики

mw=P+ N. (11-11)

Спроектировав векторы обеих частей равенства на оси координат получим диф. уравнение движения

md²x/dt²= X+ N_x; md²y/dt²= Y+ N_y; md²z/dt²= Z+ N_x. (11-12)

При этом N_x= Ncos (N,i); N_y= Ncos (N,j); N_z= Ncos (N,k).

При наличии удерживающей связи, т.е. двух параллельных поверхностей, между которыми движется точка, реакция N может быть направлена по нормали к поверхности как в одну, так и в другую стороны. Условимся считать нормальную реакцию положительной, когда она направлена в сторону внешней нормали к поверхности, т.е. в сторону точек пространства, для которых f(x, y, z)> 0, и отрицательной- в противоположном случае.

Тогда косинусы углов между N и осями координат можно определить по формулам дифференциальной геометрии, как направляющие косинусы внешней нормали к поверхности, имеющей уравнение f(x, y, z)= 0:

cos(N,i)= (¶f/¶x)/Df; cos(N,j)= (¶f/¶y)/Df; cos(N,k)= (¶f/¶z)/Df, (11-13)

где

Df= [(¶f/dx)²+ (¶f/dy)²+ (¶f/dz)²]^1/2. (11-14)

 

С использованием (11-14) определим проекции нормальной реакции и подставим это в диф. уравнения

md²x/dt²= X+ l(¶f/¶x); md²y/dt²= Y+ l(¶f/¶y); md²z/dt²= Z+ l(¶f/¶z), (11-15)

где l= N/Df- множитель Лагранжа.

Уравнения (11-15) называются диф. уравнениями движения несвободной материальной точки в форме Лагранжа.

Из трех диф. уравнений (11-15) и уравнений связи (11-1) в зависимости от времени можно определить неизвестные величины x, y, z, l.

Получив координаты точки как функции времени, определим движение точки М, а определив l, можно найти алгебраическое значение нормальной реакции поверхности по формуле

N= lDf. (11-16)

При наличии неудерживающей связи (одной поверхности) направление реакции совпадает с определенным направлением нормали. В том случае, когда N =0 с последующим изменением знака, происходит отрыв точки М от поверхности.

 

Рассмотрим теперь движение МТ по заданной негладкой неподвижной поверхности, уравнение которой f(x, y, z)= 0. В этом случае реакция связи R имеет две составляющие: нормальную реакцию N и силу трения F с модулем F= mN, направленную противоположно скорости точки (рис. 11.6)

 

Рис. 11.6.

Тогда основное уравнение динамики для несвободной МТ имеет вид:

mw= P+ N+ F. (11-17)

Ему соответствуют диф. уравнения движения точки:

md²x/dt²= X+ N_x +F_x ; md²y/dt²= Y+ N_y +F_y ; md²z/dt²= Z+ N_x+ F_z. (11-18)

Проекции силы трения можно представить в виде

F_x= Fcos(F,i)= -Fcos(u ,i)=- Fu_x/u= - (F/u)dx/dt.

Аналогично

F_у= - (F/u)dу/dt; F_z= - (F/u)dz/dt.

После подстановки этого в (11-18) с учетом (11-15), получим

md²x/dt²= X+ l(¶f/¶x)- (F/u)dx/dt;

md^2`y/dt²= X+ l(¶f/¶y)- (F/u)dy/dt; (11-19)

md^2`z/dt²= X+ l(¶f/¶z)- (F/u)dz/dt.

Из трех уравнений (11-19), уравнений связи (11-1) и уравнения F= mN можно определить пять неизвестных величин: x, y, z, l, F. Алгебраические значения нормальной реакции определится по формуле N= lDf.

Если рассматривать движение МТ по заданной гладкой неподвижной линии, лежащей в одной плоскости (рис.11.7), то уравнение заданной линии будет записываться в форме

f(x, y)= 0, (11-20)

а уравнение динамики-

mw= P+N, (11-21)

а переходя к проекциям аналогично (11-12)…(11-14), получим

md²x/dt²= X+ l(¶f/¶x); md²y/dt²= Y+ l(¶f/¶y), (11-22)

где Df= [(¶f/dx)²+ (¶f/dy)²]^1/2. (11-23)

Однако при движении точки по заданной плоской линии удобней проектировать векторы уравнения (11-21) не на оси декартовых координат , а на естественные координаты, т.е. на направления касательной и нормали траектории, лежащие в плоскости кривой хОу (рис.11.7)

 

Рис. 11.7

При этом касательную направляют в сторону возрастания другой (дуговой) координаты s= O₁M, отсчитанной от произвольно выбранного начала отсчета О₁, а нормаль направляют к центру кривизны траектории.

Спроектировав все векторы (11-21) на оси, получим

mw cos(w,t)= P_t; mw cos(w,n)= P_n +N , (11-24)

где P_t, P_т - проекции силы Р на касательную и нормаль.

Из кинематики известно, что

w cos(w,t)= d²s/dt²; w cos(w,n)= u²/r.

Подставим это в (11-24)

md²s/dt²= P_t; mu²/r= P_n+ N. (11-25)

Эти уравнения называются уравнениями движения несвободной точки в форме Эйлера.

Интегрируя первое уравнение, можно определить сначала скорость, а затем уравнение движения М по заданной траектории s= f(t). Подставив скорость u= df/dtво второе уравнение можно найти алгебраическое значение нормальной реакции N.

Пусть теперь точка М, двигаясь по плоской линии, испытывает сопротивление движению в виде силы трения F с модулем F= mN, направленную противоположно скорости точки.

Основное уравнение динамики несвободной МТ будет иметь вид

mw=P+ N+ F. (11-26)

После разложения на естественные координаты

md²s/dt²= P_t- F ; mu²/r= P_n+ N. (11-27)

Эти уравнения вместе F= mN, где m - коэффициент трения, позволяют определить уравнение движения точки по заданной траектории, алгебраические значения N и модуль силы трения.

 

11.3. Математический маятник и его малые колебания.

Математический маятник- это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая движение в одной вертикальной плоскости под действие силы тяжести.

Пусть на точку М действуют две силы: вес G и реакция нити N (рис.11.8)

Рис. 11.8

Уравнения движения имеют вид

md²s/dt²= P_t= -G sinj = -mgsinj;

mu²/r= P_n+ N= -mg cosj+ N.

За начало отсчета дуговой координаты s примем наинизшее положение О₁.

Так как s= O₁M = lj, то

d²s/dt²= l d²jdt².

Подставляя это в первое уравнение, получим

ml d²jdt²= -mgsinj или

d²jdt²+(g/l)sinj= 0. (11-28)

Это уравнение нельзя проинтегрировать по времени при помощи элементарных функций. Если при малом угле j принять sinj» j, то (11-28) примет вид

d²jdt²+(g/l) j= 0, (11-29)

которое при k= (g/l)^1/2 имеет решение

j= a sin(kt+ β), (11-30)

где a - амплитуда угла j при малых колебаниях маятника.

Величина амплитуды зависит от начальных условий. Период колебаний определяется по частоте колебаний k:

T= 2p/k= 2p(l/g)^1/2. (11-31)

Модуль реакции нити определим из второго уравнения при r= l:

N= mu²/l+ mg cosj. (11-32)

Для определения скорости преобразуем уравнение (11-28).

Т.к. d²jdt²= dw/dt= (dw/dj)dj/dt=(dw/dj)w, то получим

wdw/dj= -(g/l)sinj или wdw= -(g/l)sinj dj.

Проинтегрируем его

w²/2= (g/l)cosj+ C. (11-33)

Постоянную С определим из начальных условий. Пусть t₀=0, w= w₀, j=j₀. Подставим это в (11-33)

w₀ ²/2= (g/l)cosj₀ + C.

Отсюда С= w₀ ²/2- (g/l)cosj₀.

Подставим полученное в (11-33)

w²=w₀ ²+ 2(g/l)(cosj- cosj₀) . (11-34)

Умножим обе части равенства на l²:

u²= u₀²+2gl(cosj- cosj₀). (11-35)

Подставив (11-35) в (11-32), найдем модуль реакции нити:

N= G[u₀²/(gl)+ 3 cosj- 2 cosj₀]. (11-36)

Формула (11-36) справедлива не только для малых колебаний, поскольку получена не из приближенного, а из точного решения диф. уравнения.

Пример 11.1 Груз подвешен на нити длиной 70 см. В наинизшем положении ему сообщена горизонтальная скорость 4,9 м/с (рис. 11.9).

 

Рис. 11.9

Определить:1) в каком положении нить перестанет удерживать груз и он начнет двигаться как свободная точка; 2) при какой наименьшей начальной горизонтальной скорости груз опишет полную окружность.

Решение. Модуль реакции нити в любом положении равен

N= G[u₀²/(gl)+ 3 cosj- 2 cosj₀].

Положение груза, когда нить перестанет его удерживать, определится из условия, что в этом положении реакция нити равна нулю:

[u₀²/(gl)+ 3 cosj- 2 cosj₀]=0.

Откуда

cosj= [2cosj₀- u₀²/(gl)]/3= [2-4,9²/(9,8*0,7)]/3=- 0,5.

Т.е. искомое положение груза j= 120°.

Минимальная начальная скорость, при которой груз опишет полную окружность, будет такой же, как и при прохождении полуокружности, и определяется по формуле (11-36) из условия

N³ 0 при j= 180°, т.е.

u₀²/(gl)+ 3 cosp- 2 ³ 0.

Откуда

u₀³ (5gl)^1./2 и u_0 min= (5gl)^1./2.

25.Две основные задачи динамики точки  В основе классической динамики лежат законы, впервые сформулированные и систематически изложенные И.Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии».

    В зависимости от того, что нам известно и что необходимо найти, в динамике рассматривают две основные задачи.

    Первая, основная задача динамики точки заключается в том, чтобы по заданному закону движения материальной точки определить результирующую или одну из составляющих сил, действующих на эту точку.

    При наличии нескольких сил, действующих на точку, второй закон Ньютона дает основное уравнение динамики точки

где  m  – масса точки;

        a   – ускорение точки;

        F_i  – силы, действующие на точку.

    В зависимости от способа задания движения точки, это уравнение можно записать по-разному.

    Для векторного способа задания движения

где   r = r (t) – радиус-вектор, определяющий положение точки по отношению к выбранной системе отсчета.

    Для координатного способа задания движения точки

где x = x (t), y = y (t), z = z (t)  – координаты точки, заданные как функции времени.

    Для естественного способа задания движения точки

                                               0 = Σ F_ib ,

где  dV/ dt  – проекция ускорения точки на касательную в данной точке (касательное ускорение),  V²/ ρ  – проекция ускорения на нормаль (нормальное ускорение),  

ρ – радиус кривизны траектории. 

    В правой части уравнений – проекции сил на касательную ΣF_iτ , 

нормаль ΣF_in и  бинормаль ΣF_ib .

    По заданному закону движения точки определяются правые части этих уравнений, и далее может быть определена результирующая сила   

– при  координатном способе задания движения:  

– при естественном способе или одна из составляющих сил:

    Направление силы определяется с помощью направляющих косинусов:

cos (α) = R_x / R ,  cos (β) = R _y / R  , cos (γ) = R _z / R   (1.5)

где α , β , γ – углы между направлением силы и осями x , y , z соответственно.

Аналогично определяются углы, которые составляют силы с естественными осями координат.

 Вторая, основная задача динамики точки заключается в том, чтобы по заданным силам, действующим на точку, определить ее движение.

    Пусть на материальную точку действует некоторая система сил и требуется определить движение точки под действием этих сил.

    Уравнение второго основного закона динамики для материальной точки массой mзапишется в виде

где a – ускорение точки;

     F_i – силы, действующие на точку, включая реакции связей. 

    Спроектировав уравнение (4.1) на декартовы оси координат, получим систему из трех уравнений 

где  a_x , a_y, a_z – проекции ускорения точки на декартовы оси координат;

 F_x, F_y, F_z – проекция i -й силы на соответствующую ось.

    Учитывая, что

получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно проекций скорости точки или второго порядка относительно координат точки.

    Спроектировав уравнение (4.1) на естественные оси координат, получим следующую систему уравнений: 

                                   

ma_τ = ΣF_τi ,

ma_n = ΣF_ni,

0 = ΣF_bi .

    Учитывая, что

где V – алгебраическое значение скорости, получим

                                            0 = ΣF_bi .

    В зависимости от того, что известно о движении точки, дифференциальные уравнения записывают или в декартовых, или в естественных координатах.

    Каждое дифференциальное уравнение дает целый класс решений, отличающихся друг от друга на некоторую постоянную величину. Чтобы получить решение конкретной задачи, должны быть заданы так называемые начальные условия, которые позволяют определить постоянные интегрирования.