3.3. Уравнение моментов количества движения (второе уравнение Эйлера)

Из курса механики известно, что изменение суммарного момента количества движения относительно какой-либо оси равно сумме моментов импульсов всех сил, приложенных к телу относительно той же оси. Относительно оси x можем написать (рис.3.3):

dm(w_zy - w_yz) = M_xd (3.7)

где выражение в скобках означает момент количества движения элементарной массы относительно оси x. При стационарном движении изменение момента количества движения жидкости, перемещающейся за время d из объёма 1 – 2 в объём 1, равно разности моментов количества движения в элементарных объёмах 2 - 2' и 1 - 1':

dm(w_zy - w_yz) = G[(w_z2y₂ – w_y1z₂) – (w_z1y_{1 –} w_y1z₁)], (3.8)

где G – секундный массовый расход жидкости.

Рис. 3.3. Схема к выводу уравнения момента количества движения

Момент количества движения заштрихованной массы 1' – 2 (рис.3.3) ввиду стационарности движения при вычитании сокращается. Подставляя (3.8) в левую часть (3.7) после интегрирования получаем уравнение моментов количества движения в гидродинамической форме относительно оси x. Соответствующие уравнения относительно осей y и z могут быть написаны по аналогии с уравнением для оси x:

M_x = G[(w_z2y₂ – w_y1z₂) – (w_z1y_{1 –} w_y1z₁)]

M_y = G[(w_x2z₂ – w_z2x₂) – (w_x1z₁ – w_z1x₁)] (3.9)

M_z = G[(w_y2x₂ – w_x2y₂) – (w_y1x₁ – w_x1y₁)]

Уравнение моментов количества движения имеет простую и удобную форму в полярных координатах. В этом случае векторы скорости раскладываются на тангенциальные (окружные) и радиальные составляющие, при этом моменты количества движения радиальных скоростей равны нулю. Схема для определения момента количества движения в полярных координатах показана на рис.3.4.

M = G() (3.10)

Это уравнение известно как турбинное уравнение Эйлера.

Рис. 3.4. Момент количества движения в полярных координатах (u₁=w_φ– вектор тангенциальной скорости)

При движении по инерции момент равнодействующей относительно полюса 0 равен нулю и мы приходим к известному закону постоянства площадей треугольников, построенных на радиус-векторе любой точки жидкости и векторе её тангенциальной скорости:

w_φ·r = const (3.11)

Уравнение (3.11) выражает закон потенциального вращения. Поскольку тангенциальная скорость равна w_φ = ω·r, то очевидно, что с уменьшением радиуса тангенциальная скорость увеличивается, в пределе до бесконечности. Поскольку это физически невозможно, то на некотором радиусе жидкость начинает вращаться по закону вращения твёрдого тела. В отличие от закона потенциального вращения, закон вращения твёрдого тела установлен экспериментально, то есть не был выведен строго аналитически. Однако он был много раз подтверждён в исследованиях различных учёных не только при ламинарном течении газа, но и в условиях развитого турбулентного течения, в том числе в камерах сгорания ГТД. Схема физического вихря показана на рис 3.5.