3.5. Параметры торможения

В соответствии с соотношением (3.21) температура газа становится равной температуре торможения тогда, когда скорость течения потока становится равной нулю при отсутствии обмена с окружающей средой. Поскольку i = c_pT , температуру торможения выразим как (3.28):

T* = T + (3.28)

Теплоёмкость воздуха равна 1005 Дж/кгград, откуда для воздуха

T* = T + .

Температура термометра, помещённого в поток, приблизительно равна температуре торможения. Это объясняется образованием у стенок термометра пограничного слоя, в котором набегающий поток полностью затормаживается. Неподвижный термометр не может измерить статическую температуру в потоке газа, для этого пришлось бы перемещать его со скоростью потока. Поскольку температура торможения пропорциональна квадрату скорости, то поверхность тел, движущихся с очень высокой скоростью, сильно разогрета. Например, температура поверхности снаряда при скорости 1500 м/с превышает 1000 K. Температура обшивки турбореактивного самолёта, летящего со скоростью 800 км/ч (222,22 м/с) выше температуры за бортом примерно на 25^◦C. Из-за очень высокого нагрева обшивки на спускаемых аппаратах космонавтов устанавливают специальные защитные экраны в виде огнеупорных пластин, которые частично сгорают в плотных слоях атмосферы. В реальных условиях величина динамической добавки температуры оказывается меньше вследствие теплообмена между полностью заторможенным и близлежащими слоями. В этом случае для расчёта вводится коэффициент восстановления температуры, который обычно определяется экспериментально и зависит от условий течения воздуха. Тогда

T* = T + r (3.29)

где r – коэффициент восстановления температуры. Например, указанных выше условий полёта самолёта r ≈ 0,8.

Из уравнения Бернулли (3.25) для несжимаемой жидкости и z = 0 следует:

p* = p + (3.30)

Давление p* называется давлением торможения, или полным давлением. Физический смысл уравнения (3.30) – это давление полностью заторможенного потока, когда скорость равна нулю. Уравнение (3.30) можно использовать в расчётах только при низких дозвуковых скоростях потока, когда сжимаемостью жидкости можно пренебречь, и ошибка расчётов в этих случаях будет незначительной.

В энергетически изолированном течении максимальная скорость может быть получена тогда, когда полная энтальпия будет превращена в кинетическую энергию, то есть при расширении газа до абсолютного вакуума (i = 0, p = o). Тогда в соответствии с (3.21) имеем:

W_max = = (3.31)

Для воздуха (c_p = 1005 Дж/кг∙град) формула (3.31) принимает следующий вид:

W_max = 44,833 (3.32)

Разделим обе части (3.28) на T:

= ,(3.33)

где a – скорость звука. При выводе последнего выражения были использованы уравнение Майера (c_p – c_v = R) и отношение теплоёмкостей при постоянном давлении и постоянном объёме ( = k). Отношение скорости потока к скорости звука в данной среде называется числом Маха. Число Маха является критерием подобия газовых течений. Если число Маха меньше единицы, то течение является дозвуковым, если больше единицы – сверхзвуковым, если число Маха равно единице, то течение потока считается звуковым, или критическим. Используя выражение числа Маха, можем получить расчётную формулу для отношения температуры торможения к статической температуре в функции числа Маха:

= 1 + (3.34)

Вернёмся к уравнению Бернулли в виде (3.27)

–1] + = 0

В случае идеального торможения потока жидкости, когда w₂ = 0 и p₂ = p^*, получим (опуская индексы «1»):

- 1] + = 0, откуда

(3.35)

Используя далее формулу скорости звука a = ,получим выражение для отношения давления торможения к статическому давлению в функции числа M:

(3.36)

Выражение (3.35) можно получить, используя соотношения идеальной адиабаты:

и

Из этих же соотношений можно получить формулу для расчёта плотности идеально заторможенного потока:

(3.37)

Если скорость потока равна скорости звука, когда число Маха равно единице (M = 1), режим течения называется критическим. В этом случае из (3.33) получаем:

= (3.38)

Скорость звука для критического режима:

= = (3.39)

Для воздуха (k = 1,4) a_кр = 18,3

Представим выражение (3.33) в следующем виде:

Откуда, используя (3.38), получаем следующее выражение:

= 1 – (3.40)

где λ называется коэффициентом скорости и выражает отношение скорости потока к критической скорости звука:

λ = (3.41)

Между λ и M имеется конкретная связь, которую представляют следующие соотношения:

λ² = ;M² =

При критическом режиме (λ = M = 1) максимальной скорости течения, когда T = 0, соответствует максимальное значение коэффициента скорости:

= (3.42)

Для воздуха (k = 1,4) λ_max = 2,45

Коэффициент скорости, также как и число Маха, может считаться критерием подобия газовых течений. Между ними имеется однозначная зависимость, которая легко может быть получена с использованием соотношений (3.34) и (3.40).

Из уравнения (3.40) с использованием соотношений идеальной адиабаты могут быть получены уравнения для отношений и.

Таким образом, имеем следующие соотношения:

= 1 – =

=

= ε

Величины ε называются газодинамическими функциями параметров торможения. Эти очень важные величины применяются в инженерных расчётах. Они сведены в таблицы газодинамических функций, составленных для различных значений чисел M и λ, а также для различных показателей адиабаты k.

Протекание кривых газодинамических функций параметров торможения показан на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Газодинамические функции параметров торможения