121

В результате 27,3 < v < 28,3.

7.8.2. Доверительный интервал для оценки cреднего квадратического отклонения

Пусть случайная величина Х распределена в генеральной совокупности по нормальному закону. По данным выборки можно найти для нее

σ = D . Требуется найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности σ0 c заданной надежностью γ.

Пусть P(σo −σ <ε)=γ или P(σ −ε <σo <σ + ε)=γ . Преобразуем неравенство в скобках к виду, удобному для использования

готовых таблиц. Неравенство

σ

−ε <σ0 <σ

+ ε равносильно неравенству

где

q =ε /σ

.

σ

(1− q)<σo <σ

(1+ q),

(7.9)

1

1

1

Предполагая, что

перепишем (6.9) в виде

.

q <1,

<

<

σ

(1+ q)

σo

σ

(1− q)

Умножая

обе

части

неравенства

на

σ

и

обозначая

n −1

χ= σ

, получим

n −1

σ0

n −1

< χ <

n −1

.

(7.10)

1+ q

1− q

Можно показать, что плотность распределения величины

χ

имеет вид

[1]

χn−2e−χ2 / 2

R(χ,n)= .

2n2−3 Г n −12

Поэтому вероятность осуществления неравенства (7.10) равна

P(χ1 < χ < χ2 )= χ∫2R(χ,n)dχ =γ,

χ1

122

где

χ1

=

n −1

,

χ2 =

n −1

.

1+ q

1− q

χ2

Интеграл

∫R(χ,n)d χ

табулирован. Вычислив по данным выборки

χ1

σ

и зная n и γ, можно по таблицам найти

q = q(γ,n), а затем определить

доверительный интервал

Iγ

=[σ

(1− q);σ

(1+ q)], в котором с надежн о-

стью γ заключено неизвестное значение σ0

(см. Приложение 4).

Замечание. Если q >1,

то неравенство (7.9) следует заменить нера-

венством 0<σo <σ

(1+ q).

Можно показать, что в этом случае значения

q >1 могут быть найдены из уравнения

∞∫R(χ,n)d χ =γ.

χ1

Пример.

В условиях примера (стр.106) найти доверительный интер-

вал, накрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ0 с надежностью γ= 0,95.

По данным выборки объема n=15 исправленное среднее квадратиче-

ское отклонение		σ	=1,03мм. При n =15	и γ = 0,95 по таблице Приложе-
ния 4 найдем		q = 0,46. Так как q <1,		то подставляя в (7.9) значения
σ	=1,03мм, q = 0,46, получим
			0,56<σ0 <1,50.

123

8. УПРОЩЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ

8.1. Вариационный ряд с равноотстоящим вариантами. Условные варианты

Непосредственное использование значений признака (вариант), произ-вольным образом выбранных из генеральной совокупности, приводит к существенным затруднениям при вычислении статистических характеристик выборки.

Упрощенные методы их расчета базируются на замене

первоначальных вариант xi условными	ui =	xi − C	.
		∆
Здесь С – так называемый “ложный нуль” (новое начало отсчета),
∆ = xi − xi−1. В качестве ложного нуля	выбирают значение признака,

имеющее наибольшую частоту. Оно обычно располагается примерно в середине вариационного ряда.

Рассмотрим сначала вариационный ряд с равноотстоящими вариантами. Это означает, что ∆ = xi − xi−1 = const для любого i=1,2 ...

Тогда условные варианты будут целыми числами. Действительно, взяв в качестве С произвольную варианту xm , получим

ui =	xi − xm		=	[x1 + (i −1)∆]−[x1 + (m −1)∆]									= i − m - целое число.
	∆							∆
Пример. Найти условные варианты статистического распределения
выборки
		Х				145,2		150,2		155,2		160,2			165,2
		W				0,1		0,2		0,3		0,25			0,15

Принимаем С = 155,2. Очевидно ∆ = 5. Условные варианты будут равны:

u =145,2 −155,2		= −2, u2 = -1, u3 = 0, u4 = 1, u5 = 2.
1	5

Проводить вычисления с ними, конечно проще, чем с первоначальными значениями признака xi.

124

8.2. Эмпирические моменты

Аналогично числовым характеристикам (теоретическим моментам рас-пределения генеральной совокупности), применяемым в теории вероятностей, в статистике рассматривают эмпирические моменты выборочного распределения.

Обычным эмпирическим моментом порядка k называется среднее значение к– ых степеней разностей ( Х – С ):

				m
		M k′ =	∑ni (xi − C)k
				i=1		.
					n
					m
Здесь ni - частота варианты xi				,	n = ∑ni	- объем	выборки, С –
					i=1
произвольное постоянное число (“ложный нуль”).
Начальным эмпирическим				моментом		порядка	k называется
обычный эмпирический момент k – го порядка при С = 0, то есть
					m
		M k		=	1∑ni xik .
					n i=1
Очевидно, что М0 = 1, M1 =	1	m		= xв - выборочная средняя.
		∑ni xi
	n i=1
Центральным эмпирическим моментом порядка k называется
обыч-ный момент k – го порядка, если					С = xв :

mk =	1∑ni (xi − xв )k .
	m
	n i=1
(8.1)

Первые четыре центральных момента выражаются через обычные моменты следующим образом:

m1 = 0, m2 = M2′ − (M3′)2 ,

m3 = M3′ − 3M2′ M1′ + 2(M1′)3 ,

m4 = M4′ − 4M3′ M1′ + 6M2′ (M1′)2 −3(M1′)4 .

125

Непосредственное вычисление центральных эмпирических моментов достаточно трудоемко. Для упрощения расчетов заменяют первоначальные варианты условными. Тогда приходят к так называемым условным эмпирическим моментам.

Условным эмпирическим моментом порядка k называется началь-ный эмпирический момент k - го порядка для условных вариант:

В частноcти,

поэтому

Очевидно,

1

n

1 n

x

i

− C

k

M k =

∑niuik =

∑ni

.

∆

n i=1

n i=1

n

1

n

x

− C

1

n n x

∑ni

1

i

i=1

=

M1

=

∑ni

=

∑ i

i − C

(xв − C),

∆

n

∆

n i=1

∆ i=1 n

xв = M1 ∆ + C .

M k′	=	∑ni (xi − C)k	k	∑niuik	k
		n	= ∆	n	= ∆ M k

Поэтому центральные моменты через условные будут выражаться по формулам:

m2 = ∆2 [M 2 − (M1)2 ], m3 = ∆3 [M 3 − 3M 2 M1 + 2 (M1)3 ],

m4 = ∆4 [M 4 − 4M1 M 3 + 6M 2 (M1)2 − 3(M1)4 ].

Использование полученных формул позволяет значительно упростить вычисление оценок генеральной средней и генеральной дисперсии.

8.3. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим. Метод произведений

Как правило, значения признака (варианты), регистрируемые в опытах, не являются равноотстоящими. При этом условные варианты получаются не целыми числами. Для сведения первоначальных вариант к равноотстоящим применяется следующий прием:

126

Интервал, в котором заключены все наблюдавшиеся значения признака, делится на несколько равных частичных интервалов (желательно, чтобы в каждый частичный интервал попало не менее 10 первоначальных вариант); определяются середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант; в качестве частоты каждой “новой” варианты принимается общее число первоначальных вариант, которые попали в соответствующий частичный интервал (с учетом замечания на стр. 98).

При обработке опытных данных практически всегда приходится вычислять xв и m2 . Если объем выборки достаточно большой, то для сокращения вычислений обычно применяется метод произведений.

Последовательность нахождения	xв и	m2 этим методом рассмотрим на
конкретном примере.
Пример. Из текущей продукции токарного автомата, обрабатываю-
щего валики, сделана выборка объемом		n =100 (см. таблицу 4). Требуется
найти выборочную среднюю xв	и второй центральный момент m2 .
Разобьем весь интервал изменения значений признака (диаметра

валика - Х) 15,20 – 15,60 мм на 8 частичных интервалов: 15,20 – 15,25; 15,25-15,30; …,15,55-15,60. Приняв середины частичных интервалов в качестве новых вариант, получим вариационный ряд из равноотстоящих

вариант: x1 =15,225,		x2 =15,275,...,			x8 =15,575,		частоты	ко торых:
n1 = 6,…, n8 =8 (см. таблицу 7).
								Таблица 7
Интервалы	xi	ni		ui		ni ui	ni ui2	ni (ui +1)2
15,20-15,25	15,225	6		-4		-24	96	54
15,25-15,30	15,275	10		-3		-30	90	40
15,30-15,35	15,325	11		-2		-22	44	11
15,35-15,40	15,375	15		-1		-15	15	0
15,40-15,45	15,425	22,5		0		0	0	22,5
15,45-15,50	15,475	18,5		1		18,5	18,5	74
15,50-15,55	15,525	9		2		18	36	81
15,55-15,60	15,575	8		3		24	72	128
		∑ni =100				-30,5	371,5	410,5

127

В четвертом столбце таблицы указаны условные варианты

ui = xi ∆− C .

В качестве “ложного нуля” принята варианта C = xв =15,425.

Очевидно, ∆ = 0,05. В 5-ом, 6-ом и 7-ом столбцах таблицы помещены величины niui , niui2 , ni (ui +1)2 . В нижней строке указаны суммы соответствующих столбцов.

Контроль правильности вычислений производится следующим образом:

∑ni (ui +1)2 = ∑niui2 + 2∑niui + n

или 410,5 = 371,5 + 2∙(-30,5) + 100; 410,5 ≡ 410,5.

По данным таблицы условные эмпирические моменты первого и второго по-рядков будут равны

			=	1	∑niui = −0,305,		2	=	1	∑niui2	= 3,715.
	M	1				M
				n					n

Окончательно получим

xв = M1 ∆ + C = −0,305 0,05+15,425=15,410,

m2 = ∆2 [M 2 − (M1)2 ]= 0,052[3,715− (−0,305)2 ] = 0,00905.

Непосредственный подсчет выборочной средней и второго центрального момента по первоначальным значениям признака из таблицы 4 с использованием формул (7.1), (8.1) приводит к следующим результатам:

xв =15,411, m2 = 0,00907.

Как видно, замена первоначальных вариант равноотстоящими не приводит к существенным ошибкам, но при этом объем вычислений заметно сокращается.

128

9. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ

Между статистическим распределением случайной величины, которое строится всегда по ограниченному числу опытов, и предполагаемым теоретическим распределением неизбежно некоторое расхождение. Оно порождается либо случайными причинами, обусловленными ограниченным числом наблюдений, либо может быть неслучайным и связано с тем, что принимаемая гипотеза о предполагаемом законе распределения случайной величины противоречит опытным данным.

Для оценки близости теоретического и эмпирического распределений и применяют критерии согласия. Они позволяют установить, является ли расхождение эмпирического и теоретического распределений несущественным (случайным) или значимым (неслучайным).

Идея их построения заключается в следующем. Чтобы принять (или отвергнуть) некоторую гипотезу Н о том, что случайная величина Х подчинена определенному закону распределения с функцией F(x) , вводят в

рассмотрение величину W , которая характеризует меру расхождения между теоретической F(x) и эмпирической F(x) функциями распределения. Очевидно, W - случайная величина, закон распределения которой зависит от закона распределения Х и числа опытов n.

Пусть в результате данной серии опытов установлено, что W приняла некоторое значение w. Предположим, что принятая гипотеза верна и найдем вероятность того, что расхождение W между эмпирическим и теоретическим распределениями за счет чисто случайных причин (связанных с недостаточным объемом опытных данных) не меньше, чем наблюдавшееся для данной серии опытов расхождение w, то есть, что W ≥ w.

Если эта вероятность мала, то это значит, что причины расхождения неслучайны, и гипотеза о предполагаемом характере распределения случайной величины противоречит опытным данным, то есть ее надо отбросить, и наоборот.

129

Вопрос о том, как мала или велика должна быть указанная вероятность, решается не из математических, а из практических соображений с учетом конкретных условий задачи.

Обычно в качестве практически невозможных отклонений принимают такие, вероятность которых не превосходит 0,05 или 0,01 и т.п. Такую вероятность называют уровнем значимости.

Итак, если P(W ≥ w)≤ 0,01 (или 0,05 и т.п.), то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения противоречит опытным данным и должна быть отброшена и наоборот, если P(W ≥ w)> 0,01, то гипотезу

Нможно принять для данного уровня значимости.

Взависимости от того, какая величина принимается в качестве меры W, различают те или иные критерии согласия. Ниже будут рассмотрены лишь два из них, наиболее часто применяемые.

9.1. Критерий χ2 Пирсона

Допустим, что произведено n опытов над случайной величиной Х. Всю область изменения значений Х разобъем на S частичных интервалов или разрядов (в случае непрерывной величины) или групп, состоящих из отдельных значений дискретной величины. Подсчитаем эмпирические частоты ni тех значений xi , которые попали в i-ый разряд (группу). Предпо-

ложим теперь, что для Х	принят некоторый закон распределения. Тогда
можно найти вероятность	попадания Х в каждый из	S разрядов:
p1, p2 ,... ps . Величины ni′	= npi называются теоретическими (выравни-
вающими) частотами.

Критерий χ2 Пирсона служит для оценки степени различия между частотами эмпирического и теоретического распределений и вычисляется как сумма квадратов разностей между теоретическими и эмпирическими частотами, отнесенная к теоретическим частотам (по всем S разрядам).

W = χ2 = ∑s (ni − npi )2 .

i=1 npi

Очевидно, величина χ2 является случайной и тем меньше, чем ближе ni к ni′.

130

Как известно, в теории вероятностей распределением χ2 с k степенями свободы называется распределение суммы квадратов k независимых случайных величин χ2 = χ12 + χ22 +...+ χk2 , каждая из которых подчинена нормированному нормальному закону. Плотность вероятностей этой величины имеет вид:

0
	1		−k k
f (w) =				−1
		e	2 w2
	2k / 2 Г(k / 2)

при	w ≤ 0,
при	w > 0.

Кривые распределения χ2 для различных значений k показаны на рисунке.

Здесь Г(x) - гамма - функция, k - число степеней свободы, k = S −1− m , где S – число разрядов (групп), на которые делится диапазон всех наблюдавшихся значений случайной величины, m – число параметров предполагаемого теоретического распределения (например, для нормального закона m=2).

Распределение χ2 , как видно, характеризуется одним параметром k – числом степеней свободы.

Можно показать, что закон распределения случайной величины W

приближается к закону распределения χ2 с S степенями свободы.
Для распределения χ2 существуют специальные таблицы,	в кото-
рых указана вероятность того, что случайная величина W = χ2	примет
значение, не меньше, чем вычисленное по данным опытов число	w = χq2 .