115

где число t = σε называется квантилем нормального распределения и

определяется из условия

Ф(t)= γ2 .

Следовательно, с надежностьюγ можно утверждать, что довер и- тельный интервал Iγ =[xв − tσ; xв + tσ] накрывает генеральную среднюю

x0. Точность оценки при этом ε = tσ .

Выражение для σ(xв ) зависит от вида выборки. Так, для повторной выборки

σ(xв )= σn0 ,

для бесповторной выборки

σ(xв ) =σ0	1		n
		1−		.
	n		N

Замечания.

1. По условию генеральная дисперсия σ02 предполагается известной,

	но если это не так, то для неë используется соответ							ствующая точечная
	оценка.
	2. Из формулы t =	ε	с учетом выражений для					σ получаем:
		σ
	для повторной выборки
			n = t2σ02		,			(7.7)
				ε2
	для бесповторной выборки
			2		2
			n =	t σ0			.	(7.8)
				2		2
				ε2 + t	σ	0
					N

Следовательно, если требуется оценить генеральную среднюю с наперëд заданной точностью ε и надежностью γ, то потребный объем

116

выборки определяется по формулам (7.7), (7.8) соответственно для повторной и бесповторной выборок.

Пример. В условиях примера (стр. 106) построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительный вероятности γ=0,95 в предположении, что выборка является повто р- ной.

Так как xв = 42,27мм, σ =1,03мм, то заменяя σ0 его оценкой σ , получим

σ(xв )= D(xв )= σn02 ≈ σn = 1,1503 = 0,266.

По таблице функции Лапласа (см. Приложение 2) находим t при задан-

ном γ=0,95:

Ф(t)=	γ	= 0,475	и	t =1,96.
	2

Точность оценки ε = tσ =1,96 0,266 = 0,52. Границы доверительного интервала

xв −ε = 42,27 − 0,52 = 41,75мм, xв + ε = 42,27 + 0,52 = 42,79мм.

Следовательно, с надежностью 0,95 можно утверждать, что генеральная средняя x0 заключена в пределах 41,75< x0 < 42,79.

Отметим , что повышение надежности оценкиγ приводит к возра с- танию Φ(t), ε и доверительного интервала, то есть к уменьшению точности определения действительного значения параметра.

Пример. В условиях примера (стр. 98) найти с надежностью 0,95 точность γ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков и доверительный интервал для математического ожидания диаметров. Предполагается, что диаметры распределены нормально; выборка повторная.

Для рассматриваемой выборки выборочная средняя xв = ∑100xi =15,411мм.