Bunko_E._B._Metod.teoriya_avtom.uprav

В общем виде характеристическое уравнение исследуемой системы можно представить в виде:

1 + W0 (p) Wp(p) = 0.

Тогда характеристическое уравнение исследуемой в лабораторной работе системы с ПИ-регулятором представляется следующим выражением

Ти Т1 Т2p3 + Ти (Т1 +Т2)p2 + Ти (1+KпK0)p + K0 = 0.

Поскольку все коэффициенты положительны, то необходимое условие устойчивости - положительность всех коэффициентов (2a), выполнено для всех рассматриваемых в данной работе типов регуляторов. Если коэффициент передачи регулятора выбран заранее (например, из условий технической реализации регулятора), то для обеспечения устойчивости системы требуется подобрать постоянную времени регулятора Ти из условия (2б)

Ти = K0 T1 T2/[(T1 + T2) (1 + KпK0)].

(3)

При использовании И-регулятора система имеет следующее характеристическое уравнение

Tи T1 T2p3 + Tи (T1+T2)p2 + Tиp + K0 = 0.

Область возможных значений постоянной времени интегратора определяется неравенством

Ти > K0 T1 T2/[T1 + T2].

(4)

Из сопоставления выражений (3) и (4) следует, что для системы с ПИрегулятором условия устойчивости являются менее жесткими, т.е. постоянная времени интегратора может изменяться в более широких пределах при сохранении устойчивости.

При включении П-регулятора характеристическое уравнение системы имеет второй порядок и, согласно критерию Гурвица, система устойчива при любых значениях параметров регулятора.

21

Следовательно, с точки зрения устойчивости, система с объектом второго порядка и П-регулятором имеет предпочтение перед системами с И- и ПИ-регуляторами, которые, повышая порядок системы, сужают область устойчивости.

Анализ точности системы автоматического управления.

Одним из показателей качества САУ является ее точность, которая оценивается величиной ошибки e(t) в различных режимах работы системы. Однако, из-за сложности определения e(t) в любой момент времени точность системы принято оценивать по величине установившейся ошибки

eуст = lim e(t). t → ∞

В зависимости от наличия установившейся ошибки в системе при ступенчатом воздействии различают статические и астатические САУ.

Статическими называют такие САУ, в которых при постоянных внешних воздействиях по окончании переходного процесса сохраняется установившаяся ошибка не равная нулю.

Астатическими называют такие САУ, в которых при постоянных внешних воздействиях по окончании переходного процесса установившаяся ошибка отсутствует, т.е. равна нулю.

Величину установившейся ошибки можно вычислить на основании теоремы о конечном значении функции преобразованной по Лапласу

еуст = lim e(t) = lim p E(p) = lim p G(p) Wе(p), t → ∞ p → 0 p → 0

где E(p) = L e(t) - изображение ошибки;

G(p) = L g(t) - изображение задающего воздействия, в качестве которого принят ступенчатый сигнал

g(t) = A 1(t) и G(p) = A/p;

We(p) = 1/[1 + W0(p) Wp(p)] - передаточная функция ошибки.

22

Выражения передаточных функций для систем с различными типами регуляторов можно представить в следующем виде:

- для ПИ-регулятора

We(p) = [Tиp(T1p+1)(T2p+1)] / [Tиp(T1p+1)(T2p+1)+K0(KпTиp+1)];

- для И-регулятора

We(p) = [Tиp(T1p+1)(T2p+1)] / [Tиp(T1p+1)(T2p+1) + K0];

- для П-регулятора

We(p) = [(T1p+1)(T2p+1)] / [(T1p+1)(T2p+1) + K0Кп].

Для И- и ПИ-регуляторов установившаяся ошибка вычисляется по формуле

eуст = lim p A/p We(p) = 0, p → 0

т.е. астатическая система при ступенчатом воздействии не имеет установившейся ошибки. В случае применения П-регулятора:

еуст = A / [1 + КпК0].

Следовательно, если числитель передаточной функции системы по ошибке не содержит p0, то система является астатической и при ступенчатом воздействии система не имеет установившейся ошибки. Поэтому, с точки зрения точности, системы с И и ПИ-регуляторами предпочтительнее систем с П - регуляторами.

Таким образом, требования к САУ по устойчивости и точности противоречивы. Задачей синтеза САУ является выбор таких параметров управляющего устройства, которые при выполнении условий устойчивости обеспечивали бы требуемую точность регулирования.

Интегральная оценка качества

Интегральная оценка качества относится к аналитическим методам исследования САУ и дает общую оценку скорости затухания и отклонения управляемой величины в совокупности, без определения указанных параметров в отдельности.

23

Простейшей интегральной квадратичной оценкой является оценка вида

∞

J0 = ∫ e2(t)dt,

0

где e(t) = g(t) - y(t) - ошибка системы; g(t) - задающее воздействие; y(t) - регулируемая величина.

Если e(t) имеет постоянную составляющую в виде установившегося значения eуст, то интеграл J0 будет расходящимся, поэтому в качестве ошибки берут динамическую ошибку системы е1, т.е. отклонение регулируемой величины y(t) от ее установившегося значения

e1(t) = yуст - y(t) = g(t) - eуст - y(t) = e(t) - eуст.

Интегральная квадратичная оценка может быть определена по изображению ошибки

∞c+jω

Jо = ∫	e12dt = [∫ E1(p)E1(-p)dp] / 6,28j.	(5)
-∞	c-jω

Для практических целей более удобной является формула Релея, ко-

торая получается из (5) заменой p=jω

∞∞

J0= [∫ |E1(jω)|2 dω] / 2πj = [∫ |We(jω)|2|G(jω)|2 dω] / 2πj. (6) - ∞ - ∞

Если подынтегральное выражение представить в виде

|E1(jω)|2 = |We(jω)|2 |G(jω)|2 = B(jω) / |A(jω)|2 = B(jω) / [A(jω) A(-jω)],

где A(jω) = a0(jω)n+a1(jω)n-1+...+an-1(ω)+an;	(7)
B(jω) = b0(jω)2n-2+b1(jω)2n-4+...+bn-2(jω)2+bn-1,	(8)
то интеграл (6) вычисляется по формуле

24

∞
J0 = [∫ [B(jω) / |A(jω)|]dω] / 2π = (-1)Mn / [2a0 Dn],	(9)
- ∞
где | a1 a3 a5 a7 ... 0 |
| a0 a2 a4 a6 ... 0 |
Dn = | 0 a1 a3 a5 ... 0 | - старший определитель Гурвица
|.................……|
| 0 0 0 0 ... an|

| b0 b1 b2 ... bn-1| Mn = | a0 a2 a4 .… 0 | |.................……| | 0 0 0 .… an |

Выбор оптимальных параметров управляющего устройства по минимуму интегральной оценки

При заданной структуре САУ задача выбора параметров сводится к следующему. Необходимо отыскать такие значения изменяемых параметров управляющего устройства, при которых интегральная квадратичная оценка принимает минимальное значение, значения изменяемых параметров, доставляющих минимум интегральной квадратичной оценке, могут быть найдены путем взятия частных производных по названным параметрам.

В исследуемой в данной лабораторной работе САУ изменяемым параметром управляющего устройства является постоянная времени интегрирования Ти. Все остальные параметры объекта и управляющего устройства заданы постоянными. Следовательно, задача состоит в определении оптимального Тиопт, при котором J0 = min. Применительно к системам с И- и ПИ-регуляторами и объектом управления, у которого Т1 = Т2, динамическая ошибка может быть представлена следующим образом:

25

И-регулятор:

E1(p) = [1 / p] [1 + W0(p)Wp(p)] =

= [TиT12p2 + 2TиT1p + Tи] / [TиT12p3 + 2TиT1p2 +Tиp + K0];

ПИ-регулятор:

E1(p) = [1 / p] [1 + W0(p)Wp(p)] =

= [TиT12p2 + 2TиT1p + Tи] / [TиT12p3 + 2TиT1p2 + Tи(1 + Kп K0)p + K0].

В соответствии с уравнениями (7) и (8) в данной работе полиномы

A(jω) и B(jω) приобретают вид:
A(jω) = TиT12(jω)3 + 2TиT1(jω)2 + Tи(1+Kп K0)(jω) + K0;		(10)
B(jω) = Tи2T14(jω)4 - 2Tи2T12(jω)2 + Tи2.		(11)
Коэффициенты ai и bi определителей Mn и Dn находятся из выражений
(10) и (11):
a0 = TиT12;	b0 = Tи2*T14;
a1 = 2TиT1;	b1 = -2Tи2*T12;
a2 = Tи(1 + KпK0); a3 = K0;	b2 = Tи2.

При подстановке этих коэффициентов в (9) для системы с ПИ-регуля- тором выражение интегральной квадратичной ошибки принимает вид:

J0 = {Ти[2Ти + (3 + КпК0)K0T1]} / {2К0[2Ти(1 + КпК0) – К0Т1]}. (12)

Выражение J0 для системы с И-регулятором получается из (12), как

частный случай подстановкой Кп = 0
Jo = [Ти(2Ти + 3К0Т1)] / [2K0(2Ти – К0T1)].	(13)

Искомое значение Тиопт, которое доставляет минимум квадратичной оценке, находят дифференцированием (12) и (13) по Ти и приравниванием производных к нулю. Тогда получается:

- для ПИ-регулятора

Ти = [(3 + КпК0)К0Т1] / [2(1 + КпК0)];	(14)
- для И-регулятора
Ти = 4,55Т1К0.	(15)

26

Рис. 2.3. Схема моделирования исследуемой САУ При схемотехнической и программной реализации рассмотренных

регуляторов удобнее пользоваться коэффициентом передачи интегратора Кие, который является обратной величиной по отношению к постоянной времени Ти. В моделирующем блоке СУЛ-3 (рис.2.3) коэффициент Кие определяется двумя параметрами Ки и Си

Кие = Ки Си = (Ти)-1.

Исходя из выражений (14) и (15) и с учетом принятых на СУЛ-3 обозначений, можно записать следующие выражения для вычисления оптимальных значений коэффициента передачи интегрирующего блока:

для ПИ-регулятора Кие = [2(1 + КпеК0е)] / [КпеТ01(3 + КпеК0е)]; для И-регулятора Кие = 0,22 / [К0еТ01],

где Кпе = - коэффициент передачи пропорционального блока;

Кое = К0 С0 - коэффициент передачи блока объекта управления; Т01 - постоянная времени блока объекта управления.

27

Задание

Задача данной программы - облегчить студенту исследование точности систем автоматического регулирования с П-, И- и ПИ-регуляторами. Для допуска к исследованию студент обязан рассчитать установившуюся ошибку eУСТ для системы с П-регулятором и коэффициентами передачи для своего варианта. При нажатии на схему САУ будет открыт диалог, где студент может наблюдать зависимость установившейся ошибки eУСТ от коэффициента передачи блока управления KО После построения графика зависимости, его можно сохранить в формате Windows bitmap (.bmp) или распечатать (при наличии подключенного к ПК принтера). После нажатия кнопки <Исследование САУ и И- ПИ-регуляторами> появляется диалог, где в зависимости от введенных параметров рассчитываются возможные значения коэффициентов передачи интегрирующего блока КИЕ, при которых САУ будет устойчивой. После нажатия кнопки <Далее> откроется диалог, где производится расчет и проверка оптимального значения суммарного коэффициента передачи интегрирующего блока для И- и ПИ-регуляторов КИЕопт После нажатия кнопки <Далее> откроется диалог, где производится итегральная оценка качества регулирования для И- и ПИ-регуляторов в графическом виде в зависимости от коэффициента передачи интегрирующего блока КИЕ. После нажатия кнопки <Далее> откроется диалог, где производится построение переходной функции САУ в зависимости от задающего воздействия g(t) и коэффициента передачи интегрирующего блока КИЕ (после ввода каждой из величин необходимо нажимать клавишу Enter). Получившуюся зависимость можно сохранить в формате Windows bitmap (.bmp) или распечатать (при наличии подключенного к ПК принтера).

28

Проверка результата, полученного дома Для проверки значения и допуска к выполнению лабораторной работы

студент обязан рассчитать дома значение установишейся ошибки eУСТ с коэффициентами передачи объекта управления KO и коэффициентом передачи регулятора КП для своего варианта. Если введенные в поля данные верны (допускается ошибка в 10%), то после двукратного нажатия на кнопку <выполнить проверку> вы будете допущены к выполнению лабораторной работы.

Расчет возможного значения КИЕ Для расчета КИЕ для И- и ПИрегуляторов необходимо ввести

следующие величины, зависящие от варианта задания: 1)T1 -постоянная времени блока объекта управления; 2)T2 - постоянная времени регулятора;

3)KO - коэффициент коэффициент передачи блока объекта управления; 4)KП - коэффициент коэффициент передачи пропорционального звена

ПИ-регулятора.

После введения значения в каждое поле необходимо нажимать клавишу Enter для того, чтобы программа произвела расчет. Полученные значения КИЕ необходимо записать для последующего внесения в отчет по лабораторной работе.

Расчет оптимального значения КИЕопт Для расчета КИЕопт для И- и ПИрегуляторов необходимо ввести

следующие величины, зависящие от варианта задания:

1)KПЕ - коэффициент коэффициент передачи пропорционального звена ПИ-регулятора;

2)KOЕ - коэффициент коэффициент передачи блока объекта управления;

3)T1 - постоянная времени блока объекта управления;.

29

После введения значения в каждое поле необходимо нажимать клавишу Enter для того, чтобы программа произвела расчет КИЕопт. Полученные значения КИЕопт необходимо записать для последующего внесения в отчет по лабораторной работе.

При нажатии на кнопку <Выполнить проверку> появится диалог, в кототорый необходимо ввести интервал значений КИЕопт для проверки системы на устойчивость. После закрытия окна для ввода интревала, програма выдаст заключение о устойчивости системы.

Интегральная оценка качества Для построения зависимости качества оценки от КИЕ для И- и ПИ-

регуляторов необходимо ввести следующие величины, зависящие от варианта задания:

1)KП - коэффициент коэффициент передачи пропорционального звена ПИ-регулятора;

2)KO - коэффициент коэффициент передачи блока объекта управления;

3)T1 - постоянная времени блока объекта управления;.

После введения значения в каждое поле необходимо нажимать клавишу Enter для того, чтобы программа произвела расчеты. Для потроения зависимиостей необходимо нажать на кнопку <Построить графики>. Графики зависимостей можно сохранить в формате Windows bitmap (.bmp)

Сохранение результатов построения Для сохранения результатов построения необходимо выбрать в меню

File команду Save и указать адрес для сохранения каждого из графиков. При сохранении в имени файла необходимо указывать расширение (.bmp) Для при внесении изменений для повторного сохранения результатов постороения необходимо снова выполнить команду Save из меню File. Для сохранения результатов в другое место не обходимо выполнить команду Save

30