zaoch_st

11

СТАТИКА

Краткий обзор

1. Основные модели теоретической механики.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми двумя точками которого остается неизменным в процессе механического явления (покоя или движения). То есть это твердое тело, которое не деформируется.

Одной из характеристик твёрдого тела является масса. Масса измеряется в системе Си в килограммах (кг).

Материальная точка – это тело, имеющее массу, размерами которого можно пренебречь при решении задач механики. Пренебрегать размерами тела не всегда допустимо.

Сила – это количественная мера механического взаимодействия между телами. Все механические явления происходят под действием сил. Реально силы являются распределенными. Если сила действует на точки ка- кой-то поверхности твердого тела, то говорят, что она распределена по поверхности. Сила может быть распределена по объему тела, то есть действовать в каждой точке этого тела. Например, сила тяжести возникает в результате взаимодействия всех точек тела с гравитационным полем Земли.

Сосредоточенная сила - это сила, приложенная в одной точке. Сосредоточенная сила описывается математически, как векторная величина. На рис.1 сила F приложена в точке A. Сосредоточенная сила определяется модулем силы (это положительная скалярная величина, которая измеряется в системе Си в ньютонах (Н)), направлением и точкой приложения.

Пример распределенных сил и их замена сосредоточенными силами. При решении практических задач часто встречаются силы, распреде-

ленные по длине балки (стержня). Такие силы определяются плотностью распределения, которую будем обозначать q . Плотность распределения характеризует силу, действующую на единицу длины, и измеряется в ньютонах деленных на метр (Н/м).

Рис.1

Рис.2

Рис.3

12

На рис. 2 показана сила с постоянной плотностью распределения в каждой точке прямолинейного отрезка AB. Такую силу будем заменять сосредоточенной силой Q так, что Q = q × AB и AD = DB (рис.3).

На рис. 3 показана распределенная сила с линейной плотностью распределения. Ее будем заменять сосредоточенной силой Q так, что

	Q =	q × AB	и AD = 2 × DB (Рис.5)
		2

Рис.4

Рис.5

2. Связи и их реакции.

Взаимодействие тел происходит в соответствии с третьим законом Ньютона. Силы взаимодействия равны по абсолютной величине, имеют одну линию действия и направлены противоположно. Важно, что эти силы приложены к разным телам и не могут друг друга уравновесить. При решении задачи механики рассматривается состояние равновесия или движения какого-то определенного тела. В этом случае тела, с которыми оно взаимодействует, называют связями. Они ограничивают движение рассматриваемого твердого тела. Сила взаимодействия, которая действует со стороны связи на рассматриваемое твердое тело, называется реакцией связи. Таким образом, если отбрасывается связь, то для того, чтобы механическое состояние твердого тела не изменилось, нужно добавить реакцию связи. Отбросив все связи, и добавив вместо них все реакции связей, рассматриваемое твердое тело отделяется от других тел, с которыми оно взаимодействует, и можно применять методы механики для изучения его механического состояния. Чаще всего реакции являются неизвестными и, решая задачи механики, их нужно определить.

Активные силы - это известные или заданные силы, которые действуют на рассматриваемое твердое тело (пример: сила тяжести).

Реакции связей возникают, как ответ на действие активных сил. Пример: взаимодействие колеса с дорогой. Сила тяги (трения) веду-

щих колес возникает при взаимодействии колес с дорогой, как ответная реакция на приложенный к ним момент вращения со стороны двигателя

13

через трансмиссию.

3. Система сил, действующая на твердое тело.

Множество сил, состоящих из реакций и активных сил, называется системой сил, приложенной к изучаемому твердому телу.

Систему сил обозначают так :

(F1, F2,...,Fm; R1, R2,...,Rn )

активные силы

реакции

Под действием этих сил твердое тело может находиться в определенном механическом состоянии: равновесии или движении.

Чтобы определить механическое состояние, должна быть задана система отсчета, по отношению к которой это состояние определяется. Чаще всего рассматриваются инерциальные системы отсчета, то есть те, которые движутся без ускорения. Существование таких систем отсчета обосновывает первый закон Ньютона. Для таких систем под равновесием материальной точки понимается состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Если система сил расположена в одной плоскости, то она называется плоской, если нет, то пространственной. Если под действием системы сил твердое тело находится в равновесии по отношению к выбранной системе отсчета, то система сил называется уравновешенной или эквивалентной нулю (рис.6).

Рис.6

В статике излагается общее учение о силах и системах сил, а также

14

изучается равновесие материальных тел. В частности, с помощью математических уравнений определяется, когда система сил будет уравновешенной.

4. Аксиомы о системах сил.

Аксиома 1. Система из двух сил будет уравновешенной, если эти две силы имеют одну линию действия, равны по абсолютной величине и направлены в противоположные стороны (рис.7).

F1 = −F2 , (F1;F2 )~ 0

Рис.7

Аксиома 2. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к этой системе добавить или от нее отбросить уравновешенную систему сил.

Следствие. Силу можно переносить вдоль линии ее действия, не изменяя ее воздействия на твердое тело.

Аксиома 3. (Правило параллелограмма.) Две силы, приложенные в одной точке, можно заменить одной силой, приложенной в той же точке и являющейся диагональю параллелограмма, у которого эти векторы являются сторонами (рис.8).

F = F1 + F2

Сила F - равнодействующая

сил F1 и F2 .

Рис.8

5. Сходящаяся система сил.

Определение. Если линии действия всех сил некоторой системы сил пересекаются в одной точке, то она называется сходящейся. Сходящуюся систему сил можно заменить одной силой, называемой равнодействующей, равной геометрической сумме всех сил системы и приложенной в точке пересечения их линий действия. Для нахождения равнодействующей все

15

силы надо перенести в точку пересечения линий действия сил и последовательно сложить по правилу параллелограмма.

5. Проекция силы на оси координат на плоскости.

x1	x
F =		r
		F
A'B'= Fx				= F cosα
A"B"= Fy				= F sinα
r		r		r	r	r
F	= Fx		+ Fy ;		Fx	^ Fy

Рис.9

Проекции силы F на оси Ox и Oy определяются с помощью угла α

(рис.9).

7.Проекция силы на оси координат в пространстве.

Проекции силы на оси координат в пространстве определяются ме-

тодом двойного проецирования.	Сначала сила F			проецируется на плос-
кость xOy и на ось Oz. Затем	сила Fxy проецируется					на	оси Ox и Oy
(рис.10).
		Fxy			= прxOy F
	-		π		£ α £	π ; 0 £ β < 2π
		r		2		2
					= F cosα ³ 0
		Fxy
	ìF = F cosα × cos β
	ï			x	= F cosα ×sin β
	íFy
	ïF = F sin α
	î			z	r	r	r
		r
		F		= Fx i + Fy j			+ Fz k
		r			r	r	r
		F		= Fx + Fy + Fz

Рис.10

16

8. Момент силы относительно точки на плоскости (скалярный момент силы).

Момент силы относительно точки определяет вращательный эффект силы. Для определения момента задаются положительное (против хода часовой стрелки) и отрицательное направления вращения относительно точки на плоскости.

Рис.11

Расстояние h от точки A до линии действия силы F называется плечом силы относительно точки A (рис.11).

Момент силы относительно точки А на плоскости есть скалярная величина, равная

M A (F )= ±F × h

Знак «+» берётся, если вращательное направление действия силы вокруг точки A положительное, и знак «–», - если отрицательное.

9. Момент силы относительно точки в пространстве (векторный момент силы).

Момент силы относительно точки определяет вращательное воздействие силы относительно точки А в пространстве (рис.12).

Момент силы F относительно произвольной точки А - это вектор M A (F ), определяемый следующим образом:

∙	r	r					r	r
	M A	(F )	=	AB		×	F	×sin(AB, F )

∙M A (F )перпендикулярен плоскости треугольника ABC.

∙Вектор M A (F ) направлен так, что с его конца вращательный эф-

фект силы F наблюдается в положительном направлении (против хода часовой стрелки).

17

Рис.12

Математически вектор M A (F ) вычисляется, как векторное произве-

дение

r	r	r
M A	(F )= AB × F .

10. Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси - это скалярная величина, равная моменту проекции силы F на любую плоскость, перпендикулярную оси, вычисленному относительно точки пересечения этой плоскости с осью, как момент относительно точки на плоскости (рис.12).

Fxy = прxOy F

M z (F )= M O (Fxy ) (в плоскости xOy)

Момент считается положительным, если с положительного конца оси Oz видно, что сила стремится повернуть тело против часовой стрелки.

Связь между моментом силы относительно точки O (начала координат) M O (F ) и моментами относительно осей координат M x (F ), M y (F ), M z (F ) определяется векторным произведением:

18

r

r

r

r

r

i

j

k

OB

OB

r

OB

OB

r

OB

OB

r

OBx

OBy

OBz

M O (F )= OB ´ F

=

=

Fy

y

Fz

z

×i

+

Fx

x

Fz

z

× j

+

Fx

x

Fy

y

×k

=

Fx

Fy

Fz

r

r

r

r

r

= M x (F )× i + M y

(F )×

j

+ M z (F )× k

11. Пара сил. Пара сил - это система из двух сил, которые имеют параллельные линии действия, равны по абсолютной величине и направлены в противоположные стороны (рис.13).

(F1;F2 ) - пара сил.

Рис.13

Плоскость П, в которой лежат эти силы, называется плоскостью действия пары. Расстояния между линиями действия сил пары называется плечом пары. Силовое воздействие пары характеризуется ее моментом, называемым моментом пары. Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. Модуль момента пары равен произведению модуля одной из сил, составляющих пару, на плечо пары.

M (F1; F2 ) = M B (F1 ) = M A (F2 )

Если пара рассматривается в пространстве, то момент пары есть вектор, направленный перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда видно, что пара стремится повернуть тело против часовой стрелки.

Если пара рассматривается на плоскости, то момент пары – это скалярная величина, которая считается положительной, если пара стремится повернуть тело против часовой стрелки.

12. Основные виды связей и их реакций.

Аксиома 4 (о связях). Твердое тело можно освободить от связей, заменив их реакциями.

Каждая механическая связь представляет либо тело, либо механиче-

19

ское устройство, которое накладывает какие-либо ограничения на перемещение рассматриваемого тела в пространстве. При этом, в зависимости от вида связи, некоторые перемещения запрещены, а некоторые - разрешены. Это обстоятельство позволяет заранее, не находя численных значений силовых факторов действия связи, указать на некоторые качественные их особенности, как например, направления. Правило, которому необходимо следовать при замене связей силами реакций, заключается в следующем: реакция связи в общем случае может состоять из двух силовых факторов - силы, приложенной в точке наложения связи, и пары сил.

Если связь запрещает поступательное перемещение тела, появляется сила реакции, направление которой противоположно запрещенному перемещению. Если связь запрещает поворот тела, то возникает пара сил реакции связи, которая обеспечивает это запрещение, при этом вектор момента пары будет направлен вдоль оси запрещённого поворота. Ниже приведены некоторые виды связей, которые встречаются в технике. На рисунках приведены расчетные схемы этих связей и показано, как определить их реакции.

12.1.Некоторые связи и их реакции на плоскости.

1.Шарнирно-неподвижная опора (рис.14.)

Рис.14

2. Шарнирно-подвижная опора (каток). (Рис.15.)

Рис.15

20

3. Тонкий невесомый стержень с шарнирами на концах (серьга или стержневая связь). (Рис.16.)

Рис.16

5.Разделение двух тел, связанных шарниром (рис.17).

Всоответствии с третьим законом Ньютона силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

Рис.17

6. Жёсткая заделка на плоскости (рис.18)

Рис.18