zaoch_st

51

Рис. 3.5

52

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Дано: F1 = 15 Н; F2 = 60 Н ;	F3 = 30 Н;	F4 = 20 Н;	F5 = 25
Н; M = 10 Нм; a = 0,5 м; b = 0,4 м;	c = 0,3 м;	α = 600;	β = 300

(рис. 3.6а).

РЕШЕНИЕ

Прежде, чем приступить к определению главного вектора R заданной системы сил и ее главного момента M0 относительно начала координат, введем углы γ, φ и разложим силу F4 на две составляющие: F4¢ – на плоскости XOY и F4(3) - перпендикулярно к ней (рис. 3.6а).

F4′ = F4 ×sin β =10 Н,

F4(3) = F4 ×cos β =17,32 Н.

Проекцию силы F4 на ось найдем, как сумму проекций составляющих F4¢ и F4(3) , а ее момент относительно оси, согласно теореме Вариньо-

на, будет равен сумме моментов F4¢и F4(3) относительно этой же оси.

Для проекций главного вектора на координатные оси получим выражения:

5

Rx = åFkx

= -F1 + F2 ×cosϕ + F4¢ ×sinγ

,

(1)

k =1

5

Ry = åFky

= F3 ×cosα - F4¢ ×cosγ - F5

,

(2)

k =1

5

Rz = åFkz

= -F2 ×sinϕ + F3 ×sinα + F4(3)

,

(3)

k =1

где

sinγ = OA

=

a

= 0,78

,

cosγ = OD

=

b

= 0,62 ,

AD

a2 + b2

AD

a2 + b2

sinϕ = ON

=

c

= 0,51

,

cosϕ =

OA

=

a

= 0,86 .

AN

AN

a

2 + c2

a2 + c2

Подставив в (1) – (3) выражения для F4¢и F4(3) , заданные значения F1,

F2, …, F5, α, β, а также найденные значения тригонометрических функций углов φ и γ, получим

	53
Rx = 44,27 Н,	Ry = −16,25 Н,	Rz =12,31 Н.
Модуль главного вектора

а)

б)

в)

Рис. 3.6

54

R = (R )2

+ (R

y

)2

+ (R )2 = (44,27)2 + (-16,25)2 + (12,31)2 = 48,74 Н.

x

z

Направляющие косинусы

r r

Rx

44,27

cos(R,i )=

=

= 0,91 ,

R

48,74

r r

Ry

cos (R, j )=

=

-16,25 = -0,33 ,

R

r r

48,74

Rz

12,305

cos(R,k )=

=

= 0,25 .

R

48,74

Проекции главного момента системы сил относительно начала координат на координатные оси равны суммам моментов всех сил относительно соответствующих координатных осей. Поэтому, будем иметь:

	5	r	= F3 × h3	+ F4(3) ×b + F5 ×c ,
Mox = M x = åmx (Fk )						(4)
	k =1	r
	5		= F2 ×h2 - F3 ×sinα × a ,
Moy = M y = åmy (Fk )						(5)
	k =1	r
	5		= F1 ×b + F3 ×cosα ×a - F4¢ × h4 - F5 ×a + M
Moz = M z = åmz (Fk )					,	(6)
	k =1
Из рис. 3.6
h2	= a ×sinϕ = 0,5×0,51= 0,26			м,
h3	= AE × sinα = (AB - BE) × sinα =
	= (a - c ×ctgα)×sinα = (0,5 - 0,3×ctg600 ) ×sin 600 = 0,28				м,
h4	= b ×sinγ = 0,4×0,78 = 0,31			м.

Подставив в (4) – (6) числовые значения всех необходимых величин, получим:

Mox = 22,92 Нм,

Moy = 2,45 Нм,

Moz = 7,87 Нм

Модуль главного момента

Mo = (Mox )2 + (Moy )2 + (Moz )2 = 22,922 + 2,452 + 7,872 = 24,36 Н×м.

55

Направляющие косинусы

r	r	Mox					22,92
cos(Mo	,i )=			=						= 0,941,
			Mo				24,36
r
	r		Moy					2,45
cos(Mo	, j )=					=				= 0,101,
							24,36
r			Mo
	r		Moz					7,87
cos(Mo	,k )=				=					= 0,323.
			Mo				24,36

Примечание. При вычислении моментов сил относительно координатных осей во многих случаях целесообразно разлагать силу на составляющие, параллельные осям координат, а затем применять теорему Вариньона. Проиллюстрируем этот метод на примере вычисления момента

силы F4 относительно оси Oz. Выше показано разложение силы F4 на две составляющие F4¢ и F4(3) (F4 = F4¢ + F4(3) ) . Далее разложим силу F4¢, распо-

ложенную в координатной плоскости Oxy на две составляющие F4(1) и F4(2) , параллельные соответственно осям Ox и Oy (рис. 3.6б). Следовательно,

F4¢ = F4(1)

+ F4(2) ,

а F4¢ = F4(1) + F4(2)

+ F4(3) , то-есть сила F4 разложена на со-

ставляющие F (1) ,

F (2) , F (3)

, параллельные осям координат (рис. 3.6в).

4

4

4

Модули сил F (1)

и F

(2) легко вычисляются:

4

4

F4(1) = F4¢ ×sinγ = F4 ×sin β ×sinγ = 7,8

Н,

F4(2) = F4¢×cosγ = F4 ×sin β ×cosγ = 6,2

Н,

На основании теоремы Вариньона получим

M

z

(F ) = M

z

(F(1) ) + M

z

(F (2) ) + M

z

(F (3) ) ,

4

4

4

4

M

z

(F (1) ) = -F(1)

× AB = -3,12

Н×м,

4

4

M

z

(F (2) ) = M

z

(F(3) ) = 0 .

4

4

Следовательно,

M z (F4 ) = -3,12 Нм.

56

ЗАДАНИЕ С-4

Равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил

Определить в зависимости от варианта задачи реакции в подпятнике или шаровом шарнире A, подшипнике B, в заделке O, усилия в стержнях, а также силу P или натяжение нити (всего шесть неизвестных). Схемы конструкций приведены на рис.4.1-4.5, а необходимые данные - в таблице 4 (α - угол между силой P1 и плоскостью xy).

										Таблица 4
№№	a,	b,	c,	P1,	P2 ,	q,	M ,	α,o	β ,o		γ ,o
п/п	m	м	м	Н	Н	Н/м	Н×м
1	0,6	1,0	0,5	50	30	20	100	60	-		-
2	0,2	1,2	0,8	40	50	10	50	30	15		-
3	0,5	1,0	1,0	60	40	15	20	45	-		-
4	0,4	1,2	0,6	20	40	-	60	30	30		45
5	0,7	1,0	-	40	30	-	45	60	30		-
6	0,9	1,3	0,8	50	-	10	40	45	30		-
7	0,2	1,0	0,6	30	50	20	100	30	30		-
8	0,8	0,6	0,4	80	40	15	80	45	30		-
9	0,5	1,0	0,6	50	40	10	30	30	15		-
10	0,6	1,1	0,5	30	60	30	80	60	30		-
11	0,4	1,0	0,6	20	50	20	100	30	15		-
12	0,8	1,2	1,0	60	80	15	40	60	45		-
13	0,5	0,8	-	50	40	-	30	-	30		-
14	0,4	1,0	-	60	-	10	50	30	45		-
15	0,6	0,9	0,2	30	10	-	60	45	60		-
16	0,2	1,0	0,4	40	14	20	70	30	15		-
17	0,6	0,8	0,5	80	-	30	40	45	30		-
18	0,5	0,8	0,6	60	15	40	100	60	30		-
19	0,3	0,6	0,5	50	60	-	60	45	30		-
20	0,4	0,5	0,6	40	30	-	50	30	30		-
21	0,5	0,8	0,4	50	100	15	50	45	15		-
22	0,4	-	1,6	40	-	-	60	30	15		-
23	0,3	0,5	1,8	-	-	20	40	45	15		-
24	0,5	0,6	0.8	50	-	-	80	30	15		-
25	0,4	0,5	2,0	60	50	-	40	45	60		15
26	0,5	0,8	1,2	50	40	20	60	60	15		-
27	0,3	0,7	1,0	80	30	30	50	45	15		-
28	0,3	0,8	1,2	30	50	10	40	30	15		-
29	0,2	0,6	1,0	50	40	15	50	45	30		-
30	0,3	0,6	1,0	40	50	20	30	60	15		-

57

Рис. 4.1

58

Рис. 4.2

59

Рис. 4.3

60

Рис. 4.4