zaoch_st

21

12.2. Некоторые связи и их реакции в пространстве.

7. Подшипник (B) и подпятник (A) в пространстве (рис.19).

Подпятник, в отличии от подшипника, фиксирует вал не только в радиальном направлении, но и в осевом.

Рис.19

4. Гладкая опорная поверхность (рис.20).

Реакция направлена по нормали к поверхности.

Рис.20

8. Сферический шарнир (шаровая опора). (Рис.21)

Рис.21

22

9. Жесткая заделка в пространстве (рис.22)

Рис.22

10.Гибкая невесомая нерастяжимая нить (рис.23)

Реакция направлена вдоль нити.

Рис.23

13. Основные теоремы статики.

1. Теорема о параллельном переносе силы.

Силу, как вектор, можно параллельно перенести из одной точки тела в другую, добавив при этом пару сил с моментом, равным моменту исходной силы относительно точки переноса (рис.24).

Сила F1 , приложенная в точке B, и пара сил с моментом M оказывают такое же воздействие, что и сила F , приложенная в точке А.

23

l

F

ì

r

=

r

=

r

F

F

F

ï

1

2

ïí

r

r

îF1

= -F2

r

r

(F1; F2 ) ~ 0

r

r

r

r

r

r

(F)

~ (F, F1

, F2 ) ~

(F1

, M )

r

r

r

r

M = m(F, F2 )= mB (F)

Рис.24

2.Теорема об эквивалентности пар. Не изменяя оказываемого на тело действия, пару сил можно заменить любой другой парой, лежащей в той же плоскости и имеющей тот же момент. Следствие: у данной пары можно произвольно менять модули сил и длину плеча, оставляя неизменным момент пары.

3.Теорема о переносе пары в любую плоскость, параллельную плоскости пары. Не изменяя оказываемого на тело действия, пару сил можно перенести в любую плоскость, параллельную плоскости заданной пары.

Из теорем 2 и 3 следует, что вектор момента пары является вектором свободным, то есть он не «привязан» к конкретной точке твердого тела, и его можно перемещать куда угодно в пределах тела.

4.Теорема о сложении пар.

Систему пар сил, действующих на твердое тело, можно заменить одной парой с моментом, равным геометрической сумме моментов заданной системы пар. Для этого все векторные моменты пар надо перенести в одну точку, а затем сложить их по правилу сложения векторов.

5. Основная теорема статики (теорема Пуансо). Теорема о приведении произвольной системы сил к любому центру. Произвольную систему сил можно привести к любому центру и заменить главным вектором, равным геометрической сумме всех сил, и главным моментом, равным сумме моментов всех сил, вычисленных относительно центра приведения.

Пусть точка В - центр приведения системы сил F1 , F2 ,...,Fn .(Рис.25). Воспользуемся теоремой о параллельном переносе сил. Перенесем все силы в точку В, добавив соответствующие моменты. Сложим все силы, получим главный вектор системы сил. Сложим все моменты, получим главный момент системы сил относительно точки B

мент M B

24

Рис.25

r

r

r

n

r

n

r

r

F1B

+ F2B

+ ...+ FnB

= åFkB

= åFk

= FB

k=1

k =1

r

r

r

=

n

r

r

M1B + M 2B + ...

+ M nB

åM kB

= M B

r

r

r

r

r

k =1

(F1

, F2

,...,Fn ) ~

(FB

,M B )

Главный вектор FB не зависит от центра приведения, а главный мо- - зависит.

Таким образом, любая система сил при выборе произвольного центра приведения может быть заменена главным вектором и главным моментом, то есть силой и парой сил. Однако возможно дальнейшее упрощение системы. Можно так выбрать центр приведения, что произвольная система сил, не находящуюся в равновесии, приводится либо к равнодействующей, либо к паре сил, либо к динаме. Динама (динамический винт) – это такая совокупность силы и пары, при которой их вектора параллельны.

6. Теорема Вариньона.

Момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно любого центра равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра. Это справедливо для момента сил относительно точки на плоскости, в пространстве и момента сил относительно любой оси.

25

7. Условия равновесия произвольной системы сил.

Теорема. Для того чтобы система сил была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор равнялся нулю и главный момент тоже равнялся нулю независимо от центра приведения.

			r	= 0
r	r	r	ì F		,	точка В - любая.
(F1	, F2	,...,Fn ) ~ 0	Û í rB
			îM B = 0

Условие равновесия сил на плоскости (оси координат Вху).

		ì n		= 0
		ïåFkx
r	= 0	ïk =1
ì F		ï n
í rB		å ky		= 0
	= 0	Û í	F
îM B		ïk =1		r
		n
		ïïåM B		(Fk )= 0
		îk =1

На плоскости можно решить задачу статики, если число неизвестных не превышает трех. (Задача статически определима.)

Условия равновесия сил в пространстве (оси координат Вхуz).

r

ìíFrB = 0 îM B = 0

	ì	n	= 0
	ïåFkx
	ïk =1
		n
	ïïåFky		= 0
	ïkn=1
	ïïåFkz		= 0
Û	ïk =1			, точка В - любая в пространстве.
	í n		r
	ïåM x		(Fk	)= 0
	ïk =1
	ï	n	r	)= 0
	ïåM y (Fk
	ïk =1
	ï	n	r	)= 0
	ïåM z		(Fk
	ï	=1
	îk

В пространстве можно решать задачу статики, если число неизвестных не превышает шести. (Задача статически определима.)

Статически неопределимые задачи, в которых число неизвестных

Fпред

26

превышает число уравнений, можно решить только с учетом деформации тел. Теоретическая механика не рассматривает деформацию, поэтому решением таких задач занимаются в других областях механики, где учитывается деформация тел.

14. Сила трения скольжения.

При попытке перемещать одно тело по поверхности другого возникает сила сопротивления, которая называется силой трения покоя (рис.26).

Fтр £ Fпред = fст × N

N - нормальная реакция, действующая на тело в поверхности кон-

такта.

fст - статический коэффициент трения, который определяется экспериментально.

Он не зависит от площади поверхности контакта тела и определяется свойствами соприкасающихся поверхностей (их материалов, качества обработки, наличия или отсутствия смазки и т.д.).

После того, как начинается скольжение, возникает сила трения скольжения, которая определяется по формуле:

Fтр = fск × N

fск - динамический коэффициент трения.

Он находится экспериментально. Выполняется условие fск £ fст .

Рис.26 Рис.27

15. Трение качения.

Для того, чтобы катить колесо по негладкой поверхности (рис.27) нужно к его оси приложить силу F , которая должна превысить определенную силу .

Fпред

Fтр , поэтому в

27

Колесо и поверхность качения в области их контакта деформируются, поэтому равнодействующая N распределенной нормальной реакции будет смещена в сторону качения колеса на расстояние k от вертикали, проходящей через ось колеса и силу тяжести P . Пара сил (P; N ) имеет момент, направленный противоположно направлению вращения колеса. Она

определяет	момент			сопротивления качению. При равновесии колеса
F × r = M сопр .	Колесо			начнет	катиться			при	F = Fпред . В этом случае
F × r = k × N = M		сопр	,	откуда	F =	k × N	,	где r - радиус колеса.
пред					пред	r
Коэффициент k				называется коэффициентом трения качения.

Он определяется экспериментально, измеряется в системе СИ в метрах и определяет плечо пары (P; N ) при качении колеса.

значительно меньше, чем сила трения скольжения технике, по возможности, скольжение заменяют качением.

16. Методика решения задач статики

Общая схема решения задач о равновесии тела (или конструкции, состоящей из нескольких тел) содержит несколько этапов.

Необходимо:

1.Выбрать тело (или конструкцию), исследование равновесия которого позволит определить требуемые величины. Начертить расчётную схему - упрощённый рисунок, на который вынесены лишь необходимые для решения линейные размеры и углы, а несущественные детали опущены.

2.Изобразить на схеме активные силы, заданные в условии задачи.

3.Если тело несвободно, отбросить наложенные на него механические связи, заменив их действие реакциями в соответствии с видами связей. После такой замены тело становится свободным.

4.Проверить выполнение необходимого условия статистической определимости задачи: число неизвестных, появившихся на расчётной схеме, не должно превышать числа уравнений равновесия для рассматриваемой системы сил.

5.Если задача статически определима, то, используя условия равновесия системы сил, составить систему уравнений равновесия и решить её.

При решении задачи рекомендуется действовать строго по описанной схеме.

28

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО СТАТИКЕ

ЗАДАНИЕ С-1

Определить реакции опор конструкции. Схемы конструкций представлены на рис. 1.1-1.5 (размеры - в м), нагрузка приведена в таблице 1.

При этом величины сил P					r		, а также P		r	равны соответственно
					и P′				и P ′
				1	1		2		2
	′		=	′
между собой (P1 = P1		; P2		P2 ).							Таблица 1.
№№ варианта			P1 , кН				P2 , кН		М, кН×м		q, кН / м
1				6			-			25	0,8
2				5			8			26	-
3				8			10			33	1,1
4				10			-			25	1,3
5				12			-			27	1,3
6				14			12			-	0,9
7				16			8			18	1,4
8				12			6			20	1,0
9				14			-			28	1,4
10				8			-			26	0,9
11				15			10			29	1,0
12				15			8			28	1,5
13				7			6			15	1,1
14				5			-			30	0,9
15				6			10			24	1,5
16				8			11			31	0,8
17				9			15			26	1,1
18				7			16			27	0,8
19				6			18			35	1,4
20				7			16			32	0,8
21				8			17			30	1,2
22				5			6			34	2,5
23				14			7			10	2
24				10			6			7	1,5
25				11			14			20	0,5
26				15			16			14	1
27				14			4			8	2,5
28				10			-			7	3
29				18			6			8	1
30				16			10			14	2

29

Рис. 1.1

30

Рис. 1.2