- •С.А.Айвазян
- •Глава 1. Корреляционный анализ
- •1.1. Корреляционный анализ показателей деятельности песчаных карьеров
- •1.2. Задачи и упражнения
- •1.3. Тест
- •Глава 2. Регрессионный анализ (классическая модель)
- •2.1. Регрессионная модель производительности труда
- •2.2. Регрессионная модель урожайности зерновых культур
- •Исходные данные для анализа
- •Матрица парных коэффициентов корреляций
- •2.3. Задачи и упражнения
- •Список рекомендуемой литературы
- •Приложения
- •П.1.1. Анализ уровня жизни населения в 1994г.
- •Варианты заданий для самостоятельной работы
- •Сергей Артемьевич Айвазян
- •Владимир Сергеевич Мхитарян
- •Владимир Алексеевич Зехин
- •Практикум по многомерным статистическим методам
Глава 1. Корреляционный анализ
1.1. Корреляционный анализ показателей деятельности песчаных карьеров
Деятельность n=8карьеров характеризуется себестоимостью 1 т. песка (x(3)), сменной добычей песка (x(2)) и фондоотдачей (x(1)). Значения показателей представлены в табл.1.1.
Таблица 1.1.
Показатели деятельности песчаных карьеров
x(1)(%) |
30 |
20 |
40 |
35 |
45 |
25 |
50 |
30 |
x(2)(т.) |
20 |
30 |
50 |
70 |
80 |
20 |
90 |
25 |
x(3)(тыс. руб.) |
20 |
25 |
20 |
15 |
10 |
30 |
10 |
20 |
Требуется в предположении нормальности распределения трехмерной случайной величины (x(1),x(2),x(3)):
1. Оценить параметры: векторы средних и среднеквадратических отклонений, корреляционную матрицу
2. При =0,05 проверить значимость парногоr13и частногоr13 (2)коэффициентов корреляции, а при=0,95 построить их интервальные оценки.
3. Найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции и при=0,05 проверить его значимость.
Решение:
1. Найдем значения средних арифметических и среднеквадратических отклонений(sk), гдеk=1,2,3, а также парных коэффициентов корреляцииипо формулам:
, гдеi=1,2,...,8;k=1,2,3 (1.1)
(1.2)
k,l=1,2,3 (1.3)
где:
в результате расчетов получим:
2. Предварительно найдем точечные оценки частных коэффициентов корреляции из выражения
(1.4)
где R12— алгебраическое дополнение элементаr12корреляционной матрицыR, а R11и R22алгебраические дополнения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы
Аналогично находим: и.
Для проверки значимости парного r13и частногоr13(2)коэффициентов корреляции, т.е. гипотез H0: r13=0 и H0:r13(2)=0 необходимо по таблице (П.8) Фишера-Иейтса при=2Q=0,05 и числе степеней свободы соответственно=n-2=6 и=n-2-1=5 определить критические значенияи. Так как по абсолютной величине расчетное значение, то гипотеза H0: r13=0 отвергается с вероятностью ошибки=0,05, т.е. r130 и междуx(1)иx(3)существует зависимость, отрицательный знак которой экономически объясним. С ростом фондоотдачи себестоимость песка уменьшается.
О частном коэффициенте r13(2)такого однозначного вывода сделать нельзя. Так как, то гипотеза H0:r13(2)=0 не отвергается, т.е. предположение об отсутствии связи междуx(1)иx(3)при фиксированномx(2)не противоречит наблюдениям, хотя их достаточно мало (n=8).
Представляет интерес сравнить парный коэффициент корреляции , которыйхарактеризует степень тесноты линейной связи между x(1)иx(3)на фоне влияния x(2)и частный , который характеризует степень тесноты линейной связи между x(1)иx(3), при исключенном влиянии, фиксированной x(2). Так как , то можно утверждать, что x(2) усиливает тесноту связи между x(1)иx(
Определим интервальные оценки для коэффициентов корреляции r13иr13(2)при=0,95. Для этого используемz—преобразование Фишера и предварительно найдем интервальную оценку дляzиз условия
(1.5)
где l— порядок частного коэффициента корреляции. Для парного коэффициента корреляцииl=0.
По таблице z-преобразования Фишера (П.7) для, учитывая чтоz(‑r)=‑z(r), будем иметьz=‑1,350.
По таблице нормального закона (П.2) из условия , найдемt=1,95.
Тогда
откуда z[‑2,222; 0,478].
По таблице z-преобразования (П.7) дляzmin=‑2,222 иzmax=‑0,478 найдем интервальную оценку для13:
.
Полученная интервальная оценка подтверждает вывод о значимости парного коэффициента корреляции 13, т.к. нуль не находится внутри доверительного интервала.
Для частного коэффициента корреляции r13(2)по таблицеz-преобразования (П.7) приr13(2)=‑0,462 будем иметь. Тогда
откуда
z[‑1,475; 0,475]
По таблице z-преобразования (П.7) дляzmin=‑1,475 иzmax=0,475 найдем интервальную оценку для r13(2):
Полученная интервальная оценка подтверждает вывод о незначимости частного коэффициента корреляции r13(2)(нуль находится внутри доверительного интервала).
3. Найдем точечную оценку и при=0,05 проверим его значимость. Точечная оценка определяется по формуле
(1.6)
где R— определитель корреляционной матрицы.
R=1+0,871(‑0,879)(‑0,874)+ 0,871(‑0,879)(‑0,874)-(-0,874)2‑0,8712‑(‑0,879)2=0,043
Проверим гипотезу H0:R1(2,3)=0
(1.7)
где l=2. Критическое значение по таблицеF-распределения (П.5)
Fkp(=0,05,1=2,2=5)=5,79
т.к. Fнабл>Fkp, то гипотеза H0отвергается с вероятностью ошибки=0,05, т.е. множественный коэффициент корреляцииR1(2,3)0, между результирующим показателемx(1)и величинамиx(2)иx(3)существует зависимость.