Математический анализ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел XII. Ряды Фурье

Примеры

Следующие функции разложить в ряд Фурье в указанных промежутках.

12.1.

π,

−π < x < 0,

x (−π; π].

f (x) =

,

π − x, 0 ≤ x ≤π

12.2.

0,

− l < x ≤ 0,

x (−l; l).

f (x) =

0

≤ x < l ,

x,

12.3.

f (x) = x2 .

1. x (0; 2π),

2. x (−π; π) .

12.4.

f (x) = sin3 x,

x (−π; π) .

12.5.

f ( x ) = cos3 x, x ( −π; π).

12.6.

f (x) = sin4 x,

x (−π; π) .

12.7.

f (x) =10 − x,

x (5; 15) .

12.8.

f (x) =

x

,

x (−1; 1) .

12.9.

f ( x ) = x,

x ( −π; π).

12.10.

f ( x ) = x3 ,

x ( −π; π) .

12.11.

f (x) = ex ,

x (−π; π) .

12.12. f (x) = cos

x

,

x (−π; π) .

3

x ( −π; π).

12.13.

f ( x ) = shx,

12.14. f (x) = sin

x

,

x (−π; π)

2

12.15. Функцию f(x) = x, заданную в промежутке x (0; π) , разложить в ряд Фурье по ко-

синусам.

12.16. Функцию f(x) =| x|, заданную в промежутке x (0; π) , разложить в ряд Фурье по

синусам.

12.17. Функцию f(x) =ch x, заданную в промежутке x (0; π) , разложить в ряд Фурье по

косинусам.

12.18. Функцию f(x) =ch x, заданную в промежутке x (0; π) , разложить в ряд Фурье по синусам.

12.19. Как надо продолжить заданную в промежутке		π
	x 0;	2	функцию f(x) на промежу-

ток x (−π; π) , чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид:

∞

1. f (x) = ∑ak cos(2k −1)x.

k=1

∞

2.f (x) = ∑bk sin(2k −1)x.

k =1

320

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

	∞	sin kx	получить разложе-
12.20. Почленным интегрированием разложения x = 2∑(−1)k +1
	k =1	k
ние в ряд Фурье в промежутке x (−π; π) функций:
1.	f (x) = x 2 .
2.	f (x) = x3 .
3.	f (x) = x 4 .

Записать разложение следующих функций в ряд Фурье в комплексной форме в заданных промежутках.

12.21.	f ( x ) = x,					x ( −π; π).
12.22.	f (x) = x2 ,					x (−π; π) .
12.23. f (x) =			x		,	x (−π; π) .
12.24.	f (x) = ex ,					x (−l; l) .

Найти суммы следующих числовых рядов, используя разложения в ряд Фурье указанных функций.

∞	(−1)	k −1			1,	0 < x < π,
12.25. ∑			,	f (x) =
	2k −1					−π < x < 0.
k =1				−1,

	∞		1
	12.26. ∑
			(2k −1)			2
	k =1
	∞		1
	12.27. ∑			,	f (
			2
	k =1		k
	∞			k −1
	12.28. ∑(−1)2				,
	k=1		k
	∞		1
	12.29. ∑
			(2k −1)			2
	k =1

,

f (x) =

x

,

x

≤ π .

x) = x2 ,

x

≤ π .

f (x) = x2 ,

x [−π; π] .

,

f (x) = x2 ,

x [−π; π] .

Ответы

3

∞

k +1

+1

(−1)

k

12.1.

f (x) =

π

+ ∑

(−1)

cos kx +

sin kx .

4

2

k

k =1

πk

l

l

∞

2

1

2k −1

(−1)

k +1

kπx

12.2.

f (x) =

−

∑

cos

x +

sin

.

4

π

π

(2k −1)

2

k

l

k =1

l

2

4

2

∞

4

4π

1. f (x) = x

=

π

+ ∑

cos kx −

sin kx

2

k

12.3.

3

2

k =1 k

k

.

π

∞

(−1)

2. f (x) = x2 =

+ 4∑

cos kx

2

3

k =1

k

12.4. f (x) = sin3 x =

3

sin x −

1

sin 3x . 12.5. f (x) = cos3 x =

3

cos x +

1

cos 3x .

4

4

4

4

321

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

3

1 cos 2x +

1 cos 4x

10

∞

sin

kπx

12.6. f (x) = sin 4 x =

−

. 12.7. f (x) =10 − x =

∑(−1)k

.

5

8

π

2

8

k =1

k

1

4

4

∞

cos(2k +1)πx

∞

k −1

sin kx

12.8. f (x) =

x

=

−

−

∑

. 12.9. f (x) = x = 2∑(−1)

.

2

π

2

π

2

(2k +1)

2

k

k =0

k =1

3

∞

k

12

2π 2

12.10. f (x) = x

= ∑(−1)

3

−

k

sin kx .

k=1

k

12.11. f (x) = e

x

=

shπ

∞

k

cos kx − k sin kx

π

1 + 2∑(−1)

1

+ k

2

.

k =1

12.12. f (x) = cos

x

=

3

3

∞

(−1)

k −1

cos kx

3

2π

1

+ 2∑

9k

2

.

k =1

−1

2shπ

∞

k −1 k sin kx

x

2

∞

k −1 k sin kx

12.13. f (x) = shx

=

∑(−1)

. 12.14. f (x) = sin

=

∑(−1)

.

π

1 + k

2

2

π

1

− k

2

k =1

k =1

4

π

4

∞

cos(2k −1)x

∞

k −1 sin kx

12.15. f (x) = x =

−

∑

. 12.16. f ( x ) =

x

=

2 ∑ ( −1)

.

2

π

(2k −1)

2

k

k =1

k =1

12.17. f (x) = chx

=

shπ

∞

k

cos kx

π

1

+ 2∑(−1)

1 + k

2

.

k =1

2

∞

1 − (−1)k chπ

1. f (−x)

= f (x),

f (π − x) = − f (x)

12.18. f (x) = chx =

∑

1 + k

2

k sin kx . 12.19.

2.

f (−x)

= − f (x),

f (π − x) =

f (x)

.

π

k =1

2

π

2

∞

k

cos kx

1.

x

=

+ 4∑(−1)

;

3

k

2

k =1

∞

∞

sin kx

12.20. 2.

x3

= 2π 2 ∑(−1)k +1

sin kx +12∑(−1)k

;

.

3

k =1

k

k =1

k

1

∞

cos kx

∞

k +1

3.

x4

=

π 4 +8π 2 ∑

(−1)k

+ 48∑

(−1)

cos kx

5

2

4

k =1

k

k =1

k

∞

(−1)k i

= π

2

∞

(−12)

k

12.21. f (x) = x =

∑

eikx ,

k ≠ 0 . 12.22. f (x) = x2

+ 2 ∑

eikx ,

k ≠ 0 .

k

k =−∞

3

k =−∞

k

k

π

1

∞

(−1)

−1 eikx ,

12.23. f (x) =

x

=

+

∑

2

k ≠ 0 .

k

2

π k=−∞

1

∞

l + iπk

kπx

12.24. f (x) = ex

= shl

+

∑

(−1)k e

i

k ≠ 0 .

l

,

l

2

+ k

2

π

2

l

k =−∞

∞

(−1)

k+1

π

∞

1

π

2

∞

1

π

2

∞

k−1

π

2

12.25. ∑

=

. 12.26.

∑

=

. 12.27. ∑

=

. 12.28.

∑

(−1)

=

.

2k −1

4

(2k −

1)

2

8

2

6

2

k =1

k =1

k =1

k

k=1

k

12

∞

1

π

2

12.29. ∑

=

.

(2k −1)

2

8

k =1

322

Учебная программа

323

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ, ЕЕ МЕСТО В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ.

Целью дисциплины "Математический анализ" состоит в получении студентами фундаментальных математических знаний и прочных практических навыков по использованию средств математического анализа для построения математических моделей той или иной экономической проблемы и для получения ее аналитических и численных решений. Задачами изучения дисциплины являются: развитие у студентов творческого и логического мышления, подготовка студентов к умению точной математической постановке изучаемой экономической проблемы и ее решению с помощью современной вычислительной техники. В результате изучения дисциплины студент должен знать основы математического анализа, уметь использовать методы и средства математического анализа для решения различных экономических задач.

Для изучения настоящего курса необходимо овладеть твердыми знаниями элементарной математики. Обеспечивает все математические курсы, в частности, такие как «Методы исследования операций», «Теория вероятностей», «Численные методы», «Математическая статистка», «Логистика», «Эконометрика» и другие.

2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Введение

Изучение дисциплины предусматривает проведение лекционных и практических занятий, а также самостоятельную работу студентов. В последней особое место занимает выполнение четырех типовых расчетов по основным разделам изучаемой дисциплины.

Тема 1. Логическая символика. Числовые множества и операции над ними. Счетные и несчетные множества. Контииуум. Точная верхняя и нижняя грани.

Тема 2. Числовые последовательности. ограниченные и неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Тема 3. Сходящиеся последовательности. Предел суммы, разности, произведения и частного. Предельный переход в неравенствах.

Тема 4. Монотонные последовательности и их сходимость. Число е. Критерий Коши сходимости последовательности. Подпоследовательности. Теорема БольцаноВейерштрасса.

Тема 5. Понятие функции действительного переменного. Функциональная зависимость и способы ее задания.

Тема 6. Определение предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность. Необходимое и достаточное условие существования предела. Односторонние пределы.

Тема 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их сравнение. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Предельный переход в неравенствах.

Тема 8. Ограниченные и неограниченные функции. Точная верхняя и нижняя грани ограниченной функции. Первый и второй замечательные пределы.

Тема 9. Понятие непрерывной функции. Непрерывность функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Тема 10. Понятия обратной и монотонной функции. Непрерывность обратной функции. Монотонные функции, имеющие обратную.

Тема 11. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.

324

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Тема 12. Точки разрыва функции и их классификация. Кусочно непрерывные функции. Тема 13. Свойства непрерывной функции. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Первая и вторая теоремы Коши о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знака и о прохождении непрерывной функции через любое промежуточ-

ное значение.

Тема 14. Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на сегменте функции. Вторая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной на сегменте функцией точных верхней и нижней граней.

Тема 15. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности функции. Понятие производной функции и ее геометрический и физический смысл. Односторонние производные.

Тема 16. Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Непрерывность дифференцируемой функции.

Тема 17. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций. Дифференцирование обратной и сложной функций. Производные основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой.

Тема 18. Понятие дифференциала функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Геометрический смысл дифференциала функции.

Тема 19. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Дифференцирование функций, заданных параметрически и в неявном виде.

Тема 20. Возрастание и убывание функции в точке.Лемма Ферма.Локальный экстремум функции.Теорема Ферма о необходимом условии локального экстремума.

Тема 21. Свойства дифференцируемых функций. Теорема Ролля о нуле производной функции. Теорема Лагранжа и формула Лагранжа конечных приращений. Теорема Коши и обобщенная формула Коши конечных приращений.

Тема 22. Раскрытие неопределенностей вида[ 0/0 ] и [ ∞/∞ ]. Правила Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида [ ∞-∞ ], [ 0-∞ ], [ 0º ], [ ∞º ], [ 1ºº ].

Тема 23. Формулы Тейлора и Маклорена. Различные виды остаточного члена (виды Коши, Лагранжа, Пеано). Разложение элементарных функций по формулам Тейлора и Маклорена.

Тема 24. Интервалы возрастания и убывания функции. Стационарные точки и экстремумы функции. Первое и второе достаточные условия экстремума функции.

Тема 25. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба графика функции. Достаточные условия перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика. Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте.

Тема 26. Понятия первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.

Тема 27. Интегрирование заменой переменных. Интегрирование по частям.

Тема 28. Алгебраические многочлены. Правильные и неправильные рациональные дроби. Теорема о разложении правильной рациональной дроби на простейшие (метод Лагранжа). Интегрирование правильных рациональных дробей.

Тема 29. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование дробнолинейных и квадратичных иррациональностей.

Тема 30. Понятие определенного интеграла. Интегрируемость в смысле Римана функции на сегменте. Верхняя и нижняя интегральные суммы и их свойства.

325

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Тема 31. Верхний и нижний интегралы Дарбу. Лемма Дарбу. Теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости в смысле Римана функции на сегменте.

Тема 32. Интегрируемость непрерывных функций, некоторых классов разрывных и некоторых монотонных функций.

Тема 33. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла. Замена переменных под знаком определенного интеграла. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Тема 34. Спрямляемость и длина дуги плоской кривой. Теорема о достаточных условиях спрямляемости и длине дуги плоской кривой. Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовых и полярных координатах и при параметрическом задании уравнения кривой с помощью определенного интеграла.

Тема 35. Квадрируемость и площадь плоской фигуры. Теорема о необходимом и достаточном условии квадрируемости плоской фигуры. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых и полярных координатах с помощью определенного интеграла.

Тема 36. Кубируемость и объем пространственного тела. Теорема о необходимом и достаточном условии кубируемости конечного пространственного тела. Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

Тема 37. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы первого рода). Критерий Коши сходимости несобственных интегралов первого рода. Абсолютная сходимость. Признак сравнения.

Тема 38. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода).

Тема 39. Понятия n-мерного координатного n-мерного эвклидова пространств. Конкретные множества и окрестность точки в . Граница множеств. Сходящиеся последовательности точек в.

Тема 40. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке по данному направлению. Непрерывность функции нескольких переменных. Понятие равномерной непрерывности функции нескольких переменных. Теорема о необходимом и достаточном условии непрерывности функции нескольких переменных.

Тема 41. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции нескольких переменных.

Тема 42. Дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала

Тема 43. Неявные функции. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции. Частные производные неявной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Тема 44. Производная по направлению. Градиент. Частные производные высших порядков функции нескольких переменных.

Тема 45. Теорема о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.

Тема 46. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Локальный экстремум. Теорема о необходимом условии локального экстремума.

Тема 47. Понятие квадратичной формы. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Теорема о достаточном условии существования экстремума функции нескольких переменных.

326

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Тема 48. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Теорема о достаточном условии существования условного экстремума функции нескольких переменных.

Тема 49. Определение двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному в случаях прямоугольной и более сложных областей.

Тема 50. Замена переменных под знаком двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных координатах. Применение двойного интеграла. Интеграл Пуассона.

Тема 51. Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Два основных свойства сходящихся рядов.

Тема 52. Числовые ряды с положительными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости. Достаточные признаки сходимости. Признаки сравнения. Признаки Даламбера, Коши. Интегральный признак Коши-Маклорена.

Тема 53. Числовые ряды с произвольными членами. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признаки абсолютной сходимости. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Тема 54. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница и его следствие. Признак Дирихле-Абеля.

Тема 55. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда. Сходимость в точке и на множестве. Область сходимости.

Тема 56. Понятие равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда на множестве. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса и Дирихле-Абеля.

Тема 57. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Непрерывность суммы функционального ряда и предельной функции функциональной последовательности. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

Тема 58. Степенные ряды. Радиус и область сходимости. Формулы Даламбера и Коши для радиуса сходимости. Равномерная сходимость степенных рядов. Непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Тема 59. Разложение функций в степенные ряды. Теорема единственности. Необходимое и достаточное условие разложимости функций в степенной ряд. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Тема 60. Ряды Фурье. Разложение функции в ряд Фурье вычислением коэффициентов методом Фурье. Разложение по косинусам и по синусам. Комплексная форма ряда Фурье.

Тема 61. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Признак Дирихле. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование ряда Фурье.

3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Практические занятия проводятся в учебных группах с целью закрепления теоретических основ, излагаемых в лекционном курсе. Степень овладения навыками решения практических задач проверяется путем проведения контрольных мероприятий (коллоквиумы, контрольные работы). Самостоятельная работа студентов состоит в основном в выполнении ими индивидуальных заданий в форме типовых расчетов.

327

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Темы типовых расчетов

1.ТР-1 Введение в анализ. Пределы и производные функций.

2.ТР-2 Неопределенныйиопределенныйинтегралы. Примененияопределенногоинтеграла.

3.ТР-3. Ряды

4.ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА

Дополнительные компьютерные занятия проводятся на основе пакета МАТЕМАТИКА из расчета 1 раз в месяц по следующим темам:

1.Числовые последовательности

2.Предел функции

3.Дифференциал функции

4.Формула Тейлора

5.Неопределенный интеграл

6.Определенный интеграл

7.Функции двух переменных

8.Числовые ряды

9.Степенные ряды

328