Математический анализ
.pdf5.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
5.7.Вычисление площадей поверхностей и объемов тел вращения
Вэтом пункте нас будет интересовать вопросы вычисления площадей поверхностей вращения и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.
Пусть поверхность вращения образована вращением вокруг оси 0х графика функции y=y(x), заданной на сегменте [a,b] (рис. 5.10).
y
y=y(x)
0 a |
b |
x |
Рис. 5.10.
Можно доказать, что если при этом y′(x) на сегменте [a,b] непрерывна, то поверхность вращения квадрируема и ее площадь Sox можно вычислить по формуле:
b |
|
Sox = 2π∫y(x) 1 +[y' (x)]2 dx . |
(5.63) |
a
Если график функции х=х(у), заданной на сегменте [c,d] (х′(у) непрерывна на [c,d]), вращается вокруг оси 0у, то площадь Soy поверхности вращения в этом случае можно вычислить по формуле
b |
|
Soy = 2π∫x(y) 1 +[x' (y)]2 dy . |
(5.64) |
a
В случае, когда кривые у=у(х) и х=х(у) заданы в параметрической форме уравне-
ниями х=х(t), y=y(t), где t [α,β], то из (5.63) и (5.64) получим
Sox = 2π∫β y(t) |
[x' (t)]2 |
+[y' (t)]2 dt, |
α |
|
(5.65) |
Soy = 2π∫β x(t) |
|
|
[x' (t)]2 |
+[y' (t)]2 dt. |
|
α |
|
|
140
5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Заметим далее, что при вращении вокруг 0х криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции у=у(х) (х [a,b]), ординатами х=а и х=b и отрезком оси 0х между точками a и b (рис. 5.10), получаем кубируемое тело вращения (объем границы S этого тела равен нулю, а объем тела вращения конечное число), объем которого можно вычислить по формуле
b |
(x)dx . |
|
Vox = π∫y2 |
(5.66) |
a
Если тело вращения получается при вращении криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции х=х(у) (у [c,d]), абсциссами y=с и у=d и отрезком оси 0у между точками c и d, то его объем можно вычислить по формуле
b |
(y)dy . |
|
Voy = π∫x2 |
(5.67) |
a
При параметрическом задании кривых у=у(х) и х=х(у) уравнениями х=х(t), y=y(t) (t [α,β]) для вычисления объемов тел вращения нужно в формулах (5.66) и (5.67) перейти к переменной t и выполнить интегрирование.
141
5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Примеры
Пример 1. С помощью определенного интеграла вычислить длину l спирали Архимеда от начала до конца первого завитка, если она задана уравнением ρ=aθ, a>0 в полярной системе координат (рис. 5.11).
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: По условию задачи 0 ≤ Θ ≤ 2π и ρ/ =а. Согласно формуле (5.57) имеем |
|||||||||||||||||||||||
|
l = |
2∫π |
a2 |
+ a2ΘdΘ = a |
2∫π |
1+ Θ2 dΘ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.68) |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь вычисляя определенный интеграл с учетом (4.26) и (5.37), получим |
|
||||||||||||||||||||||
2π |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
а∫ |
1+Θ |
2 |
dΘ= |
1+Θ |
2 |
+lnΘ+ 1+Θ |
2 |
=πa |
1+4π |
2 |
+ |
ln(2π + |
1+4π |
2 |
). |
(5.69) |
||||||||
|
2 |
Θ |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: l = πa 1 + 4π 2 + a2 ln(2π + 1 + 4π 2 ).
Пример 2. С помощью определенного интеграла вычислить площадь одной арки циклоиды, если она задана своими параметрическими уравнениями в виде (рис. 5.12)
x=a(t-sint), a>0, |
|
y=a(1-cost), 0≤t≤2π. |
(5.68) |
|
y |
2a |
|
|
0 |
2πa |
x |
|
Рис. 5.12. |
|
Решение: согласно формуле (5.58) имеем
S = 2∫πay(x)dx .
0
Для вычисления этого определенного интеграла перейдем к переменной t по формуле (5.68) с учетом того, что dx = a(1-cost)dt и 0 ≤ t ≤ 2π . Имеем
142
5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
S = |
2∫π a2 (1− cost)2 dt = a2 |
2∫π(1− 2cost + cos2 t)dt = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2π |
|
|
2π |
|
2π |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
2π |
1 2π |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= a |
|
|
∫dt |
− 2 ∫cos tdt + ∫cos |
|
|
= a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
= |
|||||
|
|
|
tdt |
|
t |
|
|
0 − 2sin t |
|
0 + |
|
|
|
(1 + cos 2t)dt |
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
||||||||
= a2 (2π + |
|
1 |
2∫π dt + |
1 |
2∫πcos 2tdt) = a2 (2π + |
|
1 |
t |
|
02π |
+ |
1 |
sin2t |
|
|
02π ) = a2 (2π +π) = 3πa2 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 0 |
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: S = 3πa2 .
Пример 3. С помощью определенного интеграла вычислить объем тела, получаемого вращением астроиды вокруг оси Оx, если астроида задана уравнением
3 x2 + 3 y2 = 3 a2 , |
a 0 , x ≤ a, y ≤ a |
(5.69) |
в декартовой системе координат (рис. 5.13.).
а
-а |
0 |
а |
x |
-а
Рис. 5.13.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− x |
3 |
|
и восполь- |
|
Решение: Если из (5.69) найти явную зависимость y от x y = a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зоваться формулой (5.66), то получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Vox = |
|
|
3 |
|
− x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− x |
2 |
−3a |
3 |
|
x |
3 |
|
+ 3a |
3 |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
π ∫ a |
|
|
|
|
|
|
|
dx = π ∫ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
a |
π |
|
|
3 |
|
a |
|
|
9π |
|
4 |
|
|
5 |
|
a |
|
|
9 |
|
|
|
|
2 |
|
|
7 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= πa |
x |
|
− |
|
x |
− |
a 3 x 3 |
|
|
|
+ |
a 3 x 3 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−a |
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= 2πa3 − |
2π |
a3 |
− |
18π |
a3 |
+ |
18π |
a3 = |
|
|
32 |
πa3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
143
5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Ответ: Vox = 10532 πa3.
Пример 4. С помощью определенного интеграла вычислить площадь поверхности Sox, полученной вращением эллипса (рис. 5.14) вокруг оси 0х (эллипсоид вращения), если эллипс задан своим каноническим уравнением
x2 |
+ |
|
y2 |
=1 |
(5.60) |
|
25 |
16 |
|||||
|
|
|
в декартовой системе координат.
y
4
-5 |
0 |
5 x |
-4
Рис. 5.14.
Решение: Для вычисления Sox воспользуемся формулой (5.63), предварительно вы-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
числяя y |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
из (5.60) |
y |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда согласно (5.63) и (4.23) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
' |
|
|
|
|
s |
4 1− |
x2 |
|
|
1 |
+ |
|
16 |
|
|
x2 |
|
|
2 dx = |
48 |
|
s |
|
25 |
2 |
|
2 |
dx = |
|
|
|
||||||||||||||||
Sox = 2π ∫ |
25 |
|
|
25 |
25 − x |
25 |
π ∫ |
|
|
− x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
48 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
625 |
|
|
|
|
3x |
|
48 |
5 |
|
|
625 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
20 + |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|||||||||||||
25 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
18 |
|
25 |
25 |
6 |
18 |
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
8π |
4 + |
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: S |
|
|
= 8π |
|
|
+ |
25 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ox |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144
5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Тест 5
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y2+8x=16, y2-24x=48.
а) 323 6 ; б) 323 ;
в) 36 ; г) 32.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, уравнение которой задано в параметрической форме x=2acos t - acos 2t, y=2asin t - asin 2t, a>0.
а) πа2;
б) 6πа2; в) 3πа2;
г) 2π.
3. Вычислить площадь четырехлепестковой розы, уравнение которой задано в полярных координатах
ρ=asin 2ϕ, a>0.
а) a 2 ; 2
б) π3a 2 ;
в) π2a 2 ;
г) а2.
4.Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в декартовой системе координат
x= 14 y2 − 12 ln y , 1≤y≤e.
а) e 4+1 ;
б) 14 ; в) 4e ;
г) e24+1 .
145
5.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
5.Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в параметрической форме x=etcos t, y=etsin t, 0 ≤ t ≤ ln π.
а) 2 ; б) 2 (π-1); в) π-1; г) π.
6. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в полярной системе координат
ρ=a(1+cos θ), a>0.
а) 8; б) 8а;
в) а;
г) a2 .
7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной кривыми y=sin x, y=0 (0 ≤ x ≤ π), вокруг оси 0у.
а) 2π2; б) 2π; в) 2; г) π.
8. Вычислить объем тела, полученного вращением одной арки циклоиды (уравнение циклоиды задано в параметрической форме)
x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), a>0
вокруг своего основания.
а) 5а3; б) 5π;
в) π;
г) 5π2a3.
9. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением эллипса
x2 + y2 =1 вокруг малой оси (эллипсоид вращения). 25 9
а) π(50+22,5ln3); б) 50π;
в) 22,5ln3;
г) 50+22,5ln3.
146
5.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
10.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), a>0. вокруг оси 0у.
а) 16π2a2;
б) 16π2;
в) а2;
г) π.
147
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ
Итоговый тест
Найти пределы |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
||
1. |
lim |
|
+ |
|
+ |
|
+...+ |
|
. |
||
|
4 |
8 |
|
||||||||
|
h |
→∞ 2 |
|
|
|
2n |
|||||
а) 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) 0,5; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) -2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
xlim→+∞( |
x2 − 5x + 6 − x). |
|||||||||
а) - |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) - |
5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 1; г) 2.
3. |
lim |
|
1 −2cos x |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
x→π |
|
|
π −3x |
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) -3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) - 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−2x +3 |
|
sin x |
|
|||
|
|
x |
||||||||
4. |
lim |
x |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
x2 −3x +2 |
|
|
а) 1; б) -2; в) 3; г) 1,5.
5. Определить порядок б.м.ф. f(x) по отношению к б.м.ф. ϕ(x).
f(x)=arcsin ( 4 + x2 -2), ϕ(x)=x, x→0. а) 2; б) 1; в) 3; г) 5.
148
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ
6. Найти точку разрыва функции и определить его характер f(x) = xx−2 2 .
а) х=2 – точка разрыва 2-го рода; б) х=2 – точка разрыва 1-го рода; в) х=2 – точка устранимого разрыва.
Найти пределы.
7. |
|
|
sin 4x |
3 |
1 |
+ 6x |
−1 |
|
|
|
|
||||
lim |
x +1 −1 |
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
arctg2x |
|
|
|
|
|||||||
а) 8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2x −1 x2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
lim |
x |
|
+3x |
+1 − |
x |
|
− x + 2x |
+ |
|
|
. |
|||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∞; б) 2; в) 2+е; г) 3;
Найти производную второго порядка функции в точке (9;6).
|
|
|
2 |
, |
||
x = t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
t |
3 |
|
|
|
y = |
|
|
|
− t. |
||
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|||
а) 1; |
|
|
|
|
|
|
б) - |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
в) 545 ; г) 5.
Найти точки экстремумов функций.
10. y= 33 (x +1)2 −2x .
а) (0;3) – max;
б) (-1;2) – min; (0;3) – max; в) (-1;1) – max;
г) (-1;2) – max.
11. y=x+arctg2x.
149