Математический анализ

РАЗДЕЛ I. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Доказательство. Проинтегрируем данный интеграл по частям:

∫A

f ( x ) g ( x )dx = F ( x ) g ( x )|aA − ∫A F ( x ) g ′( x )dx ,

где

a

a

F ( x ) = ∫x

f ( x ) dx .

a

Оценим

А∫f (x )g (x )dx

+ max

≤

F( N )g ( N )

+

F(a )g (a )

F(x )

*

g ( N ) -g (a )

≤ K < +∞ ,

a

[ a , N ]

то есть определенный интеграл ограничен А, следовательно, согласно теореме 1.2 рассматриваемый несобственный интеграл сходится.

Пример 1.4 Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Y= ∞∫ sin

x dx ,

g

( x ) =

1

→ 0,

1

x

x

f ( x ) = sin

x

g ' ( x )

= −

1

( x ) −

3

2

2

∫axsin

x

F ( x )

=

x dx

=

− cos x |

|≤ 2 .

α

Следовательно, данный интеграл, согласно теореме Дирихле, сходится.

Определение 1.3 Несобственный интеграл ∞∫ f ( x)dx

a

дящимся, если сходится несобственный интеграл ∞∫ f ( x) dx

a

называется абсолютно схо-

.

Замечание 1.1 Следует обратить внимание на тот факт, что определены также несобственные интегралы первого рода других видов.

	a	a
1.	∫	f (x)dx = lim	f (x)dx = lim (F(a) − F(А)) .
		А→−∞ ∫	А→−∞
	−∞	А

Если указанный предел существует, такой интеграл называется сходящимся, иначе

– расходящимся.

2.	+∞∫ f ( x)dx = ∫a		f ( x)dx + +∞∫ f ( x)dx , − ∞ < а < +∞ .
	−∞	−∞	a

Этот несобственный интеграл, стоящий слева, называется сходящимся, если сходятся оба несобственные интеграла, стоящие справа.

Для таких несобственных интегралов справедливы все приведенные выше теоремы, сформулированные с учетом области интегрирования.

160

РАЗДЕЛ I. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.2Несобственные интегралы второго рода и их вычисление

Рассмотрим теперь случай, когда на сегменте [a,b] интегрируется функция, имеющая бесконечный разрыв на конце или внутри этой области.

Пусть функция f(x) на правом конце интервала обращается в бесконечность, то есть ее предельное значение в точке b f(b-0) = ∞.

Определение 1.4 Предел определенного интеграла этой функции на сегменте [a,b- ∆] при ∆→0 называется несобственным интегралом второго рода:

b			b − ∆
∫	f ( x ) dx	= lim	∫	f ( x ) dx = lim [ F ( b − ∆ ) − F ( a )]
		∆ → 0		∆ → 0
a			a

(последнее равенство справедливо для функции, непрерывной на сегменте [a,b-∆]). Если указанный предел существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, иначе – расходящимся.

Аналогично, если предельное значение функции в левой точке f(a+0)=∞, то также говорят о несобственном интеграле второго рода:

b		b
∫	f (x)dx = lim	∫	f (x)dx = lim[F(b) − F(a + ∆)] .
	∆→0		∆→0
a		a+∆

Наконец, функция может иметь точку бесконечного разрыва и внутри области интегрирования.

Пусть c [a,b] и функция f(х) в точке с имеет бесконечный разрыв. Тогда несобственный интеграл второго рода определяют как сумму двух несобственных интегралов

∫b	f (x)dx =∫c	f (x)dx + ∫b	f (x)dx , где каждый интеграл, стоящий в правой части равенства,
a	a	c

определен выше.

Как уже говорилось, такого рода несобственные интегралы мы будем называть несобственными интегралами второго рода.

Пример 1.4 Рассмотрим

∫1 dx dx .

0 x

По определению

∫	dx dx = lim 2		x |1∆ = lim [2 − 2 ∆ ]= 2 .
1	x
0		∆ → 0	∆ → 0

Итак, рассматриваемый несобственный интеграл сходится и равен 2.

Пример 1.5

1	dx	= lim	1 dx	= limln | x | 1 = ∞ .
0	x		∆ x	∆→0	|∆
∫		∆→0 ∫

Данный несобственный интеграл не существует или расходится. 161

РАЗДЕЛ I. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Большое значение для анализа поведения несобственных интегралов второго рода

	a	dx	сходится при α <1 и расходится при α ≥1.
	имеет следующее утверждение: ∫
		α
	0	(x − a)

Доказать это утверждение можно, воспользовавшись определением этого интеграла. Так же, как для несобственных интегралов первого рода, для несобственных интегралов второго рода доказываются теоремы, позволяющие, не вычисляя интеграла, опре-

делить его сходимость или расходимость.

Теорема 1.6 (первая теорема сравнения).

Пусть две функции f(x), q(x) интегрируемы на [a,b-∆], f(b-0)=∞, q(b-0)=∞, и для x (c,b), где a<c<b, 0<f(x)<q(x), тогда:

∫b	f (x)dx расходится ∫b q( x )dx расходится,
a	a
∫b q( x )dx сходится ∫b		f (x)dx сходится.
a	a

Теорема 1.7 (вторая теорема сравнения).

Пусть две функции f(x), q(x) интегрируемы на [a,b-∆], f(b-0)=∞, q(b-0)=∞, и

lim f(x)/q(x)=k=const.

x→b

Тогда ∫b	f (x)dx сходится ∫b q(x)dx сходится.
a	a

Справедливы и другие теоремы, аналогичные теоремам, сформулированным для несобственных интегралов первого рода.

Примеры

1. Вычислить несобственный интеграл первого рода

∞∫	1	sin	1	dx .	(1.1)
	2
2	x		x

π

Решение. По определению имеем

∞

1

1

A

1

1

A

1

1

∫

sin

dx = Alim→∞ ∫

sin

dx = − Alim→∞

∫sin

d

=

x

2

x

x

2

x

x

2

2

2

x

π

π

π

1

π

= lim cos

− cos

=1.

A

2

A→∞

lim cos	1			A	=
	x
A→∞				2
			π

162

РАЗДЕЛ I. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2. Вычислить несобственный интеграл первого рода					∞∫		dx	.
							1 + x2
				1	−∞
Решение. Отметим, что подынтегральная функция							при х=0 имеет максимум
				+ x2
		1
и на ± ∞ стремится к нулю (рис. 1.1)
lim	1	= 0 .
	1+ x2
x→±∞

Рис. 1.1

Так как подынтегральная функция

1

– четная, то

∞∫

dx

= 2∞∫

dx

.

1 + x2

1 + x2

1 + x2

−∞

0

Тогда по определению несобственного интеграла первого рода имеем

2∞

dx

= 2 lim A

dx

A

π .

= lim arctgx

= lim arctgA =

∫0 1 + x2

A→∞ ∫0 1 + x2

A→∞

0 b→∞

2

Таким образом, несобственный интеграл первого рода (1.2) сходится и равен π2 .

3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл первого рода

∞

1 + x 2

∫

dx .

(1.3)

x

3

1

Решение. Заметим,

что подынтегральная функция

1 + x2

бесконечно малая при

x3

х→∞ , так как

lim

1 + x2

= lim

2x

= lim

2

= 0 .

x3

6x

x→∞

x→∞ 3x 2

x→∞

1 + x2

1

Пусть функция

бесконечно малая по отношению к бесконечно малой

при

x3

x

х→∞ порядка k. Тогда по определению имеем

163

РАЗДЕЛ I. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1+ x 2

x

2

x

k 1

k >1,

∞,

(1+ x 2 )x k

+1

x

3

x 2

−

lim

= lim

= lim

= lim x k 1

= k =1,

1,

1

x

3

x

3

x→∞

x→∞

x→∞

x←∞

k <1,

0.

x

k

Последний результат показывает,

что бесконечно малая

1 + x2

по отношению к

x3

бесконечно малой 1x первого порядка. Это означает, что исходный несобственный инте-

грал расходится.

4. Вычислить несобственный интеграл второго рода

∫0	dx	2 .
−1	1 − x
Решение. Очевидно, что при х = -1 подынтегральная функция			1	терпит бес-
			1 − x2

конечный разрыв (рис. 1.2)

Рис. 1.2

По определению несобственного интеграла второго рода имеем

∫0 dx	2	= αlim→+0	∫0	dx	2
−1 1 − x			−1+α 1 − x
= lim [arcsin(−1 +α)]=				π .
α→+0				2

	0
= lim arcsin x	=
α→+0	−1+α

164

РАЗДЕЛ I. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

5. Вычислить несобственный интеграл второго рода

	∫2	dx		.	(1.5)
		x −	1
	0
	Решение. Очевидно, что при х = 1 подынтегральная функция					1		терпит беско-
						x −1

нечный разрыв (рис. 1.3).

у

α' >0

α'' > 0

1

х

0

1-α'

1

1+α''

2

-1

Рис. 1.3

По определению несобственного интеграла второго рода имеем

2 dx

1−α

'

dx

2

dx

1−α'

2

= lim

+ lim

= lim ln | x −1|

+ lim ln | x −1|

=

∫ x −1

∫

x −1

∫

x −1

α\ →0

α'' →0

α' →−0

α'' →0

''

0

[ln | −α'

0

1+α′′

0

1+α

= lim

| −ln1]+ lim[ln1−ln | α'' |].

α' →0

α'' →0

Так как каждый из верхних пределов стремиться к минус бесконечности, то исходный интеграл (1.5) расходится.

6. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода

∫1 cos2 x dx .

0 3 1 − x2

165

РАЗДЕЛ I. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Решение. Подынтегральная функция является бесконечно большой при х→1 . Представим ее в виде

cos2 x

=

cos2 x

=

cos2 x

,

3 1 − x2

3 1 + x 3 1 − x

1

3 1 + x (1 − x)

3

то есть порядок этой бесконечности большой функции при х→1 по сравнению с

1

ра-

1

− x

вен 13 <1. Поэтому исходный интеграл (1.6) сходится.

Тест 1.

Исследовать на сходимость интегралы

1)∫01 dxx

	2)	1	dx
		∫0	x + x 3

3)∫01 x 2 + x

4)∫1∞ x 3 dx+ x 2

5)∫2∞ lndxxdx

	∞			1 + x
6)	∫3		x	4	+ 3 x	5	dx
	∞		dx
7)	∫0	3	x4 +1 dx
	∞ sin		3 x
8)	∫1	1 + x			dx
9)	∫1∞ cos 2			x dx
			x
10)	∫1∞ sin 3			x	dx
			x

а) сходится б) расходится

а) сходится б) расходится

а) сходится б) расходится

а) сходится б) расходится

а) сходится б) расходится

а) сходится б) расходится

а) сходится б) расходится

а) сходится б) расходится

а) сходится б) расходится

а) сходится б) расходится

166

РАЗДЕЛ II. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Раздел II. Двойные интегралы

2.1. Определение двойного интеграла

Пусть D – ограниченная, замкнутая, квадрируемая (то есть имеющая определенную площадь) область плоскости XОY, в которой введены прямоугольные координаты.

Напомним, что областью называется открытое связное множество точек.

Так же, как и при введении понятия определенного интеграла, для определения двойного интеграла вводят понятие интегральной суммы.

Рассмотрим процесс составления интегральной суммы f(x,y) в области D.

1). Разобьем область D на малые квадрируемые части, которые прономеруем и обозначим площадь к-ой части σк.

У

σк.

Х

0

Рис. 2.1

2).В каждой части σк произвольным образом выберем точку (хк ,ук), в которой вычислим значение функции f(хк ,ук).

3) Составим сумму произведений значения функции в выбранной точке f(хк ,ук) на

n

площадь соответствующей части σк деления области D: ∑ f (xk , yk ) σk .

k =1

n

Определение 2.1 Сумма ∑ f (xk , yk ) σk называется интегральной суммой функ-

k =1

ции f(х ,у) в области D, соответствующей данному разбиению области и выбору промежу-

точных точек (хк ,ук).

Таких интегральных сумм для функции в области можно построить бесчисленное множество, так как разбиение области можно провести по-разному. Выбор промежуточных точек также произволен.

Интерес, как и в случае определенного интеграла, представляет случай, когда разбиения проводятся таким образом, чтобы части области как бы сокращаются в размерах – сжимаются. Степень сжатия этих площадок можно оценить длиной наибольшего из их диаметров. Пусть разбиение области D на части характеризуется величиной ∆ .

Определение 2.2 Если существует предел интегральных сумм при стремлении к нулю ∆ – наибольшего из диаметров частей σк , то функция f(x,y) называется интегрируемой в области D, а указанный предел называется двойным интегралом функции в области D и обозначается:

	n
∫∫ f ( x, y ) dx dy	= lim∆ → 0 ∑ f ( xk , yk ) σ k .	(2.1)
(D )	( n → ∞ ) k =1

Следует подчеркнуть, что условие (n→ ), стоящее в скобках, является следствием основного условия ∆→0 и не заменяет его.

167

РАЗДЕЛ II. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Отметим ряд свойств двойного интеграла функций, интегрируемых в области D. Эти свойства мы доказывать не будем, так как все доказательства практически повторяют доказательства аналогичных теорем для определенного интеграла функции одной переменной.

1. Двойной интеграл функции f(x, y), равной 1 в области D, численно равен площади области D, т.е. S = ∫∫dxdy.

(0)

2. Если область D разбить на части D1 и D2, то двойной интеграл равен сумме интегралов по её частям:

∫∫ f(x, y)dxdy = ∫∫ f(x,y)dxdy +		∫∫	f(x,y)dxdy.
(D)	(D1 )	(D2 )
3. Постоянный множитель выносится за знак двойного интеграла, а интеграл от
суммы функций равен сумме двойных интегралов
∫∫(k1f1 (x, у)+ k 2f2 (x, у))dxdy = k1 ∫∫f1 (x, y)dxdy + k 2 ∫∫f2 (x, y)dxdy.
(D)	(D)			(D)
4. Теорема 2.1 (теорема о средним).
Если f(x,y) непрерывна на	замкнутой области		D,	то существует такая точка
(τ,η) D, что	f(x,y)dxdy = f(τ,η) · SD,
∫∫				(2.2)
(D)

где SD – площадь D.

2.2. Сведение двойного интеграла к повторному

Будем называть область D элементарной, если она ограничена слева и справа двумя вертикальными прямыми х1=а, х2=в, а сверху и снизу двумя непересекающимися функцими у1=f1(x) и у2=f2(x);

у

y2=f2(x)

.M ∆yk

∆xi у1=f1(x)

0

х=а	х=в	х
	Рис. 2.2

168

i

где | ∑

РАЗДЕЛ II. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теорема 2.2 (О вычислении двойного интеграла с помощью повторного).

Пусть функция f(x,y) интергируема в области D и для любого x, [a,b] существует

		f2 ( x)
интеграл		∫ f(x,y)dy. Тогда двойной интеграл	∫∫ f(x,y)dxdy равен повторному
		f1 ( x )	(D)
	f2 ( x)
∫b dx	∫	f(x,y)dy.
a	f ( x	)
	1

Доказательство. Рассмотрим в качестве σ k малый прямоугольник со сторонами ∆хi, ∆yk и перепишем интегральную сумму (2.1) в виде

n	n	n
∑ f (xi , yk )∆xi ∆yk = ∑∆xi ∑ f (xi , yi )∆yk ,
i,k =1	i=1	k =1

где М(хi, yk) – точка внутри квадратика со сторонами ∆xi ,∆yk.

	n			f2 (xi )
Так как ∑f (xi , yk )∆yk =				∫f (xi , yi )dy+εi ,
	k=1			f1(xi )
|ε	|<ε·L, L = max |f	2	(x) – f (x)| на [a, b], то имеем
i				1
	n				n		f 2 ( xi )
	∑ f(xi, y k )∆xi ,∆y k
					= ∑ ∆xi ∫ f(xi ,yi)dy +
	i,k				i=1		f1 ( xi )
εi ∆ xi,| < εL(b-a)→0,
|f(x,y + ∆y) – f(x,y)| < ε.
Поэтому в пределе получим					f2 ( x)
	∫∫ f(x,y)dxdy = ∫b				dx	∫	f(x,y)dy.
	(D )			a	f1 ( x )

n	εi ∆ xi,
∑
i=1

(2.3)

169