Высшая математика

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

∫

dx

π

8.

= tgx +c x ≠

+ nπ, n Z

cos

2

x

2

9.

∫

dx

= −ctgx +c (x ≠ πn, n Z )

2

x

sin

arcsin x +c

10.

∫

dx

=

(-1<x<1)

1 − x2

+c

−arccos x

11.

∫

dx

=

arctgx +c

1+ x2

−arcctgx +c

12.

∫

dx

= ln x +

x2 ±1 +c

( x >1 в случае знака “−“)

x2

±1

∫

dx

=

1

1 + x

+c

(

x

≠1)

13.

ln

1 − x

2

2

1 − x

14.∫ shxdx = chx +c

15.∫chxdx = shx +c

16.∫ chdx2x = thx +c

dx

17. ∫ sh2 x = −cthx +c

Замечание 1. Доказательство формул 12 и 13 следует провести непосредственным дифференцированием правых частей и проверкой совпадения результата с подынтегральными функциями слева.

Замечание 2. Операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций, однако можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями, например,

∫e−x2 dx – интеграл Пуассона.

Теорема 2. Пусть функция ϕ(х) определена и дифференцируема на множестве М. Пусть, далее, для функции g(u) существует первообразная функции G(u) на множестве

U= {ϕ(x)x M},т.е

∫g(u)du = G (u) +c .

Тогда на множестве М для функции g(ϕ(x)) ϕ′(x) существует первообразная, рав-

ная G[ϕ(x)], т.е.

∫ g(ϕ(x))ϕ′(x)dx = G (ϕ(x)) +c

или

(1)

∫ g(ϕ(x))ϕ′(x)dx = ∫ g(u)du u =ϕ(x)

Доказательство. По теореме о производной сложной функции имеем dxd {G (ϕ(x))} = G ′u (u) u =ϕ(x) ϕ′(x) .

151

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Но G ′u (u) по определению первообразной есть g(u), поэтому dxd {G (ϕ(x))} = g(u) u =ϕ(x) ϕ′(x) = g(ϕ(x)) ϕ′(x).

Таким образом, G(ϕ(x)) является первообразной функции g(ϕ(x)) ϕ′(x) на множестве М, и формула (1) доказана.

Существует два варианта метода замены переменной.

а) Метод подведения под знак дифференциала.

Пусть требуется вычислить интеграл ∫ f(x)dx . Предположим, что существует диф-

ференцируемая функция ϕ(х) и функция g(u) такие, что подынтегральное выражение

f(x)dx может быть записано в виде

f(x)dx = g(ϕ(x)) ϕ′(x)dx = g(ϕ(x))dϕ(x) = g(u)du .

Это преобразование называется подведением ϕ(х) под знак дифференциала. По теореме 2 имеем

∫ f(x)dx = ∫ g(ϕ(x))ϕ′(x)dx = ∫ g(u)du u =ϕ(x)

Поэтому вычисление ∫ f(x)dx сводится к вычислению интеграла∫ g(u)du (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке u=ϕ(x).

Пример.

u 4

sin 4 x

∫ sin 3 x cos xdx = ∫ sin 3 xd sin x = ∫ u 3du

u =sin x =

u =sin x +c =

+c

Пример.

)

4

4

2x +1

d

x2 + x

d

x2

+ x −3

du

∫

dx = ∫

(

= ∫

(

)

= ∫

u =x2 +x−3 =

x

2

+ x −

3

x

2

+ x −3

x

2

+ x −3

u

= ln

u

2

+c = ln

x2 + x −3

+c .

u =x

+x−3

б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интеграл ∫ f(x)dx . Введем новую пе-

ременную u формулой x=ϕ(u), где ϕ(u) строго монотонная дифференцируемая функция. Подставим x=ϕ(u) в исходное подынтегральное выражение, получим

f(x)dx = f(ϕ(u)) ϕ′(u)du = g(u)du

По теореме 2 справедливо равенство

∫ f(x)dx = ∫ f(ϕ(u)) ϕ′(u)du u =ϕ−1 (x) = ∫ g(u)du u =ϕ−1 (x) ,

т.е. вычисление интеграла ∫ f(x)dx сводится к вычислению интеграла ∫ g(u)du (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке u=ϕ-1(x)

Пример ∫	1 + x	dx , x>0. Положим x=u2	u (0,+∞); u2 строго монотонна на этом множе-
	1 + x
стве, dx = (u 2 )′du = 2udu, u = ϕ−1 (x) =			x , откуда

152

6.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

∫11++ xx dx = 2∫ uu3 ++1u du = 2∫(u 2 − u +2)du −4∫ udu+1 =

		1					3		1		2
=	2				u			−		u		+2u				−4 ln(u +1)				+c =
		3							2									u =	x
		1				3 2			1				1 2			−4 ln( x +1)+c .
= 2				x				−		x +2x
		3							2

Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме того, следует подчеркнуть, что выбор правильной подстановки в значительной мере определяется искусством вычислителя.

Рассмотрим еще один пример, который позволит нам расширить таблицу интегра-

лов

d

x

dx

1

dx

1

1 du

=

=

a

=

x =

∫ a 2 + x2

a 2

∫

x 2

a

∫

x

2

a ∫1 + u 2

u =

a

1 +

1 +

a

a

1

1

x

1

x

+ c .

=

arctgu

x

+ c =

arctg

+ c = −

arcctg

a

u=

a

a

a

a

a

Аналогично вычисляются следующие интегралы:

∫		dx		=	1			x −a		+c
							ln
	x	2	2			2a		x +a
		−a
∫		dx						x		x	+c, x < a .
		a 2 − x2			= arcsin a				+c = −arccos a
∫		dx			= ln x + x2 ±a 2 +c
		x2 ±a 2

6.5. Интегрирование по частям

Теорема. Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на множестве М и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции v(x)u ′(x) . Тогда на мно-

жестве М существует первообразная для функции u(x)v′(x) , и справедлива формула

∫ u(x)v′(x)dx = u(x) v(x) − ∫ v(x)u ′(x)dx

(1)

Замечание 1. В концевых точках множества М (если М – сегмент) рассматриваются односторонние производные.

Замечание 2. Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяют записать эту формулу в виде

∫ udv = u(x)v(x) − ∫ vdu

Доказательство теоремы. Запишем формулу для производной произведения функций u(x) и v(x).

[u(x)v(x)]′ = u(x)v′(x) + u ′(x)v(x); u(x)v′(x) = [u(x)v(x)]′ − u ′(x)v(x) .

153

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Умножим последнее равенство на dx и возьмем интеграл от обеих частей полученного равенства. Так как по условию на М существует

∫ v(x)u ′(x)dx, и ∫[u(x)v(x)]′dx = u(x)v(x) +c , то на М существует

∫ u(x)v′(x)dx и справедлива формула

∫ u(x)v′(x)dx = u(x) v(x) +c − ∫ u ′(x)v(x)dx

Включая произвольную постоянную С в ∫ u ′(x)v(x)dx , получим формулу (1).

Формула (1) сводит вопрос о вычислении интеграла ∫ udv к вычислению интеграла

∫ vdu . В ряде конкретных случаев этот последний интеграл проще исходного.

Вычисление интеграла

∫ udv

посредством применения

формулы (1) называют

интегрированием по частям.

Примеры:

10. J = ∫ xn ln xdx (n ≠ −1)

n

du =

dx

v =

xn +1

u=lnx,

dv=x

dx;

,

x

n +1

xn +1

xn +1

1

1

∫

n

J =

ln x −

x dx =

+ C

n +

1

n

+1

n

+1

ln x −

n +1

20. J = ∫ xarctgxdx;

u = arctgx,

dv = xdx; du =

dx

, v =

x2

1+ x

2

2

x2

1

∫

x2

x2

1

∫

[(1+ x2 ) -1]

J =

arctgx −

dx =

arctgx −

2

dx

=

2

2

1+ x

2

2

2

1

+ x

=

x2

arctgx −

1

∫

dx +

1

∫

1

dx =

x2 +1

arctgx −

x

+C

2

2

1+ x

2

2

2

2

30. J = ∫ x2 cos xdx = ∫ x2d sin x = x2 sin x −2∫ x sin xdx =

Еще раз применим формулу интегрирования по частям

= x2 sin x +2∫ xd cos x = x2 sin x +2xcos x −2sin x + C

40. J = ∫ex cos xdx;

u = ex , dv = cos xdx; du = exdx, v = sin x

J = ex sin x − ∫ex sin xdx

Еще раз применим формулу интегрирования по частям u = ex , dv = sin xdx; du = exdx, v = −cos x

J = ex sin x +ex cos x − J

Это равенство понимается как равенство множеств (т.е. как равенство представителей множеств J и exsinx + excosx-J) c точностью до произвольной постоянной, поэтому отсюда получаем

154

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

	J =		sin x +cos x	ex + C
			2
50. J = ∫		a 2 −x2 dx; u = a 2 −x2 , dv = dx; du =					−xdx	, v = x
							a 2 −x2
		J = ∫ a 2 − x2 dx = x a 2 − x2 + ∫				x2dx
						a 2 − x2
	Добавим и вычтем а2 в числителе подынтегральной функции интеграла, стоящего в
правой части равенства; тогда, произведя деление на								a 2 − x2 , будем иметь
∫	x2dx		= ∫ a2 −(a2 − x2 ) dx = a2 ∫		dx	− ∫	a2 − x2 dx = a2 arcsin x		− J. Подставим это
	a2 − x2		a2 − x2		a2 − x2			a

выражение в формулу (2), получим

J = x a 2 − x2 +a 2 arcsin ax − J

Отсюда

J = ∫	a 2 − x2 dx = x	a 2 − x2 + a 2	arcsin x	+ C
	2	2	a

60. Проводя аналогичные вычисления, легко получить, что

∫	x2 ± a2 dx =	1 x x2	± a2	± a2	ln x + x2	± a2	+C .
		2		2

Теорема 3. Пусть QP((xx)) – правильная рациональная дробь с вещественными коэф-

фициентами, знаменатель которой имеет вид:

Q(x) = (x − b1 )β1 ... (x − b m )βm (x2 + p1x +q1)λ1 ... (x2 + pn x +q n )λn

Тогда для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей:

P(x)

=

B(1)

+

B(1)

+... +

Bβ(1)

+... +

B

(m)

+

... +

Bβ(m)

+

1

2

1

1

m

Q(x)

x −b

(x −b )2

(x −b )β1

x −b

(x −b )βm

1

1

1

m

m

M (1)

х+ N (1)

+

M (1)

х+ N (1)

+... +

M λ(1) х+ Nλ(1)

+...

(1)

1

1

2

2

1

1

(x

2

+ p x + q )

(x

2

+ p x + q )

2

(x

2

+ p x

λ

+ q ) 1

1

1

1

1

1

1

+

M

(n)

х+ N

(n)

+

M

(n) х

+ N

(n)

+... +

M λ(n) х+ Nλ(n)

1

1

2

2

n

n

(x2 + pn x + qn )

(x2

+ pn x + qn )2

(x2

+ pn x + qn )λn

В этом разложении B(1) , B(1) ,..., B(m) ,M (1) , N (1) ,...,M

(n) , N (n)

– некоторые веществен-

1

2

βm

1

1

λn

λn

ные постоянные, часть которых может быть равна 0.

Замечание. Для определения постоянных

M (ji) , N (ji) , B(ji)

в общем случае следует

привести равенство (l) к общему знаменателю и после этого сравнить коэффициенты при

155

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

одинаковых степенях в числителях. При этом, если степень многочлена Q(x) равна l, то вообще говоря, в числителе правой части равенства (1) после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени l-1, т.е. многочлен с l коэффициентами, число же

неизвестных M (ji) , N (ji) , B(ji) также равняется l.

Таким образом, мы получаем систему l уравнений с l неизвестными. Существование у нее решения вытекает из доказанной теоремы.

Рассмотрим основные методы разложения на простейшие дроби.

6.6. Метод неопределенных коэффициентов

Найдем разложение на простейшие дроби для

x2

−1

.

x(x2

+1)2

Общий вид разложения в этом случае

x2 −1

A Bx + C Dx + E

=

+

+

.

x(x2 +1)2

x

(x2 +1)2

x2 +1

Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, имеем x2-1=A(x2+1)2+(Bx+C)x+(Dx+E)( x2+1)x

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

при х0	A=-1	Отсюда находим: A=-1
при х	C+E=0	B=2
при х2	2A+B+D=1	C=0
при х3	E=0	D=1
при х4	A+D=0	E=0 ,

поэтому искомое разложение имеет вид:

x2 −1	1			2x		x
	= −		+		+		.
x(x2 +1)2		x		(x2 +1)2		x2 +1

6.7. Метод вычеркивания

Пусть знаменатель Q(x) правильной рациональной дроби QP((xx)) имеет веществен-

ное число а корнем кратности α. Тогда среди простейших дробей, на сумму которых рас-

кладывается дробь

P(x)

, есть дробь

А

. Kоэффициент

А =

Р(а)

, где

Q(x)

(х−а)α

ϕ(а)

ϕ(х) =

Q(x)

.

(x −a)α

Правило: для вычисления коэффициента А при простейшей дроби

А

, соот-

(х−а)α

ветствующей вещественному корню а многочлена Q(x) кратности α, следует вычеркнуть в знаменателе дроби QP((xx)) скобку (х−а)α и в оставшемся выражении положить х=а. Отме-

тим, что этот прием применим лишь для вычисления коэффициентов при старших степенях простейших дробей, соответствующих вещественным корням Q(x).

156

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда знаменатель Q(x) имеет лишь однократные вещественные корни, т.е. когда Q(x)=(x-a1)(x-a2) ... (x-an). Тогда справедливо представление

QP((x)x) = xA−1a1 + xA−2a 2 +...+ xA−an n ,

все коэффициенты которого могут быть вычислены по методу вычеркивания. Для вычис-

ления коэффициента Ак следует вычеркнуть в знаменателе дроби QP((xx)) скобку (х-ак) и в оставшемся выражении положить х=ак.

Найти разложение дроби

x

=

A1

+

A 2

+

A 3

(x

2 −1)(x −

2)

x −1

x +1

x −2

A

1

=

x

x=1

=

1

= −

1

(x

−2)(x +1)

−1 2

2

A

2

=

x

x=−1

=

−1

= −

1

(x

−1)(x −2)

(−2)(−3)

6

A

3

=

x

x=2

=

2

x2

−1

3

x

= −

1

−

1

+

2

Отсюда

(x2

−1)(x −2)

2(x −1)

6(x +1)

3(x −2)

Замечание. Метод вычеркивания снижает трудоемкость вычислений и в более сложных случаях.

Разложить правильную дробь

3x4 +2x3

+3x2

−1

на простейшие дроби.

(x −2)(x2 +1)

2

2

3x4 +2x3 +3x2 −1

B

M

1

x + N

1

M

2

x + N

2

x +1 имеет комплексные корни

=

+

+

(x −2)(x2

+1)2

x −2

x2 +1

(x2

+1)2

Метод неопределенных коэффициентов приводит к системе 5-го порядка. Если же В определить методом вычеркивания, то система будет уже только 4-го порядка.

6.8.Интегрирование некоторых классов функций

6.8.1.Интегрируемость рациональной дроби

Прежде всего отметим, что всякую неправильную рациональную дробь можно (посредством деления числителя на знаменатель “уголком”) представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример.		x4 − x3 +1		= (x	2	−2x) +	4x +1
		x2 + x +2					x2 + x +2
	- x4- x3 + 1			x2+x+2

x4+x3+2x2 x2 - 2x

-2x3-2x2+1

-

-2x3-2x2-4x

157

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Остаток 1+4х

Интегрировать многочлен мы умеем. В силу теоремы о разложении правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на простейшие, вопрос сводится к интегрированию простейших дробей:

1.	B	II.	B	III.	M x + N	IY.	Mx + N
	x − b		(x − b)β		x2 + px +q		(x2 + px +q)λ

Здесь β=2,3,...; λ=2,3,...; В, М, N, b, p, q – некоторые вещественные числа, причем

трехчлен х2+px+q не имеет вещественных корней, т.е. p2-4q<0.

I.

B

dx = B

dt

= Bln

t

+c = Bln

x − b

+c

(t = x − b)

∫ (x − b)

∫

t

B

II. ∫

B

=

B∫

dt

= −

B

1

+c =

1

+c

(x − b)

β

β

(β −1)

t

β−1

1 −β

(x − b)

β−1

t

Здесь t=x-b

2

2

p

p

2

III. x

+ px +q

= x +

+ q

−

2

4

2

2

p

Положим a = + q − p

q − p

>

0 . Произведя подстановку t

= x +

, будем

2

4

4

иметь

Mp

t

Mx + N

Mt +

N −

M

d(t 2 + a2 )

Mp 1

d

2

∫

= ∫

∫

∫

a

dx

dt =

+ N −

x

2

+ px + q

t

2

+ a

2

2

t

2

+ a

2

2

t

2

a

+1

a

=

M

ln(t 2 + a2 )+

2N − Mp

arctg

t

+c =

M

ln(x2

+ px + q)+

IY.

2

2

2a

a

p

+ 2N − Mp arctg

x +

2

+c

2 q −

p2

q −

p2

4

4

Аналогично III получаем

∫

Mx + N

=

M

∫

d(t 2 +a 2 )

+

2N −Mp

∫

dt

=

(x2

+ px +q)

λ

2

(t 2

+a 2 )

λ

2

(t 2 +a 2 )

λ

=

M

+ 2N −Mp ∫

dt

(

)(

)

λ−1

(

)

λ

− λ

t

2

+a

2

2

t

2

+a

2

2 1

158

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

dt

Обозначим K λ = ∫ (t 2 +a 2 )λ . Установим для этого интеграла рекуррентную формулу

K λ =

dt

=

1

a 2dt

=

1

[(t 2 +a 2 ) − t 2 ]dt =

∫ (t 2 +a 2 )λ

a 2

∫ (t 2 +a 2 )

a 2

∫

λ

(t 2 +a 2 )λ

d(t 2 +a 2 )

=

1

dt

−

1

t

2tdt

=

1

K λ−1 −

1

t

a 2

∫ (t 2 +a 2 )λ−1

2a 2

∫

(t 2 +a 2 )λ

a 2

2a 2 ∫

(t 2 +a 2 )λ

Для вычисления последнего интеграла применим формулу интегрирования по час-

тям, полагая в ней u=t, du=dt

dυ =

d(t

2 +a

2 )

,

υ = −

1

(

2

2

)

λ

(

)(

2

2

)

λ−1

t

+a

λ −1

t

+a

K λ =

1

K λ−1 +

t

−

1

K λ−1

a 2

2a

2

(

λ −

)(

t

2

+a

2

)

λ−1

2a 2 (λ −1)

1

Отсюда

t

2λ −3

K λ =

+

K λ−1

2a

2

(

λ −

)(

t

2

+a

2

)

λ−1

a 2 (2λ −2)

1

(λ =1)

K 1

=

dt

=

1

arctg

t

+c

∫ t 2

+a 2

a

a

Используя рекуррентную формулу, вычислим К2, K3, ... и т.д.

Замечание. На практике Кλ чаще вычисляют непосредственно с помощью подста-

новки t=a tgu

Примеры.

1.

∫

xdx

(x

2

−1)(x

−2)

x

=

−1

−

1

+

2

,

(x2

−1)(x −2)

2(x −1)

6(x +1)

3(x −2)

∫

xdx

= −

1

∫

dx

−

1

∫

dx

+

2

∫

dx

=

(x

2

−1)(x −2)

x −1

6

x +1

2

3

x −2

= −

1

ln

x −1

−

1

ln

x

+1

+

2

ln

x

−2

+ C = ln

(x −2)2 3

+ C

2

6

3

(x −1)1 2 (x +

1)1 6

2.

Вычислим

∫

x6 +2x4

+2x2

−1

dx . Согласно общему правилу, выделим целую

x(x

2

+1)

2

часть, разделив числитель на знаменатель; получим

x6 +2x4 +2x2 −1

= x +

x2 −1

.

x(x2 +1)2

x(x2 +1)2

159

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Правильную рациональную дробь разложим на простейшие

x2

−1

= −

1

+

2x

+

x

, отсюда

x(x2 +1)2

x

(x2 +1)2

x2

+1

∫

x6 + 2x4 + 2x2 −1

dx = ∫ xdx

− ∫

dx

+ ∫

2xdx

+ ∫

x

dx =

x(x

2

+

1)

2

x

(x

2

+1)

2

x

2

+1

=

x2

−ln x + ∫

d(x2 +1)

+

1

∫

d

(x2 +1)

=

2

(x

2

+1)

2

2

x

2

+1

= x2

−ln x −

1

1

+

1 ln(x2

+1) +C = x2

−

1

+ln

x2 +1

+C

2

x2 +

2

2

x2 +1

x

6.8.2.Интегрирование некоторых иррациональностей

6.8.2.1.Рациональные функции от нескольких аргументов

Определение 1. Многочленом степени n от двух аргументов x и y называется вы-

ражение вида

x2 +a

y2

xn +...+a

yn ,

P (x, y) = a

00

+a

10

x +a

01

y

+a

20

11

xy +a

02

+...+a

n0

0n

n

в котором через a 00 ,a10 ,...,a n0 ,...,a 0n

обозначены постоянные вещественные числа такие,

что среди чисел a n0 ,a (n −1)1,...,a 0n есть хотя бы одно число, отличное от нуля.

Определение 2. Рациональной функцией от двух аргументов x и y называется выражение вида

R(x, y) = Pn (x, y) , Qm (x, y)

где Pn(x,y) и Qm(x,y) – многочлены от двух переменных степени n и m соответственно.

Утверждение. Если R(x,y) – рациональная функция от двух аргументов x и y, R1(t), R2(t), R3(t) – три произвольных рациональных функции от одной переменной t, то выраже-

ние R(R 1 (t), R 2 (t)) R 3 (t) представляет собой рациональную функцию от одной переменной.

Замечание. В дальнейшем для доказательства интегрируемости в элементарных функциях некоторых выражений мы будем посредством специально подобранной подстановки сводить интеграл от рассматриваемых выражений к интегралу от рациональной дроби.

6.8.2.2. Интегрирование выражений вида

R x,

m	αx +β	+
		, где m N , α, β, γ, δ = const.
	γx + δ

αx +β		m	αx +β			δt m −β
Положим t = m γx +δ	, тогда t		= γx +δ	,	x =		≡ ϕ(t) .
						α − γt m

Интеграл перейдет в ∫ (R(ϕ(t), t) ϕ′(t)dt .

160