Высшая математика

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Аналогично можно рассмотреть рациональные функции нескольких переменных и интегралы вида

		αx +β	r		αx +β	s
∫ R x,				,			,... dx ,
		γx + δ			γx +δ

где все показатели r, s, ... рациональны; надо лишь привести эти показатели к общему знаменателю m, чтобы под знаком интеграла получить рациональную функцию от x и ра-

αx +β

дикала m γx +δ .

Пример. ∫

x +1 +2

dx .

(x +1)

2

−

x +1

Здесь дробно-линейная функция

αx +β

, в частности, свелась просто к линейной

γx + δ

функции x+1. Полагаем t =

x +1, x = t 2

−1, тогда

x +1 + 2

(t + 2)tdt

t + 2

∫ (x +1)2 − x +1 dx = 2∫

t4 − t

= 2∫ t3 −1dt

=

=

2

−

2t + 2

(t −1)2

−

2

arctg

2t +1

+ C,

−1

t2 + t +

dt = ln

t2 + t +1

3

3

∫ t

1

где остается лишь подставить t =

x +1 .

а) ∫

dx

Этот интеграл легко сводится к табличному, если выделить в трех-

ax2

+ bx +c

члене ах2+bх+c полный квадрат.

Пример

∫

dx

x2 +2x +5

x2+2x+5 = (x+1)2+4

d(x +1)

Отсюда,

∫

dx

= ∫

= ln x +1 +

x2 +2x +5 + C

x2 +2x +5

(x +1)2 +5

б) ∫

Ax + B

dx . В числителе дроби необходимо выделить производную квадратного

ax

2

+ bx +c

трехчлена.

A

Ab

Ax + B

(2ax + b) + B −

∫

dx =

∫ 2a

2a dx =

ax

2

ax

2

+ bx +c

+ bx +c

2

+ bx +c) +(B −

Ab)∫

dx

=

A ∫ d(ax2

ax

2

2a

ax

+ bx +c

2a

+ bx +c

161

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пример

5x −3

5

(4x +8) −13

∫

dx = ∫ 4

dx =

2x2 +8x +1

2x2 +8x +1

=

5

∫

4x +8

dx −13∫

dx

=

4

2x2 +8x +1

2x2 +8x +1

=

5

2x2 +8x +1 − 13 ∫

dx

=

2

2

x2

+ 4x +

1

2

=

5

2x2 +8x +1 −

13

ln x +

2 + x

2 + 4x +

1

+C

2

2

2

6.8.2.3.Тригонометрические и гиперболические подстановки

Винтегралах вида ∫ R(x, ax2 + bx +c)dx можно выделить полный квадрат в трех-

члене ах2+bx+c	и свести их линейной заменой к интегралам вида
∫ R(t, 1	− t 2 )dt, ∫ R(t, 1 + t 2 )dt, ∫ R(t, t 2 −1)dt .

Для вычисления этих интегралов часто оказывается удобным использовать тригонометрические подстановки

t=sinu, t=cosu, t=tgu,

а также гиперболические подстановки

t=shu, t=chu, t=thu.

Пример J = ∫ 1 − x2 dx . x

Положим, x=sint, тогда dx=costdt и заданный интеграл принимает вид

J = ∫

1

− sin2 t

cos tdt = ∫

cos2

t

dt

= ∫

cos2 t

sin tdt =

sin t

sin t

sin

2

t

(cost > 0)

= −∫ cos

2

td cos2

t = −∫

2

du2 = ∫

2

∫

u

1 − u2 du −

1

du

2 =

1 − cos

t

1 − u

1 − u

− u

u = cos t

1

1 + u

1

1 + cos t

= u −

2 ln

1 − u + C = cos t −

2 ln

1 − cos t

+ C =

= cos(arcsin x) −

1

1 + cos(arcsin x)

+ C =

2 ln

1 − cos(arcsin x)

162

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

	=	1 − x2 −	1	ln	1 +	1 − x2	+ C =
			2		1 −	1 − x2
	=	1 − x2 − ln			1 +	1 − x2	+ C
						x

6.8.2.4.Интегрирование биноминальных дифференциалов

∫xm (a + bxn )p dx

где а, b – любые постоянные; m, n и p – рациональные числа. Рационализирующая подста-

новка существует в трех случаях.
1. p – целое
	∫ R(x, r x)dx ,			где r – наименьшее общее кратное знаменателей рациональных
чисел m и n.
	Подстановка t = r		x
2.	m +1	– целое.
	n					m +1
	Положим z=xn, обозначив						−1 ≡ q , будем иметь
						n
	∫ xm (a + bxn )p dx =			1	∫(a + bz)p zq dz			(q – целое).
				n
	Это есть интеграл вида ∫ R(z, s a + bz)dz , где s – знаменатель числа р. Рационали-

зирующая подстановка имеет вид t = s a + bz , или для исходного интеграла t = s a + bxn .

	m +1		+р – целое. Сначала положим	n
3.				z=x
	n

∫ xm (a + bxn )p dx = n1 ∫(a + bz)p zq dz =

	1	∫ a	+ b	p
=					zp+q dz = ∫ R z, s
	n	z

+b dz. z

Здесь p+q=p+ mn+1 −1 – целое, поэтому рационализирующая подстанов-

каt = s az + b , или для исходного интеграла t = s ax−n + b , где s – знаменатель числа р.

Примеры.

1. ∫	3 1 +4 x	dx = ∫ x	−12			14	13			1			1		1
					+ x			dx,	m = −		,	n =		, p =
	x			1						2			4		3

163

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

m +1

− 1

+1

Так как

=

2

= 2 , то имеем второй случай (знаменатель р равен 3).

n

1

4

x = (t3 −1)4, dx =12t2 (t3 −1)3dt , тогда

Положим t = 3 1 +4

x,

∫

3 1 +4 x dx =12∫(t 6 −t

3 )dt =

3

t 4 (4t 3 − 7) +c =

3

(1+ 4 x)43 (4(1+ 4 x)− 7)+c

7

∫

x

∫

(

)

7

dx

0

4

−14

2.

=

x

1 + x

dx.

4 1 + x4

Здесь

m=0,

n=4,

p = −

1

;

третий

случай

интегрируемости,

так как

m +1

4

+p =

1

−

1

= 0 − целое; p = −

1

; знаменатель р равен 4.

n

4

4

4

Положим t = 4

x−4 +1 =

4 1 + x4

x =

(

t 4

−1

−14

dx = −t 3

(

t 4

−1 −54 dt

x

)

)

(

)

4

4

4

−1

4

1 + x

= tx = t t

−

1

,

∫

4

dx

4

∫

t 2dt

1

1

1

1

∫

dt

1 t +1 1

= −

4

=

∫

−

2

=

ln

−

arctgt

+c =

1 + x

t

−1

4

t

+1

dt −

2

4

t −

1

2

t −1

t +1

=

1 ln

4

x−4 +1 +1 −

1 arctg4

x−4 +1 +c

4

4

x−4 +1 −1

2

6.9.Интегрирование тригонометрических функций

6.9.1.Интегралы вида ∫ R(sin x,cos x)dx , где R – рациональная функция

9.1.Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций с помо-

щью универсальной тригонометрической подстановки t = tg x2 . В результате этой под-

становки имеем

x

1 − tg

2

x

2tg 2

2t

1 − t 2

sin x =

=

; cos x =

2

=

1 + t 2

x

1 + t 2

1

+ tg

2

x

1 + tg

2

2

2

x = 2arctgt; dx =	2dt
	1 + t 2
				2t			1 − t	2		2dt
∫ R(sin x,cos x)dx = ∫ R						,					.
				+ t	2		1 + t	2		2
		1							1 + t

164

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пример.

2dt

dx

dt

dt

∫

= ∫

1+t 2

= 2∫

= ∫

=

4sin x +3cos x +3

4

2t

+3

1

−t

2

+3

2(4t +3)

4t +3

1

+t 2

1

+t 2

=

1

ln

4t +3

+c.

4

Возвращаясь к старой переменной, получим

∫

dx

1

x

=

ln

4tg

+3

+ c.

4 sin x +3cos x +3

4

2

Замечание.

Универсальная подстановка

t = tg

x

во многих случаях приводит к

2

сложным вычислениям, так как при ее применении sinx и cosx выражаются через t в виде рациональных дробей t2 .

В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида ∫ R (sin x,cos x)dx мо-

жет быть упрощено.

1. Если R(sin x,cos x) – нечетная функция относительно sinx, т.е.

R(−sin x,cos x) = −R(sin x,cos x), то интеграл рационализируется подстановкой cosx=t.

2. Если R(sin x,cos x) – нечетная функция относительно cosx, т.е.

R(sin x,−cos x) = −R(sin x,cos x), то интеграл рационализируется с помощью подстановки sinx=t.

3. Если R(sin x,cos x) – четная функция относительно sinx и cosx, т.е. если R(−sin x,−cos x) = R(sin x,cos x),то следует применить подстановку tgx=t.

	Примеры.				(sin x −sin3 x)
1. ∫	(sin x −sin3	x)		dx = ∫						dx
	cos 2x				cos	2	x −sin	2	x

Так как подынтегральная функция нечетна относительно sinx, то полагаем cosx=t.

Отсюда sin2 x =1−t2 , cos2x = 2cos2 x −1 = 2t2 −1, dt = −sin xdx .

Таким образом,

∫	(sin x −sin3 x)dx = −∫
		cos 2x		d(t 2 )
	−t	1	∫ (
=	2	− 2 2		2t)2 −1

cos2 xd cos x

= −∫

t2dt

= −

1

∫ dt −

1

∫

dt

=

2 cos

2

x −1

2t

2

−1

2

2

2t

2

−1

.

−t −

1

ln t 2 −1

=

+c.

2

4

2

t 2 +1

Следовательно,

∫ sin x −sin3 x dx =	1 cos x −	2 ln	2 cos x −1	+c .
cos 2x	2	8	2 cos x +1

165

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2. ∫ cos x +cos3 x dx. cos 2x

Здесь подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса. Поэто-

му применяем подстановку sinx=t, тогда cos2 x =1 − sin 2 x =1 − t 2 ,

cos xdx = dt .

Следовательно,

x)

(1+cos2 x)cos x

(2 −t2 )

∫

(cos x +cos3

dx

= ∫

dx

= ∫

dt =

∫

t2

−2

dt =

cos 2x

1−

2 sin

2

x

1−2t

2

2t

2

−1

( 2t)

1

2t2 −4

1

3

dt

t

3

d

=

2

∫

2t2 −1 dt =

2

∫ dt −

2

∫

2t2 −1

=

2

−

2 2

∫

(

2t)2 −1

=

= t

−

3

2

ln

2t −1 +c.

2

4

2t +1

Окончательно получим:

∫ cos x +cos3 x dt =

1 sin x −

3

2

ln

2 sin x −1

+c.

cos 2x

2

8

2 sin x +1

Заметим, что в этом случае интеграл всегда может быть записан в виде

∫ R *(sin x,cos2 x)cos xdx .

3. ∫

dx

.

sin

2

x + 2sin x cos x −3cos

2

x

Здесь подынтегральная функция является четной относительно sinx и cosx, поэтому

полагаем t=tgx.

Тогда

tgx

t

x = arctgt,

sin x =

=

1 + tg2x

1 + t 2

dx =

dt

,

cos x =

1

=

1

1 + t 2

1 + tg2x

1 + t 2

dx

dt

∫

= ∫

1+t 2

=

sin

2

x + 2sin x cos x −3cos

2

x

t

2

+

2t

1

−

3

1 +t 2

1 +t 2

1 +t 2

1 +t 2

= ∫

dt

= ∫

dt

=

1

t −1

+ c =

1

tgx −1

+ c

ln

ln

t

2

+ 2t −3

(t

−1)(t +3)

4

t +3

4

tgx +3

Замечание. То же преобразование можно сделать проще, если в исходном интегра-

ле числитель и знаменатель разделить на cos2x.

dx

dx

dtgx

∫

= ∫

cos2 x

=

∫

.

sin

2

x + 2sin x cos x −3cos

2

x

tg

2

x + 2tgx −3

tg

2

x + 2tgx −3

166

6.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.9.2.Интегралы вида ∫ sin m x cosn xdx.

1-й случай. По крайней мере один из показателей m или n нечетное целое, положительное число.

Если n нечетно, то применяется подстановка sinx=t, если же m нечетно, то подста-

новка cosx=t.

Примеры.

1. ∫ sin 4 x cos5 xdx

		Положим sinx=t, cosxdx=dt, тогда																									)									∫					(			)
		∫			4		cos			5				∫		4		(						2				2												4			2		2
			sin			x					xdx =				sin		x 1 − sin									x			cos xdx =									t			1	− t				dt =
		= ∫ t 4dt −2∫ t 6dt + ∫ t 8dt =																	1	t 5		−	2		t 7			+		1	t 9	+c =					1		sin			5 x −			2		sin 7	x +	1	sin 9	x +c.
																		5					7							9						5									7				9
	∫		3					∫													∫ (
																														)
2.		sin 3 xdx					=		sin			3	x cos		−43	xdx =						1	−cos						2	x cos			−4	3	x sin xdx =
		cos x		cos x

Положив cosx=t, -sinxdx=dt, получим:

= −∫(1−t2 )t−43 dt = −∫t−43 dt + ∫t 23 dt = 3t− 13 + 53 t 53 +c =

= 3 cos3 x + 53 cos x3 cos2 x +c.

2-ой случай. Показатели степеней m и n – четные положительные числа. Здесь нужно преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул.

sin x cos x = 12 sin 2x

sin 2 x =					1			(1−cos2x)
					2
cos2 x =						1			(1 +cos2x)
					2
											∫ sin 2 x cos2 xdx .
Пример.
Здесь
		2		x cos					2	x = (sin x cos x)						2	1			2
sin																	=		sin 2x	=
																	2
=	1		sin 2		2x					=	1		1 −cos4x	=	1		(1 −cos4x).
												2
4										4				8

	Отсюда	1		1		1
	∫ sin2 x cos2 xdx =		∫ (1 − cos4x)dx =		∫ dx −		∫ cos4xdx =
		8		8		8

1 1

=8 x − 32 sin 4x + C.

167

6.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.9.3.Интегралы вида ∫ tgm xdx (или ∫ctgm xdx) ,

где m – целое положительное число

При нахождении таких интегралов применяется формула

tg2x = cos12 x −1 (ctg2x = sin12 x −1) ,

с помощью которой последовательно снижается степень тангенса и котангенса.

Пример.

1

∫ tg7 xdx = ∫ tg5 x

−1 dx = ∫ tg5 xd(tgx) − ∫ tg5 xdx =

2

x

cos

tg6 x

1

tg6 x

tg4 x

1

=

− ∫ tg3 x

−1 dx =

−

+ ∫ tgx

−1 dx =

6

2

x

6

4

2

x

cos

cos

=

tg6 x

−

tg4 x

+

tg2 x

+ ln

cos x

+ C.

6

4

2

6.9.4. Интегралы вида ∫sin mx cosnxdx,

∫cosmx cosnxdx, ∫sin mx sin nxdx.

Используя формулы

sin α cosβ =

1

[sin(α +β) + sin(α −β)]

2

cosα cosβ =

1

[cos(α +β) +cos(α −β)]

2

sin α sin β =

1

[cos(α −β) −cos(α +β)],

2

представляем подынтегральную функцию в виде суммы косинусов или синусов.

	Пример.					1
			∫ sin 2x cos5xdx =				∫[sin 7x			+ sin(−3x)]dx =
						2
		1		1					1		1
	=		∫ sin 7xdx −		∫ sin 3xdx = −					cos7x +		cos3x + C.
		2		2				14			6

168

7.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

7.Определенный интеграл и его геометрические приложения

7.1.Интегрируемость функции на сегменте.

y

	f(ξ1) f(ξ2) f(ξ3) f(ξn)
a	b
x0 ξ1 x1 ξ2 x2 ξ3 x3 ξn xn

Пусть функция f(x) задана на сегменте [a,b] (a<b). Обозначим через Т разбиение [a,b] при помощи не совпадающих друг с другом точек a=x0<x1<...<xn=b на n частичных сегментов [x0,x1]...[xn-1, xn]. Точки x0,x1,...,xn называются точками разбиения Т. Пусть ξi – произвольная

точка частичного сегмента [xi-1,xi]. Разность ∆xi=xi -xi-1 будем называть длиной частичного

x сегмента [xi-1,xi].

Рис.1

Определение 1. Число I{xi , ξi } , где

n

I{xi , ξi } = f(ξ1)∆x1 + f(ξ2 )∆x2 +...+f(ξn )∆xn = ∑ f(ξi )∆xi

i=1

называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению Т сегмента [a,b] и данному выбору промежуточных точек ξi на частичных сегментах [xi- 1,xi].

Обозначим ∆ = max ∆xi (i =1, n) – диаметр разбиения Т сегмента [a,b].

i

Геометрический смысл интегральной суммы I{xi , ξi } . Рассмотрим криволиней-

ную трапецию – фигуру, ограниченную графиком функции f(x) (будем считать ее положительной и непрерывной), двумя ординатами, проведенными в точках a и b оси абсцисс и осью абсцисс.

Интегральная сумма I{xi , ξi } – площадь ступенчатой фигуры (рис.1).

Определение 2. Число I называется пределом интегральных сумм I{xi , ξi } при ∆→0, если для ε>0 можно указать такое положительное число δ = δ(ε) , что для любого

разбиения Т сегмента [a,b], максимальная длина ∆ частичных сегментов которого <δ, независимо от выбора точек ξi на сегментах [xi-1,xi] выполнено неравенство

I{xi, ξi } − I < ε

Если интегральная сумма I{xi , ξi } при ∆→0 имеет пределом число I, то будем за-

писывать это так I = lim I{xi ,ξi }.

∆→0

Определение 3. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на [a,b], если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при ∆→0. Указанный предел I называется определенным интегралом функции f(x) по [a,b] и обозначается так:

b

I = ∫ f(x)dx

a

169

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Из рисунка видно, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, определяемой графиком функции f(x) на [a,b].

Справедлива следующая теорема. Неограниченная на [a,b] функция f(x) не интегрируема на этом сегменте.

Доказательство: Пусть функция f(x) неограничена на [a,b] тогда она неограничена на некотором частичном сегменте [xk-1,xk] любого данного разбиения Т сегмента [a,b]. То-

гда слагаемое f( ξk )∆xk интегральной суммы I{xi, ξi } , отвечающее этому разбиению Т, за счет выбора т. ξk может быть сделано как угодно большим по абсолютной величине, т.е. интегральные суммы I{xi , ξi } , отвечающие любому разбиению Т, не ограничены, и по-

этому не существует конечного предела интегральных сумм. Итак, будем рассматривать лишь ограниченные на [a,b] функции.

Замечание: Отметим, что вообще говоря, не всякая ограниченная на [a,b] функция является интегрируемой на этом сегменте.

Проверьте это положение для функции Дирихле (значения в рациональных точках 1, а в иррациональных – 0). Эта функция не интегрируема на [a,b].

7.2. Верхние и нижние суммы Дарбу и их свойства.

Пусть функция f(x) – ограниченная на [a,b] функция, т.е. ( m,M) ( x [a,b]):[m ≤ f(x) ≤ M]. Т – разбиение [a,b] точками a=x0<x1<...<xn=b.

Обозначим через Mi – точную верхнюю и через mi – точную нижнюю грани этой функции на [xi-1,xi].

n

Суммы S = M1∆x1 +M 2∆x2 +...+M n ∆xn = ∑M i ∆xi

i=1 n

s = m1∆x1 + m2∆x2 +...+mn ∆xn = ∑ mi ∆xi

i=1

называются верхней и нижней суммами функции f(x) для данного разбиения Т сегмента

[a,b].

Заметим, что любая интегральная сумма I{xi, ξi } данного разбиения Т сегмента [a,b] заключена между верхней и нижней суммами S и s этого разбиения.

Геометрический смысл верхней и нижней сумм. Рассмотрим для простоты положительную и непрерывную функцию f(x) и криволинейную трапецию, определяемую этой функцией.

y

y

		f(x)				f(x)
	M i				M i
	mi				mi
a =x0	xi-1 xi	b=xn	x	a =x0	xi-1 xi	b=xn	x
	Рис.1				Рис.2

170