Высшая математика

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Сформулируем без доказательства Критерий Коши о необходимом и достаточном условии сходимости последовательности.

Теорема. Для того, чтобы последовательность {xn} была сходящейся, необходимо

и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

({xn } c) ({xn } Φ).

4.2.5. Основные свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел

{x

} c

)

n

a = lim x

n

b = lim x

n

(a = b) .

(

n→∞

n→∞

Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена

({xn } c) ({xn } m).

Замечание. Обратная теорема не имеет места, ибо ограниченная последовательность, вообще говоря, может и не быть сходящейся. Так, например, {xn}={1+(-1)n}=0, 2, 0, 2, 0, 2, . . . ограниченна, но не является сходящейся. Действительно, если бы {xn} с и

lim xn = a , то {xn -a} δ и {xn +1 – а} δ, тогда и {(xn -a)- (xn +1 – а)} δ (теорема 1,2,3).

n→∞

Но {(xn -a)- (xn +1 – а)}={xn – xn +1} не является бесконечно малой, т.к. |xn – xn +1| = 2 для n N.

4.2.6. Арифметические свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1. Если последовательности {xn} и {yn} сходятся, то сумма (разность), произведение и частное этих последовательностей (частное при условии, что предел последовательности {yn}≠0) есть сходящиеся последовательности, пределы которых соответственно равны: сумме (разности), произведению и частному пределов этих последовательностей

xn

a

lim xn = a

lim yn

= b

lim(xn ± yn ) = a ± b; lim xn yn = ab; lim

=

b ≠ 0

b

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞ yn

4.2.7. Монотонные последовательности

Определение 1. Последовательность {xn} называется невозрастающей (неубывающей) последовательностью, если каждый последующий член этой последовательности не больше (не меньше) предыдущего, т.е. если для n N справедливо неравенство xn ≥ xn +1 (xn ≤ xn +1). Такие последовательности называются монотонными последовательностями.

Определение 2. Если для всех номеров n элементы последовательности {xn} удовлетворяют неравенству xn > xn +1 (xn < xn +1), то такая последовательность называется убывающей (возрастающей). Убывающие и возрастающие последовательности называются строго монотонными.

Замечание. Отметим, что неубывающие и невозрастающие последовательности ограничены сверху и снизу соответственно своими первыми элементами. Поэтому неубывающая (невозрастающая) последовательность будет ограничена с двух сторон, если она ограничена сверху (снизу).

Введем следующие обозначения:

81

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

↑ {xn} – невозрастающая последовательность {xn},↓ {xn} – неубывающая последовательность {xn}, ↑ {xn} – возрастающая последовательность{xn}, ↓ {xn} – убывающая последовательность {xn}.

Пример 1. Последовательность {n,n}=1,1,2,2, . . .n,n, . . . неубывающая монотонная. Снизу она ограничена первым элементом – “1”, а сверху не ограничена.

Пример 2. Последовательность		n		=	1	,	2	,	3	,...,	n		,...	возрастающая. Снизу
					2		3		4		n +1
	n +1

эта последовательность ограничена своим первым элементом 12 , а сверху , например, сво-

им пределомединицей, т.е. эта последовательность ограничена.

Теперь рассмотрим основную теорему о сходимости монотонной последовательности. Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена

сверху (снизу), то она сходится.

[ ({xn } m ) ( ↓ {xn})] {xn } c, [ ({xn } m ) ( ↑ {xn})] {xn } c.

В силу замечания, сформулированного выше, неубывающие (невозрастающие), ограниченные сверху (снизу) последовательности являются ограниченными с обеих сторон. Поэтому последнюю теорему можно сформулировать так:

		↑{xn }	{xn } c .
{xn } m
	↓{xn }

Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности есть необходимое и достаточное условие ее сходимости.

В самом деле, если монотонная последовательность ограничена, то в силу доказанной теоремы она сходится.

Если же монотонная последовательность (да и, вообще, любая последовательность) сходится, то она ограничена (см. теорему 2).

Замечание 2. Если последовательность сходится, то она может и не быть монотонной. Так, последовательность {xn } = {(−1) n / n} сходится и имеет пределом “0”. Однако

эта последовательность не является монотонной, т.к. знаки элементов этой последовательности чередуются.

4.2.8. Число е

Рассмотрим пример последовательности, для нахождения предела которой будет использована вышеуказанная теорема (п. 2.7.) о пределе монотонной последовательности.

Пусть дана последовательность {xn } = {(1+1n)n }, т.е. каждый элемент этой по-

следовательности xn = (1+1n)n . Покажем, что эта последовательность возрастает и огра-

ничена сверху.

Используя формулу бинома Ньютона

82

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(a + b)n

= a n

+ na n−1b +

n(n −1)

a n −2b2

+

n(n −1)(n −2)

a n −3b3

+...+

2!

3!

+

n(n −1)...[n −(m −1)]

a n−m bm +...+nab n−1 +

n(n −1)...[n −(n −1)]

b n ,

m!

n !

получим

xn

=1+ n

1

+

n(n −1)

1

+

n(n −1)(n −2)

1

+...+

n

n2

n3

2!

3!

+

n(n −1)(n −2)...[n −

(n −1)]

1

n!

n n

или

n(n −1)(n − 2)...[n − (n −1)]

x n

= 2 +

1

×

n(n −1)

+

1

n(n −1)(n − 2)

+... +

1

,

2!

n n

3!

n n n

n!

n n n... n

или

xn

= 2 +

1

1−

1

+

1

1−

1

1 −

2

+...+

1

1 −

1

1−

2

...

1 −

n −1

. (1)

2!

n

3!

n

n

n !

n

n

n

Аналогично этому

1

1

1

1

2

1

1

n −1

xn +1 = 2 +

1−

+

1

−

1 −

+...+

1−

... 1

−

+

2!

3!

n !

n

n +1

n +1

n +1

+1

n +1

1

1

n

+

1−

... 1 −

(n +1)!

n +

n +1

1

Очевидно, что 1)

1−

k

< 1−

k

для любого k: 1 ≤ k ≤ n ;

n

n +1

2)все члены последовательности {xn } строго положительны;

3)xn+1 по сравнению с хn содержит лишний положительный член.

Поэтому хn<xn+1 и {xn } – возрастающая последовательность. Покажем теперь ог-

раниченность сверху этой последовательности. Используем неравенство

	1		<		1	,	k ≥ 2 .								(2)
	k !				2k −1
Действительно,
	1		=				1		≤				1	=	1
	k !			1 2 3 4... k						1		2	2...2		2k −1 .
							k						k-1

Учитывая, что каждое выражение в круглых скобках формулы (1) строго меньше 1, и заменяя его поэтому единицей, получим, что

xn	< 2 +	1	+	1	+...+	1		или	xn	< 2 +	1	+	1	+...+	1	.
						n !					2		22		2n−1
		2! 3!

83

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Суммируя n-1 член убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 12 , получим

		1		1
								−1				1		1
				2n −1
xn < 2 +		2							= 2	+1	−		= 3 −		< 3.
				1		−	1					2n−1		2n−1
					2

Итак, последовательность {xn } возрастает и ограничена сверху.

По доказанной теореме (п. 2.7.) эта последовательность имеет предел, который называют числом е.

		1	n
По определению e = lim 1	+		.
n→∞		n

4.2.9. Предельный переход в неравенствах

Покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема 1. Если элементы сходящейся последовательности {xn } начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству xn ≥ b ( xn ≤ b ), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b ( a ≤ b )

			(x		≥ b)		(a ≥ b)	.
({xn } → a) ( n ≥ n0 ) (n0 N):				n			(a ≤ b)
			(xn		≤ b)
	Замечание.	Если элементы сходящейся последовательности {xn } удовлетворяют

строгому неравенству xn>b, то предел а этой последовательности может все же оказаться равным b.

Так, члены последовательности {xn } = {1n} строго положительны (1n > 0) , а предел этой последовательности равен нулю.

Следствие 1.

({x

} → a) ({y

} → b)

( n ≥ n

)

(n

N):

(a ≤ b) .

n

n

0

0

(xn ≤ yn )

[

]

(a ≥ b)

(xn ≥ yn )

Если элементы xn

и yn сходящихся последовательностей {xn }

и {уn }

начиная с

некоторого номера удовлетворяют неравенству xn ≤ yn

( xn ≥ yn ), то их пределы удовле-

творяют такому же неравенству lim xn

≤ lim yn

(lim xn ≥ lim yn ) .

n→∞

n→∞

n

→∞

n→∞

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности {xn }

начиная с

некоторого номера находятся на сегменте [a,b], то и ее предел С также находится на этом сегменте.

{({xn } → c) [( n ≥ n 0 ) (n N)(a ≤ xn ≤ b)]} (a ≤ c ≤ b) .

84

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Теорема 2. Пусть последовательности {xn } и {zn } cходятся и имеют общий предел а. Пусть начиная с некоторого номера элементы последовательности {уn } удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn . Тогда последовательность {уn } сходится и имеет предел а.

1.4.2.10. Подпоследовательности числовых последовательностей

Пусть x1, x2,.., xk,... некоторая числовая последовательность.

Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел n1, n2,.., nk,... и выберем из последовательности {xk } элементы с номерами n1,

n2,.., nk,.... Расположим эти элементы в таком же порядке, как и числа n k : xn1 , xn2 ,..., xn k ,... . Полученную таким образом числовую последовательность будем

называть подпоследовательностью последовательности {xk }. В частности, сама последовательность может рассматриваться как подпоследовательность (в этом случае nk = k).

Замечание. Очевидно, что для любого номера k справедливо неравенство n k ≥ k .

Это видно из следующего примера:
{xk } = x1, x2 , x3 ,...,xk ,...	{n k } = 3,8,9101517, , , ,20,...
Если k = 5, то nk = 15 и n k	≥ k .

Свойство 1. Если последовательность {xk } сходится и имеет своим пределом чис-

ло а, то и любая подпоследовательность этой последовательности сходится и имеет пре-

делом число а

({xk } → a) ( {xn k } {xk } → a).

Свойство 2. Если все подпоследовательности данной последовательности {xk }сходятся, то пределы всех этих подпоследовательностей равны одному и тому же

числу а; в частности, к этому же числу сходится и последовательность {xk } ( {xn k } {xk }) ( {xn k } c) [( {xn k } → a) ({xk } → a)].

Свойство 3. Каждая подпоследовательность бесконечно большой последователь-

ности также будет бесконечно большой

({xk } Б) ( {xn k } Б).

Лемма 1. Из каждой сходящейся последовательности можно выделить монотонную сходящуюся последовательность.

Замечание. Из каждой бесконечно большой последовательности можно выделить монотонную бесконечно большую последовательность.

4.2.11. Предельные точки последовательности

Определение 1. Точка x бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности {xn}, если в любой ε – окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности {xn}.

85

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Лемма 1. Если x- предельная точка последовательности {xk}, то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность {xnk}, сходящуюся к числу x.

Замечание. Справедливо и обратное утверждение. Если из последовательности {xk} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу x, то число x является предельной точкой последовательности {xk}. Действительно, в любой ε – окрестности точки x имеется бесконечно много элементов подпоследовательности, а стало быть и самой последовательности {xk}.

Из леммы 1 следует, что можно дать другое определение предельной точки последовательности, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Точка x бесконечно прямой называется предельной точкой последовательности {xk}, если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к x.

Лемма 2. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.

Замечание. Если последовательность сходится, то она в силу леммы 2 имеет только одну предельную точку. Однако, если {xn} не является сходящейся, то она может иметь несколько предельных точек (и, вообще бесконечно много предельных точек). Покажем, например, что {1+(-1)n} имеет две предельные точки.

Действительно, {1+(-1)n}=0,2,0,2,0,2,... имеет две предельные точки 0 и 2, т.к. подпоследовательности {0}=0,0,0,... и {2}=2,2,2,... этой последовательности имеют пределами соответственно числа 0 и 2. Других предельных точек у этой последовательности нет. Действительно, пусть x -любая точка числовой оси, отличная от точек 0 и 2. Возьмем ε >0 настолько

-ε 0 ε x-ε x x+ε 2-ε 2 2+ε x

малым, чтобы ε – окрестности точек 0, x и 2 не пересекались. В ε- окрестностях точек 0 и 2 содержатся все элементы последовательности и поэтому ε – окрестность точки x не может содержать бесконечно много элементов {1+(-1)n} и поэтому не является предельной точкой этой последовательности.

Теорема. У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка.

Замечание. Ни одно число x , превосходящее x , не является предельной точкой последовательности {xn}, т.е. x – наибольшая предельная точка последовательности {xn}.

Пусть x- любое число, превосходящее x . Выберем ε>0 настолько малым,

x x′ x − ε x x +ε

что x-ε> x .	(	)	def	(		) [		]
Так как		x = inf{x}				{x} : x ≤ x			и x1	{x}, правее x1	лежит
			≡( x −ε > x) x		1		1	< x −ε ,

конечное число элементов последовательности {xn} или их вовсе нет, т.е. x не является предельной точкой последовательности {xn}.

Определение. Наибольшая предельная точка x последовательности {xn} называет-

ся верхним пределом последовательности и обозначается символом x = limxn . Из замеча-

n→∞

ния следует, что у всякой ограниченной последовательности есть верхний предел.

86

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Аналогично вводится понятие нижнего предела x = lim xn (как наименьшей пре-

n→∞

дельной точки последовательности {xn}).

Итак, мы доказали следующее утверждение. У всякой ограниченной последовательности существует верхний и нижний пределы.

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема. Для того, чтобы последовательность {xn} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы ее верхний и нижний пределы x и x совпадали. Результаты этого пункта приводят к следующей основной теореме БольцаноВейерштрасса.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность {xn} ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. Тогда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x (следует из определения 2 предельной точки).

Замечание. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную сходящуюся последовательность.

4.3.Понятие функции. Предел функции. Непрерывность

4.3.1.Определение функции

Определение 1.

Пусть даны два непустых подмножества {x}и {y}множества R.

Если каждому элементу x из {x} ставится в соответствие один элемент y из {y}, то y называется функцией f (отображением) аргумента x. Это записывается в виде:

y = f(x) x {x}, или y = f(x), x {x} .

Другими словами, с помощью функции y=f(x) подмножество {x} отображается в подмножестве {y}, поэтому допустима запись x a f(x), x {x}.

Подмножество {x} или D(f) называется областью определения функции y, подмножество {y} или E(f) – множеством ее значений. Аргумент x часто называют независимой переменной, функцию y -зависимой переменной, а соответствие между нимифункциональной зависимостью.

Частным значением функции y=f(x) при x=a, a {x} называется то значение y , которое соответствует заданному значению x. Оно обозначается через f(a), или y|x=a .

Функции могут быть заданы аналитически, графически и с помощью таблиц.

4.3.2. Способы задания функций

Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

Пример 1. Функция Дирихле

1 п ри x Q	.
y = D(x) =
0 п ри x Q

Пример 2. (рис.1)

87

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

		y
		1
		x
1	при х > 0	-1
	при x = 0
y = sgn x = 0
−1 при x < 0

Рис.1

Определение 2. Графиком функции y=f(x), x {x} называется геометрическое место точек на плоскости с координатами (x,f(x)), где x {x}.

Графический способ задания функции, помимо геометрического изображения функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически. Задать функцию графически – это значит задать ее график.

При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумен-

та выписывается соответствующее значение функции. Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены.

4.3.3. Монотонные функции

Пусть функция y=f(x) определена на множестве {x} и точки x1 ,x2 {x}любые точки, связанные соотношением x1< x2 . Тогда

(x1 < x2

def

def

f(x1 ) ≤ f(x2 ))

≡ f(x) не убывает

def

(

)

≡ f(x) монотонна;

(x1

< x2

f(x1 ) ≥ f(x2 )) ≡ f

x

не возрастает

(x1

f(x1 ) < f(x2 ))

def

< x2

≡ f(x) возрастает def

def

(

)

≡ f(x) строго монотонна

(x1 < x2

f(x1 ) > f(x2 )) ≡ f

x

убывает

4.3.4. Сложная функция

Функции, полученные в результате суперпозиции (или наложения) двух или нескольких функций, называются сложными.

Если функция y зависит от переменной x, т.е. y=f(x), x {x}; a x, в свою очередь, является какой-либо функцией от независимой переменной t, т.е. x=ϕ(t), t {t}, то переменная y называется функцией от функции (или сложной функцией от t) и записывается в виде

y=f(x), x=ϕ(t); или y=f(ϕ(t)).

Область определения сложной функции – это множество тех значений t из {t}, для которых соответствующие значения x принадлежат области определения {x} функции y=f(x).

88

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4.3.5. Обратная функция

Пусть задана некоторая функция y=f(x), т.е. некоторое соответствие между множествами D(f) и E(f). Предположим, для определенности, что D(f)=[a,b], a E(f)=[α,β]. Пусть далее каждому y [α,β] соответствует одно и только одно значение x [a,b], для которого f(x)=y (рис.2). Тогда на сегменте [α,β] можно определить функцию x=f-1 (y), ставя в соответствие каждому y из [α,β] то значение x из [a,b], для которого f(x)=y. Функция x=f-1 (y) называется обратной для функции y=f(x).

β

y		y=f(x)

α

a x b

Рис.2.

Замечание 1. Вместо сегментов [a,b] и [α,β] можно рассматривать интервалы (a,b) и (α,β). Можно допускать, что один или оба интервала (a,b) и (α,β) превращаются в бесконечную прямую или в открытую полупрямую.

Замечание 2. Если x=f-1 (y) – обратная функция для y=f(x), то очевидно, функция y=f(x) является обратной для функции x=f-1 (y). Поэтому функции y=f(x) и x=f-1 (y) называются взаимно обратными.

Одна и та же кривая y=f(x) представляет собой график функции y=f(x) и график обратной функции x=f-1 (y) (если она существует), но в последнем случае значения аргумента рассматриваются на оси Oy, а значения функции – на оси Ox.

Если придерживаться стандартных обозначений и независимую переменную обозначать через x, а функцию через y, то функция, обратная по отношению к y=f(x), запишется в виде y=f-1 (x). В этом случае график функции y=f-1 (x) окажется симметричным графику функции y=f(x) относительно прямой x=y – биссектрисы Iи III координатных углов.

Для взаимно обратных функций имеют место следующие соотношения: D(f)=E(f-1), E(f)=D(f-1), т.е. область определения данной функции совпадает с множеством значений обратной функции и наоборот.

4.3.6. Допустимые области определения функций

Рассмотрим бесконечное множество {x} R и точку а R.

Определение. Точка а называется предельной для множества {x}, если в любой δ- окрестности т. а имеются точки множества {x}, отличные от а.

Замечание 1. Сама точка может принадлежать множеству {x}, а может и не принадлежать этому множеству.

	[	]
Пример 1. {x}=[0,1], a=0	0	1

89

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Пример 2. {x}=(-1,1)\{0}, a=0	0
	рис.3

Замечание 2. Множество (а-δ, а+δ)\{a}, где δ>0, называют проколотой δ-окрестностью т.

а. (Обозначение U$ δ (a) ).

Мы будем рассматривать функции y=f(x), определенные на множестве {x}, для которого точка а является предельной.

4.3.7. Определение предела функции в точке

Определение 1. Последовательность {x} называется последовательностью Гейне (для точки а и множества {x}), если xn {x}, {x}→a, xn≠a.

Определение 2. (определение предела по Гейне) Число b называется пределом функции y=f(x) в точке a(b = limx→a f (x)), если для любой последовательности Гейне

{xn}соответствующая последовательность значений функций {f(xn)}сходится к числу b.

(

x→a

)

def

n

[ n

n

n

n

]

b = lim f(x)

≡

( {x

}) (x

{x}) ({x

} → a) (x

≠ a) {f(x

)} → b

Таким образом, для доказательства того, что функция y=f(x) не имеет предела в т. а (в смысле определения по Гейне), достаточно указать две последовательности Гейне

{x1n}и {x11n}, для которых

lim f

(

x1 n

)

≠ lim f

(

x11 n

)

n→∞

n→∞

Пример 1. Функция Дирихле y=D(x) не имеет предела в т. α=0.

Действительно,

}

(

)

n→∞

(

)

x1 n Q,

{

x1 n

→ 0, D

x1 n

=

x1 n

=1

1 lim D

x11 n Q,

{

x11 n

}

→

0, D

(

x11 n

)

n→∞

(

x11 n

)

= 0.

= 0 lim D

Пример 2. Функция y=sgnx не имеет предела в т. а=0.

n→∞

(

)

n

(

)

n

→∞

(

)

n

(

)

x1 n =

1

, f

x1 n

=1 lim f

x1 n

=1; x11 n

= −

1

, f

x11 n

= −1 lim f

x11 n

= −1

Определение 2. * (определение предела по Коши). Число b называется пределом

функции y=f(x) в точке а, или при x→a ( b = lim f(x)), если для любого положительного

x→a

числа ε найдется положительное число δ такое, что для всех значений аргумента x, удов-
летворяющих условию 0< x-a <δ, будет выполняться неравенство f(x)-b <ε .
(	x→a	)		[		]
	b = lim f(x)		def	( ε > 0)( δ > 0):( x {x}) 0 <		< δ	f(x) − b
			≡		x −a			< ε .

Замечание 1. Условия xn ≠a и 0< x-a в определениях 2 и 2* исключают из рассмотрения т. а. В этой точке функция y=f(x) может быть не определена, либо ее значение может быть отличным от b. Таким образом, предел функции в т. а не зависит от значения функции в этой точке.

90