2. Первая задача анализа на чувствительность.

Она звучит следующим образом. На сколько можно сократить или увеличить запасы ресурсов? Особенно важно проанализировать следующие два аспекта:

1. На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения

полученного оптимального значения целевой функции ?

2. На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении

полученного значения целевой функции ?

Прежде введём некоторые понятия. Прямая, представляющая связывающее ограничение, должна проходить через оптимальную точку. В противном случае ограничение будет несвязывающим. На рис.1 связывающими являются ограничения (1) и (3). Если некоторое ограничение является связывающим, то соответствующий ресурс относят к разряду дефицитных, так как он используется полностью. Рассмотрим сначала дефицитный ресурс, представленный ограничением (1).

Рис.2 Изменение запасов ресурса

1

На рис.2 видно, что при увеличении запаса этого ресурса прямая перемещается вверх параллельно самой себе, постепенно стягивая в точку C. Точка С представляет собой пересечение прямых, соответствующих ограничениям (3) и (4). В точке С ограничения (3) и (4) становятся связывающими; оптимальному решению при этом соответствует точка С. В точке С ограничение (1) становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение. Таким образом, объём этого ресурса не следует увеличивать сверх предела, когда соответствующее ограничение (1) становится избыточным, т.е. прямая (1) проходит через новую оптимальную точку С. Решив систему из уравненийx₂= 3 иx₁+x₂= 7 находим координаты С(4,3). Т.е.x₁= 4,x₂= 3. Затем путём подстановки координат точки С в ограничение (1) определяем максимально допустимый запас данного ресурса 4 – 3*2 = -2 т.

Рис. 3

На рис.3 показана ситуация, когда рассматривается вопрос о целесообразности увеличения дефицитного ресурса (3). Новой оптимальной точкой становится точка L, где пересекаются прямыеx₁-2x₂=2иx₂=3. ОтсюдаL(8,3), а запас соответствующего ресурса можно увеличить до значенияx₁+x₂ =8+3=11т.

Рассмотрим теперь вопрос об уменьшении правой части не связывающего ограничения. Из рис.1 следует, что, не изменяя оптимального решения, прямую (2) передвигать влево до пересечения с оптимальной точкой В ( ), т.е. уменьшение спроса на товар 1 не повлияет на оптимальность ранее полученного решения доx₁ = , а на товар 2x₂ = . При этом правая часть ограничения станет равной 5x₁ – 2x₂ = .

Результат проведенного анализа можно свести в таблицу.

Таблица 1

Ресурс	Тип ресурса	Максимальное изменение запаса ресурса, т.	Максимальное изменение дохода реализации F, тыс. долл.
1	дефицитный
2	недефицитный	8 – 4 = 4
3	дефицитный	5 – 4 = 1

3. Вторая задача анализа на чувствительность. Увеличение объёма какого из ресурсов наиболее выгодно?

Чтобы ответить на этот вопрос, введём характеристику ценности каждой дополнительной единицы дефицитного ресурса, выражаемую через соответствующее приращение оптимального значения целевой функции. Её можно получить непосредственно из таблицы 1.

Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса i через y_i . Величина y_i определяется из

y_i =

Например, для ограничения (3) получим y₃=(1)

Аналогично можно определить ценность единицы каждого из ресурсов и представить результаты в табл. 2

Таблица 2

Ресурс	Тип ресурса	Значение yi ,
1	дефицитный	y1 = 0
2	недефицитный	y2 =
3	дефицитный	y3 =

Полученные результаты свидетельствуют, что дополнительные вложения в первую очередь следует направить на увеличение ресурса 3, а лишь затем – на увеличение ресурса 2. Что касается недефицитных ресурсов, то их объём увеличивать не следует.