3 Построение структурных схем и амплитудно-фазо-частотных характеристик звеньев фмс

3.1. Линеаризация дифференциальных уравнений движения фмс путевых грузоподъемных и строительных машин

Сложная и самая простая механическая система любой машины или механизма содержит в своем составе существенно нелинейные звенья. Так, все узлы трения (фрикционные муфты, тормоза, гасители колебаний, шлицевые соединения, зубчатые передачи, подшипники качения или скольжения, опоры скольжения и т.д.), без которых не может функционировать ни одна машина или механизм, являются типичными примерами существенно нелинейных систем. Как известно, процессы, протекающие на фрикционном контакте, имеют двойственную упруго-диссипативную природу и зависят от 30 и более нелинейно взаимосвязанных параметров. В настоящее время при расчете машин и механизмов узлы трения вводятся в механическую систему в виде упрощенного оператора с коэффициентом передачи, равным отношению нормальной и тангенциальной составляющей силы трения, т. е. в виде коэффициента трения. Данное упрощенное представление (линеаризация) не позволяет учитывать упруго-диссипативную природу процессов трения и их сложную нелинейную зависимость от большого числа факторов. В связи с этим данная линеаризация не позволяет корректно решать вопросы по определения оптимальных параметров механических систем. Для решения вышеназванных задач узлы трения представляются операторами с передаточной функцией, равной отношению плотности спектральной мощности нормальной и тангенциальной составляющих силы трения (отношение взаимного спектра к автоспектру).

При составлении дифференциальных уравнений динамики любой механической системы последнюю разбивают на отдельные звенья и записывают уравнение каждого звена. Уравнения всех звеньев образуют единую систему, которую можно представить в виде одного уравнения путем исключения промежуточных переменных. В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми.

Первый способ линеаризации. Рассмотрим звено (рис. 3.1), например, силовую трансмиссию путевой машины МПТ, имеющую групповой привод или привод автогрейдера (автомобиля) с двумя ведущими мостами.

Рис. 4.1 Линеаризация нелинейного уравнения динамического процесса

На рис. 3.2 , – активные крутящие моменты на переднем и заднем карданных валах –входные величины; - тяговое усилие – выходная величина; - управляющее воздействие, например, переменная развеска машины.

Рис. 3.2. Условное изображение группового силового привода

Динамическое уравнение привода имеет произвольный нелинейный вид

(3.1)

Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при , , и , , f=f⁰. Уравнение установившегося состояния для привода на рис. 3.2 имеет вид

(3.2)

Разложим функцию по степеням малых отклонений

(3.3)

Вычтя из уравнения (3.3) почленно уравнение установившегося состояния (3.2) и отбросив члены высшего порядка малости (произведений и степеней малых отклонений , …с коэффициентами в виде смешанных частных производных второго и высших порядков от по всем переменным), получим искомое линеаризованное уравнение динамики данной системы в виде

(3.4)

Уравнение (3.4) как и уравнение (3.1) описывает тот же динамический процесс в приводе машины МПТ, при этом уравнение (3.4):

1. Менее точное, чем (3.1), так как в нем нет малых высших порядков;

2. Неизвестными функциями в нем являются не полные величины , а их отклонения от некоторых установившихся значений ;

3. П

   

   олученное уравнение является линейным относительно отклонений с постоянными коэффициентами , или с переменными коэффициентами, если содержит в явном виде, а также, когда установившийся процесс определяется переменными величинами , например, при программном регулировании тягового усилия машины МПТ.

, ,,

Рис. 3.3. Схема линеаризации

(3.5)

Замена на и сокращение члена (3.5) эквивалентно переносу начала координат (рис. 4.3,а) в точку С (рис. 3.3,б). То есть, производим замену кривой СВ на прямую СD. Данная замена тем точнее, чем меньше величины отклонений возникают в исследуемом объекте. То есть, это основная предпосылка для линеаризации.

Линеаризация не допустима для фрикционных систем и для процессов, имеющих релейные характеристики. Так как, процессы трения являются существенно нелинейными, они представляются в виде комплексных функций, получаемых путем натурного эксперимента. Т. е., при рассмотрении процессов в механических системах с трением, какими являются практически все реальные машины и механизмы, линеаризации подвергаются все нелинейные зависимости (гидро-, пневмо- и электроприводы, гидро-, пневмо-, магнитные и другие усилители и т.д.), а фрикционные звенья представляют в виде вышеназванных уравнений регрессии.

По аналогии с принципами записи дифференциальных уравнений, принятых в теоретических основах, описывающих системы автоматического регулирования, уравнение (3.4) можно представить в виде

,(3.6)

где

или вводя алгебраизированный оператор дифференцирования, уравнение (3.6) примет вид

(3.7)

Например, коэффициенты в случае описания усилителей называются коэффициентами усиления, а в случае описания редукторов- передаточными функциями.