6.2 О синтезе систем регулирования цвм

Синтез систем регулирования с ЦВМ наиболее просто производить на основе той методики, которая была изложена в § 12.6 для непрерывных систем. Покажем, как можно перенести

. (6.24)

Соотношение (6.24) полностью аналогично соответствующему соотношению для непрерывных систем. Поэтому получение требуемого показателя колебательности может быть обеспечено выполнением условия для ЛАХ разомкнутой системы подобно тому, как это было сделано в §   12.6 для непрерывных систем.

Для упрощения выкладок ограничимся рассмотрением систем с астатизмом не выше второго порядка, хотя методика остается применимой и в случае более высокого порядка астатизма. Пусть передаточная функция непрерывной части разомкнутой системы имеет вид

. (6.25)

При построении ЛАХ следящей системы с учетом ЦВМ введем следующие предположения:

1. Величина, обратная периоду дискретности Т, больше половины частоты среза ЛАХ непрерывной части системы, т. е.. При расчете следящих систем с ЦВМ это неравенство приходится выполнять практически во всех случаях в связи с требованиями по устойчивости и запасу устойчивости.

2. Все постоянные времени можно разделить на две группы. К первой группеотнесем те из них, которым соответствуют сопрягающие частоты, меньшие частоты среза(большие постоянные времени). Ко второй группеотнесем те постоянные времени, которым соответствуют сопрягающие частоты большие, чем частота среза(малые постоянные времени), причем, для каждой постоянной времени второй группы должно выполняться неравенство.

3. Постоянным времени соответствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза. Это не относится к тем постоянным времени числителя передаточной функции разомкнутой непрерывной части, которые были введены для компенсации некоторых ее полюсов и поэтому после сокращения соответствующих множителей не вошли в окончательное выражение (6.25).

4. Переход оси нуля децибел асимптотической ЛАХ непрерывной части происходит при отрицательном наклоне 20 дб/дек.

ЛАХ системы с ЦВМ в области низких частот. Рассмотрим построение ЛАХ для (6.25) ТВ области низких частот, т. е. левее частоты среза. Передаточная функция непрерывной части для этой области может быть представлена в виде

. (6.26)

Очевидно, что вследствие условия 4 имеем равенство .

Разложим (6.26) на простые дроби:

, (6.27)

где – коэффициенты разложения;представляет собой условную добротность по скорости, а

. (6.28)

На основании (6.9) дискретная передаточная функция, соответствующая (6.26), будет

, (6.29)

где .

Перейдем к дискретной передаточной функции посредством использования -преобразования (15.163) и подстановки (15.164). В результате получим

, (6.30)

где абсолютная псевдочастота

. (6.31)

Ранее было сделано допущение, что . Поэтому можно считать

,

откуда окончательно

. (6.32)

Сравнение последнего выражения с (6.27) показывает, что в низкочастотной области частотная передаточная функция системы с ЦВМ может быть получена из передаточной функции непрерывной части подстановкой и умножением на дополнительный множитель. Псевдочастота в этой области практически совпадает с частотой входного воздействия , что вытекает из (6.31). Так как было принято, что , то влияние дополнительного множителяпри построении асимптотической ЛАХ можно не учитывать, поэтому в низкочастотной области асимптотическая ЛАХ системы с ЦВМ практически сливается с ЛАХ непрерывной части, причем, можно положить. Это дает большие удобства в формировании низкочастотной ЛАХ проектируемой системы и позволяет полностью использовать ту методику, которая была изложена выше для непрерывных систем.

ЛАХ системы с ЦВМ в области высоких частот. В соответствии с принятыми условиями передаточная функция непрерывной части для этой области может быть представлена в виде

, (6.33)

где частота среза асимптотической ЛАХ

.

Разложим (6.33) на простые дроби:

. (6.34)

Аналогично предыдущему найдем частотную передаточную функцию переходом к псевдочастоте

. (6.35)

Так как , можно положить.

Учитывая, что

,

получаем в результате

. (6.36)

Это выражение и может использоваться для построения ЛАХ, причем модуль (6.36)

. (6.37)

Начало ЛАХ в высокочастотной области сливается с концом ЛАХ низкочастотной области в точке .

При построении фазовой характеристики следует учитывать появление множителя , соответствующему номинально-фазовому звену. Для построения фазовой характеристики можно воспользоваться результирующим выражением для дискретной частотной передаточной функции, которое на основании изложенного будет

. (6.38)

Результирующий фазовый сдвиг

 = – 180 + .(6.39)

В районе частоты среза при можно считать с достаточной точностью

 = – 180 + . (6.40)

В результате при построении высокочастотного «хвоста» приходится учитывать сумму малых постоянных времени и дополнительный множитель. Последний приводит к подъему ЛАХ на высоких частотах и дает дополнительный фазовый сдвиг в отрицательную сторону, равный. Методика расчета следящих систем с ЦВМ и здесь совпадает с методикой расчета непрерывных систем, изложенной выше. Только формула (12.96) должна быть переписана в виде

. (6.41)

Аналогичным образом для «несимметричных» ЛАХ типа 1–2–3… (рис. 12.18) систем с астатизмом первого порядка можно показать, что вид ЛАХ в низкочастотной области сохраняется, а требуемый запас устойчивости получится при

. (6.42)

Последнее выражение является достаточным, если имеется хотя бы одна постоянная времени, по величине, большая, чем . Если для всех постоянных времени выполняется условие, то для предотвращения захода высокочастотного хвоста ЛАХ в запретную зону (рис. 12.16) необходимо выполнить дополнительное условие

. (6.43)

При построении ЛАХ для систем с ЦВМ можно не вводить специального обозначения для псевдочастоты , а употреблять обычное обозначение , считая, что в области рабочих частот (левее частоты среза) это есть частота входного воздействия, а в высокочастотной области она переходит в псевдочастоту.

Сделаем теперь два замечания. Первое относится к случаю наличия в передаточной функции непрерывной части (6.25) сомножителей, соответствующих колебательным звеньям с передаточной функцией

.

Если выполняется условие , то дискретная частотная передаточная функция для подобного сомножителя совпадает с частотной передаточной функцией непрерывного звена, и она может быть получена подстановкойи умножением. Припостроение ЛАХ несколько усложняется вследствие явления транспонирования частот, однако и здесь не возникает никаких принципиальных трудностей [10].

Второе замечание касается последней части условия 2, которое было сформулировано выше при построении ЛАХ для передаточной функции (6.25). Если для всех постоянных времени условиене выполняется, то построение ЛАХ делается следующим образом. Строится ЛАХ, соответствующий передаточной функции непрерывной части (рис. 24.8). Затем проводится вертикальная линия, соответствующая граничной частоте . ЛАХ, расположенная левее граничной частоты, соответствует низкочастотной части, и она может быть принята в качестве ЛАХ дискретной системы, так как в этой области абсолютная псевдочастота совпадает с обычной частотой.

Далее находится формула, соответствующая высокочастотной части ЛАХ непрерывной системы, аналогичная формуле (6.33). Пусть, например, пересечение граничной частоты происходит при наклоне асимптоты 40 дб/дек так, как это показано на рис. 24.8. тогда уравнение высокочастотной части будет

, (6.44)

где – частота пересечения оси частот асимптотой, имеющий отрицательный наклон 40дб/дек.

Раскладывая выражения (6.44) на простые дроби, переходя к , а затем к, получим аналогично формуле (6.36)

, (6.45)

где

.

Если выполняется условие , то формула (6.45) упрощается:

. (6.46)

В соответствии с выражением для строится высокочастотная часть ЛАХ, которая показана нарис. 24.8 пунктиром.

Построение фазовой характеристики делается аналогично изложенному выше.

Таким же способом строится высокочастотная часть ЛАХ при пересечении граничной частоты асимптотой 60 дб/дек, 80 дб/дек и т. д. Во всех случаях формирование высокочастотной части делается по сумме малых постоянных времени, которым соответствуют сопрягаемые частоты, находящиеся правее граничной частоты .

Пример. Произведем расчет следящей системы с астатизмом второго порядка при следующих исходных данных:

1. максимальная входная скорость град/сек;

2. максимальное входное ускорение град/сек²;

3. максимальная допустимая ошибка угл. мин.;

4. непрерывная часть содержит постоянные времени сек, сек и сек;

5. допустимый показатель колебательности и.

Требуется определить параметры непрерывной части системы и допустимый период повторения ЦВМ.

Решим задачу вначале для случая и.

Передаточная функция непрерывной части разомкнутой системы, структурно устойчивой в замкнутом состоянии, должна иметь вид

,

где – постоянная времени, вносимая корректирующим звеном дифференцирующего типа.

Так как высокочастотная часть после частоты среза в рассматриваемом идеализированном случае представляет собой прямую с наклоном 20 дб/дек, то вся частотная передаточная функция системы с ЦВМ может быть получена подстановкой , где – псевдочастота, и введением дополнительного множества :

.

ЛАХ для нее построена на рис. 2АХ для нее построена на рис. дополнительного множества лоном 20 т сопрягаемые частоты, находящиеся правее граничной частоты иал 4.9, а.

На этом же рисунке построена запретная зона для ЛАХ на основании условий по точности и в соответствии с рис. 12.11. базовая частота (12.76)

сек^-1.

Требуемое значение общего коэффициента усиления при совпадении первой асимптоты ЛАХ с границей запретной зоны (рис. 12.24)

сек^-2.

В соответствии с расчетом, проделанным выше, для ЛАХ, изображенной на рис. 12.14 и рис. 24.7, получаем требуемое значение постоянной времени

сек.

Частота среза ЛАХ

сек^-1.

В соответствии с формулой (6.41) получаем далее

сек,

откуда допустимый период дискретности сек. В случае учета постоянных времени ,иимеем

сек

и допустимый период дискретности сек.

Аналогичные расчеты для случая М = 1,2 дают сек, сек^-1 и сек (при ) исек (при и).

На рис. 24.9, б для иллюстрации построены переходные процессы при воздействии на входе в виде единичной ступенчатой функции. Переходные процессы построены посредством разложения в ряд Лорана z-преобразования выходной величины.

Таким образом, синтез следящих систем методом ЛАХ на основе частотных критериев качества (по точности и знаку устойчивости) оказывается применимым и для систем, содержащих в своем контуре ЦВМ. При этом все расчеты сохраняют свою простоту и наглядность.

Для расчета удобно применять абсолютную псевдочастоту, которая в области низких частот (левее частоты среза) совпадает с обычной угловой частотой ω. При этом в области высоких частот ЛАХ приходится строить по сумме малых постоянных времени. Влияние квантования по времени, вносимое ЦВМ, легко учитывается при построении только ЛАХ, без необходимости рассмотрения фазовой харакетристики.

Для облегчения процесса синтеза можно ввести понятие типовых ЛАХ систем регулирования с ЦВМ. На рис. 24.10, а приведены типовые ЛАХ для статической системы и астатической первого и второго порядков без учета временного запаздывания. На рис. 24.10, б изображены соответствующие им ЛАХ непрерывной части, а в табл. 24.1 приведены передаточные функции.

Синтез непрерывных корректирующих средств. При использовании для коррекции системы непрерывных средств возможно применение корректирующих средств трех основных видов: последовательных, параллельных и обратных связей (рис. 10.1). Наиболее просто производится расчет корректирующих средств последовательного типа. В этом случае дискретная передаточная функция разомкнутой системы должна равняться желаемой передаточной функции

. (6.47)

Здесь представляет собой дискретную передаточную функцию последовательно включенных корректирующего звена с передаточной функциейи непрерывной части. Напомним, что. Расчет последовательных корректирующих средств в дискретных системах не является столь простой задачей, как в непрерывных системах.

Таблица 6.1