1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Основная цель интерполирования – получить быстрый алгоритм вычисления значений f (x) для значений x , не содержащихся в таблице данных.

Пусть на отрезке a ≤ x ≤b заданы точки xi : x0 = a < x1 < x2...xn =b и

соответственно при каждом значении xi заданы значения функции y(xi ),

равные y(x0 )= y0... y(xn )= yn. Требуется построить функцию	f (x), сов-
падающую с функцией y(x) в узлах сетки:
f (xi )= yi , i = 0, 1... n.	(1.1)

Основной вопрос: как выбрать интерполяционную функцию f (x) и как оценить погрешность y(x)− f (x).

Интерполяционные функции, как правило, строятся в виде линейной комбинации некоторых элементарных функций:

n

f (x)= ∑CiΦi (x),

i=0

где Φi (x) – фиксированные линейно независимые функции, Ci ...Cn – не

определенные пока коэффициенты. Из условий (2.1) получим систему n +1 уравнений относительно коэффициентов Ci :

n
∑CiΦi (xi )= yi , i = 0, 1, ...n.	(1.2)

i=0

Предположим, что система функций Φi (x) такова, что при любом выборе узлов a = x0 < x1 <... < xn =b определитель системы отличен от нуля:

	Φ0	(x0 )	Φ1(x0 ) ...	Φn (x0 )
	Φ0	(x1)	Φ1(x1) ...	Φn (x1)	≠ 0 .
			..............
	Φ0	(xn ) Φ1(xn ) ...		Φn (xn )
Тогда по заданным yi		при i = 0, 1, ...,		n однозначно определяются коэф-

фициенты Ci . В качестве Φi (x) обычно выбирают:

3

а) степенные функции Φi (x)= xi (тогда f (x)= Pn (x) – полиномы сте-

пени n );

б) тригонометрические функции; в) рациональные функции.

Если искать интерполирующую функцию в виде полинома:

n

Pn (x)= ∑Ci xxi ,

i=0

то при условии Pn (xi )= yi система линейных уравнений (1.1) относительно неизвестных коэффициентов Ci приводится к виду:

C0 +C1x0 +... +Cn x0n = y0 C0 +C1x1 +... +Cn xin = y1

.........................................

C0 +C1xn +... +Cn xnn = yn.

Определитель этой системы (определитель Вандермонда)

	1	x0	x02	… x0n
=	1	x1	x12	… x1n
	… … …			… …
	1	xn	xn2	… xnn

отличен от нуля. Следовательно, интерполяционный полином существует и единственен.

Интерполирование функции полиномами Лагранжа. В методе Ла-

гранжа предлагается искать интерполяционный полином в виде линейной комбинации:

L(x)= y0l0 (x)+ y1l1 (x)+... + ynln (x).

(1.3)

где li (x) – полиномы степени n такие, что каждый из li (x) обращается в

нуль во всех узлах интерполяции, за исключением i -го, где он должен равняться единице:

1 ,	если	i = k
li (xk )=	если	i ≠ k; i, k = 0,..., n
0 ,

4

Легко видеть, что этим условиям отвечает полином вида

	l0 (x)=	(x − x1 )(x	− x2 )...(x − xn )		.	(1.4)
		(x0 − x1 )(x0	− x2 )...(x0	− xn )
	Действительно, l0 (x0 )=1 при x = x0 , а при x = x1,			x2 , ...,		xn числитель (1.4)
	обращается в нуль. По аналогии с (1.4) имеем

l1	(x)=		(x − x0 )(x − x2 ) ...			(x − xn )	,
			(x1	− x0 )(x1 − x2 ) ...		(x1 − xn )
l2	(x)=		(x − x0 )(x − x1 ) (x − x3 ) ...				(x − xn )		,
			(x2	− x0 )(x2	− x1 ) (x2	− x3 ) ...	(x2 − xn )
li	(x)=		(x − x0 )...		(x − xi−1 )	(x − xi+1 ) ...		(x − xn )		.
			(xi	− x0 ) ...	(xi − xi−1 ) (xi − xi+1 ) ...			(xi − xn )

Подставляя в (1.4), (1.5) в (1.3), получим:

n	n	x − x
L(x)= ∑yi	∏	k	.
i=0	k =0	xi − xk
	k ≠i

(1.5)

(1.6)

Так как полином yi li (x) принимает значение yi в точке xi и равен нулю во всех остальных точках xj при j ≠ i , то L(xi )= yi . Таким образом, выражение (1.6) является интерполяционным полиномом в форме Лагранжа.

5

ЗАДАНИЯ

Найти приближенное значение таблично заданной функции при указанном значении аргумента x0 с помощью интерполяционного многочлена

Лагранжа.
	Таблица 1			Таблица 2			Таблица 3
	x	y		x	y		x	y
	0,05	0,050042		0,43	1,63597		0,02	1,02316
	0,10	0,100335		0,48	1,73234		0,08	1,09590
	0,17	0,171657		0,55	1,87686		0,12	1,14725
	0,25	0,255342		0,62	2,03345		0,17	1,21483
	0,30	0,309336		0,70	2,22846		0,23	1,30120
	0,36	0,376403		0,75	2,35973		0,30	1,40976
	x0=0,263			x0=0,702			x0=0,102
	Таблица 4			Таблица 5			Таблица 6
	x	y		x	y		x	y
	0,35	2,73951		0,41	2,57418		0,68	0,80866
	0,41	2,30080		0,46	2,32513		0,73	0,89492
	0,47	1,96864		0,52	2,09336		0,80	1,02964
	0,51	1,78776		0,60	1,86203		0,88	1,20966
	0,56	1,59502		0,65	1,74926		0,93	1,34087
	0,64	1,34310		0,72	1,62098		0,99	1,52368
	x0=0,526			x0=0,616			x0=0,896
	Таблица 7			Таблица 8			Таблица 9
	x	y		x	y		x	y
	0,11	9,05421		1,375	5,04192		0,115	8,65729
	0,15	6,61659		1,380	5,17744		0,120	8,29329
	0,21	4,69170		1,385	5,32016		0,125	7,95829
	0,29	3,35106		1,390	5,47069		0,130	7,64893
	0,35	2,73951		1,395	5,62968		0,135	7,36235
	0,40	2,36522		1,400	5,79788		0,140	7,09613
	x0=0,314			x0=1,375			x0=0,1264

6

Таблица 10			Таблица 11			Таблица 12
x	y		x	y		x	y
0,150	6,61659		0,180	5,61543		0,210	4,83170
0,155	6,39989		0,185	5,46693		0,215	4,72261
0,160	6,19658		0,190	5,32634		0,220	4,61855
0,165	6,00551		0,195	5,19304		0,225	4,51919
0,170	5,82558		0,200	5,06649		0,230	4,42422
0,175	5,65583		0,205	4,94619		0,235	4,33337
x0=0,1521			x0=0,1838			x0=0,2121
Таблица 13			Таблица 14			Таблица 15
x	y		x	y		x	y
1,415	0,888551		0,101	1,26183		0,314	0,309017
1,420	0,889599		0,106	1,27644		0.460	0.444166
1,425	0,890637		0,111	1,29122		0.628	0.587785
1,430	0,891667		0,116	1,30617		0.942	0.809017
1,435	0,892687		0,121	1,32130		1.068	0.876307
1,440	0,893698		0,126	1,32660		1.225	0.940881
x0=1,4179			x0=0,1157			x0=0.785
Таблица 16			Таблица 17			Таблица 18
x	y		x	y		x	y
0,211	-1.555897		0.112	8.928571		0,214	21.835968
0.483	-0.727739		0.481	2.079002		0.460	4.725898
0.607	-0.499226		0.683	1.464129		0.676	2.188299
0.838	-0.176737		0.841	1.189061		0.841	1.413865
1.060	0.058269		0.956	1.046025		0.956	0.876307
1,440	0.364643		1.031	0.969932		1.031	0.940768
x0=1,4179			x0=0,553			x0=0.788

7