§4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.

Для двух прямых в пространстве возможны следующие варианты их взаимного расположения:

а) прямые совпадают;

б) прямые параллельны;

в) прямые пересекаются;

г) прямые скрещиваются.

Рассмотрим как зная уравнения прямых определить их взаимное расположение. Пусть прямые изаданы своими каноническими уравнениями

.

Тогда прямая проходит через точкуи имеет направляющий вектор, а прямаяпроходит через точкуи имеет направляющий вектор. Если прямые совпадают или параллельны, то векторыикомпланарны, то есть существует числотакое, что верно равенство

.

При этом, если прямые совпадают, то тройка чисел , являющихся координатами точки, будет решением уравнения прямой. Если же прямые параллельны, то тройка чиселне будет решением уравнения прямой, то есть при подстановке этих чисел в уравнение прямойне будут получены верные числовые равенства.

Рис. .35

Если направляющие векторы прямых ине коллинеарны, то прямые либо пересекаются в одной точке, либо скрещиваются.

Если прямые пересекаются в одной точке, то либо точки исовпадают, то есть имеют равные координаты, либо пересекаются в другой точке и тогда точкиилежат на разных прямых. В последнем случае векторыилежат в одной плоскости (смотри Рис. 18), то есть компланарны. Условием же компланарнасти является равенство нулю смешенного произведения этих векторов. Поэтому, если

,

то прямые пересекаются в одной точке. Если же смешанное произведение не равно нулю, то прямые скрещиваются.

Рассмотрим пример.

Пример.

Определить взаимное расположение прямых

.

Направляющие векторы прямых ине коллинеарны, так как если бы они были коллинеарны, то существовало бы числотакое, что справедливо векторное равенство

.

Или, в координатах

.

Но, как легко видеть, эта система не совместна. Следовательно, прямые либо пересекаются в одной точке, либо скрещиваются. Первая прямая проходит через точку , вторая через точку, причем эти точки не совпадают. Найдем смешанное произведение векторови

.

Так как смешанное произведение не равно нулю, то прямые скрещиваются.

Перейдем к рассмотрению угла между прямыми в пространстве. Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. При этом необходимо учесть, что в зависимости от выбора направлений направляющих векторов угол между ними может быть как острым, так и тупым (или прямым). Так, если в качестве направляющих векторов (см. Рис. 18) выбрать и, то угол между ними будет острым. Этот угол равен острому углумежду прямыми. Если же в качестве направляющих векторов выбратьи, то угол между ними равен

Рис. 36.

тупому углу между прямыми. Косинус угла между направляющими векторами можно определить через скалярное произведение по формуле

.

При этом , если , то получаем, что уголострый угол между прямыми. Если же, то уголявляется тупым углом между прямыми. Однако, острый и тупой угол в сумме составляют 180^o. Поэтому, найдя один из них, легко можно найти и другой. Если же воспользоваться формулой

,

то всегда будем получать острый угол между прямыми (или прямой). Рассмотрим пример.

Пример.

Найти угол между прямыми

.

Направляющие векторы прямых равны и. Следовательно, воспользовавшись формулой для нахождения косинуса острого угла, получим

.

Тогда острый угол между прямыми равен