§3. Взаимное расположение прямых на плоскости

Из элементарной геометрии известно, что две прямые могут совпадать, быть параллельными или пересекаться в одной точке. Допустим, что уравнения прямых иимеют вид

,

где и- векторы нормалей прямых. Тогда, если прямые совпадают или параллельны, то их нормали коллинеарны и значит существует числотакое, что выполняется равенство

.

При этом, из элементарной геометрии известно, что если хотя бы одна точка, лежащая на одной из прямых, лежит и на другой прямой, то прямые совпадают. Если же ни одна точка, лежащая на одной из прямых, не лежит на другой прямой, то прямые параллельны. Рассмотрим примеры.

Пример.

Показать, что прямые, имеющие уравнения

и

совпадают.

Решение.

Векторы нормалей прямых равны , . Отсюда получаем. Следовательно, нормали колиинеарны, а прямые либо параллельны, либо совпадают. Непосредственной подстановкой в уравнение легко убедиться, что пара чиселявляется решением обоих уравнений. Значит прямые совпадают так как имеют общую точку.

Пример.

Показать, что прямые, имеющие уравнения

и

параллельны.

Решение.

Векторы нормалей прямых равны и. Отсюда следует, чтои значит нормали коллинеарны. Следовательно, прямые либо совпадают, либо параллельны. Так как пара чиселявляется решением первого уравнения и не является решением второго, то прямые параллельны.

Если нормали прямых не коллинеарны, то прямые пересекаются в одной точке. Точку пересечения прямых в этом случае можно найти решив систему уравнений

.

Если пара чисел есть решение системы, то точкаесть точка пересечения прямых.

Пример.

Найти точку пересечения прямых, заданных уравнениями

и

.

Решение.

Решая систему уравнений

,

находим, что пара чисел является решением системы. Следовательно, точкаесть точка пересечения прямых.

Если прямые пересекаются, то можно поставить вопрос об угле под которым они пересекаются. При этом, если прямые пересекаются не под прямым углом, то можно говорить об остром и тупом угле между прямыми. Как видно

Рис. 39.

из рисунка 39, если векторы нормалей к прямым иобразуют острый угол, то угол между ними равен острому углу между прямыми. Если же эти векторы образуют тупой угол, то угол между ними равен тупому углу между прямыми. Если прямые заданы уравнениями, то из уравнений можно найти координаты векторови. Тогда косинус угламежду этими векторами можно найти по формуле

.

При этом, если , то угол между векторами равен

острому углу между прямыми. Если же, то угол между векторами равен тупому углу между прямыми. Зная острый уголмежду прямыми можно найти тупой уголмежду прямыми и наоборот, так как углыисвязаны соотношением.

Если задаться целью найти острый угол между прямыми, то для этого можно воспользоваться формулой

.

В самом деле, если векторы иобразуют острый угол, то. В этом случае

.

Если же векторы иобразуют тупой гол, то векторыиобразуют острый угол, равный острому углу между прямыми. Тогда

.

Рассмотрим пример на нахождение угла между прямыми.

Пример.

Найти острый угол между прямыми

и

.

Решение.

Векторы нормалей к прямым иравны

.

Пусть - острый угол между прямыми. Тогда

.

Отсюда

.