Лабораторная работа
Исследование устойчивости линейных систем с использованием алгебраических методов Цель работы:
1. Изучить алгебраические методы исследования устойчивости линейных систем.
2. Приобрести практические навыки в решении задач синтеза систем с использованием ППП Matlab.
Учебные вопросы
1.Определение устойчивости линейных систем по расположению корней характеристического уравнения.
2. Определение устойчивости линейных одномерных и многомерныхсистем с использованием критерия Рауса-Гурвица.
Краткие сведения из теории
Понятие об устойчивости
Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.
На рис. 1 показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (рис. 1,а) и устойчивой (рис.1,б) системах. Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. Этот процесс может быть апериодическим (кривая 1 на рис. 1,а) или колебательным (кривая 2 на рис. 1,а).
Рисунок 1. - К понятию устойчивости системы
Апериодический расходящийся процесс может, например, возникнуть в САУ, если в ее управляющем устройстве ошибочно переключить полярность воздействия на объект, в результате чего управляющее устройство будет осуществлять не отрицательную, а положительную обратную связь вокруг объекта. При этом управляющее устройство будет не устранять отклонение Х, а действовать в обратном направлении, вызывая лавинообразное его изменение.
Колебательный расходящийся процесс, может наступить, при неограниченном увеличении коэффициента передачи системы, вследствие чего, управляющее устройство станет излишне энергично воздействовать на объект, стремясь ликвидировать первоначально возникшие отклонения Х. В этом случае при каждом очередном возврате Х к нулю под действием управляющего устройства кривая Х будет пересекать ось абсцисс все с большей скоростью и процесс в целом будет расходящимся.
В случае устойчивой системы (рис. 1,б) переходный процесс, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает апериодически (кривая 1) или колебательно (кривая 2), и система вновь возвращается в установившееся состояние.
Таким образом, устойчивую систему можно определить как систему, переходные процессы в которой являются затухающими.
Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы. Однако система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействии, когда установившийся режим вообще отсутствует. С учетом этого дадим следующее, более общее определение устойчивости: система устойчива, если ее выходная величина остается ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.
Рассмотрим, от чего зависит устойчивость системы, чем она определяется. Обратимся для этого к уравнению динамики системы
,
где
Освободившись от дробей в числителе и знаменателе передаточной функции, можно представить ее так: и соответственно перейти к обычной форме записи в виде дифференциального уравнения
(1)
Решение этого линейного неоднородного уравнения в общем виде состоит из двух составляющих: x(t)= xуст(t) + xп(t). (2)
Здесь xуст(t) - частное решение неоднородного уравнения (1) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса;
xп(t) - общее решение однородного уравнения D(p)x=0, описывающее переходный процесс в системе, вызванный данным возмущением.
Система будет устойчива, если переходные процессы xп(t), вызванные возмущениями, будут затухающими, то есть если с течением времени xп(t) будет стремиться к нулю.
Решение xп(t) однородного дифференциального уравнения имеет вид:
(3)
Здесь Сi - постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями и возмущением, i - корни характеристического уравнения
D() = 0, (4)
где полином D(), называемый характеристическим, есть левая часть уравнения (1) динамики системы после замены оператора дифференцирования p на комплексную переменную .
Полином D() является знаменателем передаточной функции Wз(p) системы после освобождения в нем от дроби и замены р на , т. е.
D()=R()+Q(), (5)
где R() и Q() - числитель и знаменатель передаточной функции W(р) разомкнутой системы при замене р на .
Таким образом, переходный процесс xп(t) представляет собой сумму составляющих, число которых определяется числом корней характеристического уравнения (4), то есть порядком уравнения системы.
В общем случае корни являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней:
,
где , может быть положительной или отрицательной величиной. Каждая такая пара корней дает в выражении (3) составляющую переходного процесса, равную
где Ci и i определяются через Сi, и Ci+1.
Эта составляющая представляет собой синусоиду с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. При этом, если i < 0, эта составляющая будет затухать. Наоборот, при I > 0 получатся расходящиеся колебания. Если I = 0, что соответствует паре мнимых корней, будут незатухающие синусоидальные колебания.
Условием затухания данной составляющей переходного процесса является отрицательность действительной части i соответствующей пары сопряженных корней характеристического уравнения.
В частном случае, когда I = 0, имеем действительный корень I = i. Соответствующая ему составляющая переходного процесса Ci eit представляет собой экспоненту, которая будет затухать или увеличиваться в зависимости от знака i.
Таким образом, в общем случае переходный процесс в системе состоит из колебательных и апериодических составляющих. Каждая колебательная составляющая обязана своим появлением паре комплексных сопряжении корней, а каждая апериодическая - действительному корню. Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы, то есть всех полюсов (корней знаменателя) передаточной функции системы.
Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой. Наличие пары сопряженных чисто мнимых корней i,i+1=±ji даст незатухающую гармоническую составляющую переходного процесса. При этом в системе установятся незатухающие колебания с частотой, равной i. Этот случай является граничным между устойчивостью и неустойчивостью - система при этом находится на границе устойчивости. Такая система, очевидно, также неработоспособна, как и неустойчивая.
Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости (рис. 2), то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т. е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, все они должны быть левыми.
Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.
Рисунок 2. – Расположение корней характеристического уравнения САУ