ФОСМС2015fokin_12345

Непрерывный ряд Фурье периодической последовательности дельта импульсов

Последовательность дельта импульсов определяется выражением

	= ∞=−∞ −		(E1.1.7)
=	+∞	при = 0	(E1.1.7.1)
	0 при остальных
	−∞+∞ = 1		(E1.1.7.2)

По ф. (1.1.1b) оценим коэффициенты ряда Фурье

1.1.1					1.1.7				1.1.7.2
=				− 0	=		∞	−	− 0 = 1	(E.1.1.8)
							=−∞

По ф. (1.1.1a) можем записать ряд Фурье последовательности дельта импульсов

1.1.1	1	∞	0	1.1.8	1	∞	0
=				=				(E1.1.9)
		=−∞				=−∞

61

Непрерывный ряд Фурье последовательности импульсов при скважности T/D=2

62

Непрерывный ряд Фурье последовательности импульсов при скважности T/D=3

63

Непрерывный ряд Фурье последовательности импульсов при скважности T/D=4

64

Функция вычисления непрерывного ряда Фурье периодического сигнала

Функция CTFS вычисляет коэффициенты непрерывного ряда Фурье по ф. (1.1.1b)

, = 0, … ,

и сам ряд Фурье

периодического сигнала по ф. (1.1.1a) с конечным числом коэффициентов

1.1.1

1

0 = 1

0

=

=

+ 2

при

(1.1.2)

=−

0

=1

−

и рисует графики исходного сигнала

и его ряда Фурье

function [Xk,kk,xht,tt]=CTFS(x,ng,str) global T D N

kk=[-N:N]; w0=2*pi/T; tt=[-2*T:2*T/100:2*T]; x=str2func(x);

xejkwt=@(t,k,w0)(x(t).*exp(-j*k*w0*t));
tol=0.001;
for k=0:N
X(k+1)=quadl(xejkwt,-T/2,T/2,tol,[],k,w0);		% (1.1.1b)
end
Xk =[conj(X(N+1:-1:2)) X];	% to make the spectrum symmetric
X_mag= abs(Xk);	% Xph= angle(Xk);

k=1:N; jkw0t=j*k.'*w0*tt; xht=(2*real(X(k+1)*exp(jkw0t))+X(1))/T; % (1.1.2) xt=feval(x,tt); % original signal subplot(ng); plot(tt,xt,'k-', tt,xht,'b-','linewidth',2);

str1=sprintf('Oscillograms x(t): D=%d, T=%d, N=%d ', D,T,N); title([str; str1]); legend('x(t)','CTFS(x(t))'); grid on; axis tight;

subplot(ng+1); stem(kk,X_mag,'LineWidth',2);	grid on; axis tight;
str2=sprintf('Spectrograms |X(k)|: D=%d, T=%d, N=%d', D,T,N);
title([str; str2]);	65

Функции осциллограмм и спектрограмм прямоугольных и треугольных импульсов

function x=rd_wave(t) global T D

tmp=min(abs(mod(t,T)),abs(mod(-t,T))); x=(tmp<=D/2);

function	x=rd_wave_spectrum
global T	D N
w0=2*pi/T; k1=linspace(-N,N);
RD1=sinc(k1*w0*D/2/pi);		% Spectrum
hold on;	plot(k1,abs(RD1),'r', 'linewidth',2);	% Envelope for the spectrum
legend('|X(k)|','sinc(k*w0*D/2/pi)');
function	x=tri_wave(t)
global T	D
tmpp=abs(mod(t,T)); tmpn=abs(mod(-t,T));
tmp= min(tmpp,tmpn);
x=(tmp<=D).*(1-tmp/D);
function	x=tri_wave_spectrum
global T	D N
w0=2*pi/T; k1=linspace(-N,N);
Tri=sinc(k1*w0*D/2/pi); Tri1=Tri.*Tri;		% Spectrum
hold on,	plot(k1,Tri1,'r', 'linewidth',2);	% Envelope for the spectrum

legend('|X(k)|','sinc(k*w0*D/2/pi)^2');

function x=delta_wave(t) global T D

tol=1e3; tmp=min(abs(mod(t,T)),abs(mod(-t,T))); x=tol*(tmp<=D/tol);

%dc01e01.m plots the CTFS spectra of rectangular,triangular and delta waves clear; clf;

global T D N D=1; T=4; N=10;

[Xk,kk,xht,tt]=CTFS('rd_wave',321, 'Rectangular wave and CTFS spectrum '); rd_wave_spectrum;

CTFS('tri_wave',323, 'Triangular wave and CTFS spectrum '); tri_wave_spectrum;

CTFS('delta_wave',325, 'Delta wave and its CTFS spectrum ');

66

Особенности непрерывного ряда Фурье последовательности периодических импульсов

Спектральный метод анализа сигналов основан на преобразованиях Фурье и состоит в замене сложной функции времени , описывающей сигнал, суммой простых гармонических сигналов, образующих частотный спектр этого сигнала.

Совокупность величин называют комплексным спектром. Спектр периодического сигнала –

линейчатый. Каждый периодический сигнал имеет вполне определенные амплитудный и фазовый arg спектры. Периодический сигнал удовлетворяет условию = + .

Сумма ряда (1.1.1a) является бесконечной, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник

настолько малы, что ими можно пренебречь и практически реальный периодический сигнал представляется функцией с ограниченным спектром . Интервал частот, соответствующий ограниченному спектру, называется шириной спектра.

Если функция , описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (1.1.1a) будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если - нечетная функция, то сумма ряда (1.1.1a) будет содержать только синусоидальные составляющие.

Состав спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов зависит от величины отношения периода последовательности к длительности импульса , называемого

скважностью импульсов. В спектре будут отсутствовать гармоники с номерами кратными скважности импульсов. Скважность импульсов равна = .

Разнос между соседними гармониками равен 0 = 2 .

Для периодической последовательности, скважность которой равна = 2, в спектре отсутствуют 2, 4, 6 ,8 и т. д. гармоники. Для последовательности с = 3, в спектре отсутствуют 3, 6 и т. д. гармоники. Для последовательности с = 4, в спектре отсутствуют 4, 8 и т. д. гармоники. В приведенных спектрах интервал между спектральными линиями равен величине обратной

периоду последовательности. Точки на оси частот, в которых спектр равен нулю, соответствуют

величине, обратной длительности импульсов периодических последовательностей.

67

ччч

ччч

68