Задача 5.1.3
На рельсах стоит платформа с орудием обшей массой 15 т. Из орудия производится выстрел вдоль рельсов снарядом, вес которого 1000 Н, а начальная скорость 500 м/с. На какое расстояние откатится платформа при выстреле, если коэффициент трения качения колес платформы о рельсы равен 0,002.
На рельсах стоит платформа с орудием обшей массой 15 т. Из орудия производится выстрел вдоль рельсов снарядом, вес которого 1000 Н, а начальная скорость 500 м/с. На какое расстояние откатится платформа при выстреле, если коэффициент трения качения колёс платформы о рельсы равен 0.002.
Замечание к тексту задачи: В условии задачи ошибка, она не может быть решена! Если задан коэффициент трения качения, то 1) он должен иметь размерность длины, а это не указано; 2) необходимо знать радиус колёс платформы, иначе её перемещение после выстрела не найти. Чтоб задачу можно было решить, её условие изменено: трение качения изменено на трение скольжения (см. Волькенштейн, задачи 2.63 и 2.53).
Условие задачи теперь выглядит так:
Дано: ,,,.
Решение:
Масса снаряда связана с его весом следующим соотношением: , (1)
где – ускорение свободного падения.
В исходном состоянии импульс системы платформа с орудием + снаряд равна 0.
Обозначим скорость движения платформы с орудием сразу после выстрела как v2, направления движения платформы противоположно направлению выстрела.
Предполагаем, что выстрел производился в горизонтальном направлении.
Согласно закону сохранения импульса суммарный импульс системы в момент после выстрела должен остаться нулевым, то есть должно выполняться: . (2)
Откуда находим скорость платформы в момент после выстрела: . (3)
Во время движения платформы после выстрела на неё действуют сила тяжести FT, сила реакции опоры N и сила трения FТР. Причём: ,. (4)
Запишем уравнение движение платформы после выстрела: . (5)
Интегрируем дифференциальное уравнение (5), учитывая начальное условие для скорости в момент начала движения, и находим закон изменения скорости платформы:
. (6)
В момент остановки движения платформы её скорость становится нулевой. Поэтому приравниваем (6) к нулю и находим время движения платформы t2:
. (7)
Интегрируем дифференциальное уравнение (6) ещё раз, учитывая начальные условия для координаты платформы (принимаем её в момент начала движения нулевой):
. (8)
Подставляем (3), (4) и (7) в (8) и находим расстояние, на которое откатится платформа при выстреле:
.
Поверка размерностей:
.
Задача 5.1.4
Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью 2,5 м/с, если его масса с велосипедом равна 78 кг, а на оба колеса приходится вес равный 29,4 Н. Колеса велосипеда считать обручами.
Дано: ,,.
Решение:
Кинетическая энергия велосипедиста складывается из кинетической энергии его поступательного движения и кинетической энергии вращения колёсEК.
Суммарная масса колёс велосипеда равна , (1)
где – ускорение свободного падения.
В общем случае, у велосипеда колёса разные. Для n-ого колеса (n=1, 2) обозначим: радиусы как Rn, а его массы как mn.
Поступательная скорость центра каждого колеса одинакова.
А скорость вращения n-ого колеса зависит от его радиуса и равна: . (2)
Так как по условию задачи колёса являются обручами, то момент инерции n-ого колеса равен:
. (3)
Кинетическая энергия вращения n-ого колеса равна, учитывая (2) и (3):
. (4)
Суммарная кинетическая энергия вращения обоих колёс равна, учитывая (1):
. (5)
Таким образом, кинетическая энергия велосипедиста равна:
.
Поверка размерностей:
Ответ: Е 253 Дж