Задача 5.1.5
Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых x=A·sinωt , где А =5 см, ω=2 с-1. В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией равной 10-4 Дж, на нее действовала возвращающая сила 5·10-3Н. Найти этот момент времени и соответствующую ему фазу колебаний.
Дано: А = 5 см = 510-2 м, ω = 2 с-1, ,.
Решение:
Дифференцируя заданное уравнение колебаний, находим выражения для скорости и ускорения точки:
, (1)
. (2)
Если обозначит массу точки как m, то закон изменения возвращающей силы, с учётом (2), будет выглядеть так:
. (3)
Закон изменения потенциальной энергии будет выглядеть так:
. (4)
С учётом (3) выражение (4) можно записать так:
. (5)
Из (5) находим момент времени, когда возвращающая сила и потенциальная энергия достигают заданные значения (учитываем, что величина синуса отрицательна при аргументах в интервале от до 2):
.
Соответствующая фаза: .
Поверка размерностей:
;
или .
Задача 5.1.6
Водород в количестве 0,5 моль находится при температуре 300 К. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию всех молекул этого газа.
Дано:
Найти:
Решение:
Средняя кинетическая энергия вращательного движения одной молекулы равна где- постоянная Больцмана,- число вращательных степеней свободы молекулы.
Для жесткой двухатомной молекулы , следовательно,
Суммарная кинетическая энергия всех молекул газа равна гдеN – число молекул газа, i – общее число степеней свободы молекулы.
Учитывая, что число молекул где- постоянная Авогадро, а число степеней свободыi = 5 (двухатомный газ), получаем:
…
…
Поверка размерностей: ,
.
Ответ:
Задача 5.1.7
10 г кислорода, находящегося при 0° С и давлении 105 Па, сжимаются до объема 1,4 л. Найти давление и температуру кислорода после сжатия, если: а) кислород сжимается изотермически, б) кислород сжимается адиабатически. Определить работу сжатия в обоих случаях.
Дано:
m = 10 г
Найти:
Решение:
Начальная абсолютная температура газа
А) Изотермическое сжатие.
В изотермическом процессе
Давление получим из уравнения состояния идеального газа:
Молярная масса кислорода
Подставляя значения, получаем
Работа, совершаемая газом, определяется выражением
Выражая из уравнения состояния давление, имеем:
Подставляя, получаем:
Учитывая, что получаем
Следовательно, над газом совершили работу
Б) Адиабатное сжатие.
Начальный объем газа равен
Уравнение адиабатного процесса имеет вид гдеi – число степеней свободы молекул газа (для кислорода (двухатомный газ) число степеней свободы молекулы i = 5).
Соответственно,
Конечное давление равно, соответственно,
Согласно первому началу термодинамики где- приращение внутренней энергии газа,А – работа, совершаемая газом.
В адиабатном процессе Q = 0, следовательно,
Следовательно, над газом совершили работу
А)
…
…
…
Б)
…
…
…
…
…
Поверка размерностей:
;
;
;
;
.
Ответ: а) б)