Класична модель розрахунку густини струму

Із класичної точки зору, густина струму лінійно залежить від концентрації носіїв струмуn, величини заряду e та середньої швидкості направленого руху (дрейфова швидкість) і дорівнює

.

Дійсно, нехай у провіднику під дією напруженості електричного поля протікає струм І (див.Мал.5). Через поперечний переріз провідника (перпендикулярний до ) за час dt пройдуть всі електрони, які знаходяться на відстані dL=dt від нього, тобто всі електрони, що знаходяться в об'ємі циліндра .

Якщо концентрація електронів у провідникуn, то число цих електронів буде

,

а заряд, який вони перенесуть

.

Сила струму при цьому дорівнює

,

а густина струму

,

що й треба було довести.

Зауважимо, що густина носіїв струму n у провідниках є сталою величиною.

Закон Ома у диференціальній формі

Класична модель електропровідності металів виходить із того, що під дією сили електричного поля , заряд q із масою m у проміжках між співударяннями з центрами розсіювання (вузли кристалічної решітки провідника) рухається рівноприскорено з прискоренням. Приймається також, що час рухуміж співударяннями електронів з вузлами решітки визначається їх довжиною вільного пробігуі середньою тепловою швидкістю V_т

 = . (1)

За цей час заряд набуває максимальну швидкість

. (2)

При цьому середня швидкість напрямленого руху носіїв струму приймається рівною середній швидкості рівноприскореного руху і вона дорівнює середній арифметичній від початкової V₀ і кінцевої швидкості V (у нашому випадку V₀ = 0)

. (3)

З іншого боку, експериментально визначено, що дрейфова швидкість пропорційна величині напруженості поля в провіднику

, (4)

де коефіцієнт пропорційності u називається рухливістю носіїв струму. Підставивши в (4) значення V_д, знайдемо, що

. (5)

Тепер вираз j=neV можна записати у вигляді

, (6)

де коефіцієнт  називається провідністю і він дорівнює

. (7)

Провідність  чисельно дорівнює густині струму при одиничній напруженості поля у провіднику, а вираз (6) має назву диференціального закону Ома.

Визначення провідності , є змістом класичної теорії електропровідності провідників.

Закон Ома в інтегральній формі

З диференціального закону Ома можна безпосередньо одержати інтегральний закон. Для цього скалярно помножимо ліву та праву частини виразу на елементарну довжину провідника (переміщення носія струму), утворивши співвідношення

. (1)

В (1) jS_n=I є величина сили струму. Проінтегруємо (1) по ділянці кола L з точки 1 до точки 2

. (2)

В (2) вираз

(3)

є опір провідника, а  питомий опір. Інтеграл у правій частині (2) є напруга U на кінцях ділянки

. (4)

Остаточно з (2)-(4) маємо вираз для закону Ома в інтегральній формі

, (5)

який він установив експериментально.

§ 4. Cтороннi сили, ерс

При сполученні тіл із різними потенціалами провідником у ньому за рахунок кулонівських сил виникає спадний у часі струм, що приводить до вирівнювання потенціалів і подальшого припинення струм у провіднику. Для підтримки в електричному колі струму певної величини, необхідно щоб у ньому, крім кулонівських, існували б ще й інші сили, що підтримують певну різницю потенціалів. Ці сили називаються сторонніми і їх призначенням є розділ різнойменних зарядів, для створення електричного поля. Усередині джерела сторонніх сил виконується робота по перенесенню зарядів проти сил електростатичного поля. Ділянка кола, на якій існують сторонні сили називається неоднорідною. На цій ділянці на пробний заряддіють сили

, (1)

де  напруженість кулонівських сил,  напруженість поля сторонніх сил. Робота кулонівських та сторонніх сил на ділянці електричного кола 12 запишеться у вигляді

. (2)

Відношення А/q називається напругою U на ділянці кола 12 із джерелом сторонніх сил

. (3)

Перший інтеграл є різниця потенціалів

, (4)

а другий інтеграл визначає електрорушійну силу (ЕРС) джерела струму

, (5)

яка чисельно дорівнює роботі сторонніх сил по перенесенню одиничного заряду на ділянці 12 електричного кола. Таким чином напругу на неоднорідній ділянці кола можна записати у вигляді

. (6)

В загальному випадку, під напруженістю поля завжди слід розуміти відношення , де ввраховувані сторонні сили. Наприклад, у диференціальному законі Ома треба писати

. (7)

В (7) можна утворити таке співвідношення

, (8)

де  елемент струму,  поперечний переріз провідника. Якщо у (8) провести інтегрування лівої і правої частин по ділянці кола 1  2, то в лівій частині виразу одержимо опір

ділянки кола помножений на струм І=(j S_n), а в правій частині  напругу (6), тобто

.

Одержана формула виражає закон Ома для неоднорідної ділянки кола  ділянки, яка містить джерело сторонніх сил.

Джерело сторонніх силграфічно представляється так

Де знак "-" означає від'ємний полюс, а знак "+"  додатній полюс.