1 Лабораторна робота № 1 тема: Методи розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь
Розв’язання рівнянь – алгебраїчних і трансцендентних – являє собою одну з істотних задач прикладного аналізу, потреба в якій виникає в найрізноманітніших розділах фізики, техніки і природознавства.
Задача визначення кореня рівняння з одним невідомим
ƒ(x) = 0 , (1.1)
де ƒ(x) – безперервна функція, складається з двох етапів:
1) відділення кореня, тобто визначення числового проміжку, у якому міститься один корінь рівняння;
2) уточнення значення кореня шляхом побудови послідовності
xк = φ(xк-1) , к = 1, 2, 3, ...
на основі відповідного методу.
Для уточнення значення кореня існують різні ітераційні методи.
1.1 Відділення числового проміжку, у якому міститься один корінь рівняння
1.1.1 Відділення кореня графічно (перший спосіб)
Якщо рівняння (1.1) зручно представити у вигляді
g (х) – h (х) , (1.2)
то абсцису х0 точки перетинання графіківу = g(х)іу = h(х) можна знайти по кресленню.
Величину х0визначити з достатньою точністю графічно не можливо. Тому варто вибрати такий числовий проміжок[a ; b] для якого свідомо виконується нерівністьa ≤ х0 ≤ b .
Різні знаки функції при х =а іх = b
ƒ(а) * ƒ(b)≤ 0 (1.3)
свідчать про наявність кореня в проміжку [a ; b] .
1.1.2 Другий спосіб відділення кореня
Цей спосіб містить звичайне табулювання функції у = ƒ(х) на інтервалі існування функції, при цьому ступінь зміни аргументу підбирається значимим. І знову, різні знаки функції при х =а і х = b , тобто ƒ(а) * ƒ(b) ≤ 0 свідчать про наявність кореня в проміжку [a ; b].
1.2 Уточнення значення кореня рівняння ƒ(x) = 0
1.2.1 Метод половинного ділення (метод бісекцій)
Умова застосовності методу половинного ділення припускає безперервність функції ƒ(х) на проміжку [a ; b].
Уточнення значення кореня проводиться шляхом побудови послідовності, що сходиться
xк =(ак + bк) / 2 , к = 1, 2, (1.4)
За а1,b1 приймаємо відповідноа,b.
Припускаючи, що наближення xn (деn – фіксоване значенняк) відомо, для знаходженняxn+1 вибираємо наступні значенняan+1 , bn+1 в залежності від знака добуткуf(an ) * f(xn ) .
Якщо f(an ) * f(xn )< 0 , тоbn+1 вважаємо рівним знайденому значеннюxnіan+1рівнимиan, інакшеbn+1 =bn,an+1=xn.
На рис. 1.1 зображена поведінка послідовних наближень у випадку ƒ(а)< 0 , ƒ(b) > 0 .
Рисунок 1.1 – Графічне зображення методу бісекцій
Рішення рівняння (1.1) вважається знайденим з точністю Е, якщо виконається умова
| хк + 1–хк | <Е (1.5)
1.2.2 Метод хорд (метод пропорційних чисел)
Умови збіжності методу припускають, що ƒ'(x) і ƒ''(x) зберігають знак на проміжку[a ; b].
Побудова послідовності, що сходиться, проводиться по формулі
хк = хк – 1 - ƒ(хк – 1) * (с - хк – 1) / (ƒ(с) - ƒ(хк – 1)) ,к = 1, 2, ... (1.6)
де с – нерухомий кінець проміжку.
Якщо ƒ(а) * ƒ''(а)>0 , то за нерухомий кінець приймаєтьсяа, тодіх0=b.
У противному випадку, нерухомий кінець b, а як нульове наближення вибираєтьсяа.
На рис. 1.2 зображене поводження послідовних наближень у випадках:
а) ƒ(а)>0 , ƒ''(а)>0 ; б) ƒ(а)<0 , ƒ''(а)<0 .
Рисунок 1.2 – Графічне зображення методу хорд (послідовні наближення)
Процес наближення відбувається до виконання умови (1.5) , або доки ƒ(хк) |≤Е (1.7)