- •Основы теории автоматического управления
- •Содержание
- •Предисловие
- •Введение
- •0 Общие сведения о системах управления
- •Принцип действия и функциональная схема сау.
- •0.1 Классификация сау
- •0.1.1 Классификация сау по принципу действия
- •0.1.2 Классификация сау по характеру изменения выходной переменной
- •0.1.3 Классификация сау по математическому описанию
- •1 Линейные системы управления
- •1.1 Линеаризация нелинейных уравнений
- •1.2 Две формы записи линейных дифференциальных уравнений
- •1.3 Классификация динамических звеньев
- •1.4 Динамические характеристики звеньев
- •1.4.1 Временные динамические характеристики
- •1.4.2 Частотные динамические характеристики
- •1.5 Типы соединения звеньев в сау
- •1.5.1 Последовательное соединение звеньев
- •1.5.2 Параллельное соединение звеньев
- •1.5.3 Встречно-параллельное соединение звеньев
- •1.6 Основные правила преобразования структурных схем
- •1.7 Передаточные функции замкнутых сау
- •1.8 Устойчивость движения непрерывных линейных сау
- •1.8.1 Корневые критерии устойчивости
- •1.8.2 Коэффициентные (алгебраические) критерии устойчивости
- •1.8.2.1 Критерий о необходимых условиях устойчивости
- •1.8.2.2 Критерий Рауса-Гурвица
- •1.8.3 Частотные критерии устойчивости
- •1.8.3.1 Критерий Михайлова
- •1.8.3.2 Критерий Найквиста
- •1.8.3.3 Применение критерия Найквиста к системам с чистым запаздыванием
- •1.8.3.4 Логарифмический критерий Найквиста
- •1.8.4 Построение областей устойчивости сау
- •1.9 Оценка качества регулирования
- •1.9.1 Показатели точности сау
- •1.9.1.1 Типовые регуляторы
- •1.9.1.2 Определение показателей точности сау
- •1.9.2 Определение показателей качества по переходным процессам
- •1.9.3 Определение показателей качества по корням характеристического уравнения
- •1.9.4 Интегральные показатели качества
- •1.9.5 Частотные показатели качества
- •1.10 Методы повышения точности сау
- •1.10.1 Повышение точности за счёт увеличения коэффициента передачи разомкнутой цепи
- •1.10.2 Повышение точности за счёт увеличения степени астатизма
- •1.10.3 Повышение точности за счёт введения в закон управления производной от ошибки или гибкой обратной связи
- •1.10.5 Повышение точности за счет применения неединичных ос
- •2 Цифровые системы управления
- •2.1 Функциональная схема сау и её циклограмма работы
- •2.2 Аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи
- •2.3 Понятие о решётчатых функциях и разностных уравнениях
- •2.4 Z-преобразование (дискретное преобразование Лапласа)
- •2.5 Решение линейных разностных уравнений
- •2.6 Передаточные функции цифровых систем управления
- •2.7 Вычисление дискретной передаточной функции звена или группы звеньев по непрерывной передаточной функции
- •2.8 Системы с экстраполятором нулевого порядка
- •2.9 Передаточные функции замкнутых цифровых сау
- •2.10 Передаточные функции срп (регулятора). Формула Тастина
- •2.11 Частотные характеристики цифровых систем
- •2.12 Теорема Котельникова
- •2.13 Устойчивость движения цифровых сау
- •2.14 Порядок синтеза цифровых систем управления
- •3 Нелинейные системы автоматического управления
- •3.1 Основные нелинейные звенья
- •3.2 Структурные преобразования нелинейных сау
- •Статические характеристики нелинейных систем.
- •3.3 Понятие о фазовом пространстве и фазовых траекториях
- •3.4 Особенности динамики нелинейных систем
- •3.5 Исследование устойчивости методами Ляпунова
- •3.5.1 Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости
- •3.5.2 Теорема Барбашина-Красовского
- •3.6 Исследование устойчивости методом фазовой плоскости
- •3.7 Критерий абсолютной устойчивости в.М. Пóпова
- •3.8 Гармоническая линеаризация
- •Идея гармонической линеаризации
- •Методика исследования предельных циклов с помощью метода гармбаланса
- •4 Элементы современной теории управления
- •4.1 Модальное управление
- •4.2 Запись дифференциальных уравнений в пространстве состояний
- •4.3 Описание работы двигателя постоянного тока (дпт) независимого возбуждения (нв) в пространстве состояний
- •4.4 Модальное управление в пространстве состояний
- •4.5 Динамические фильтры
- •4.6 Система управления с динамическими фильтрами
- •4.7 Редуцированные наблюдатели
- •4.8 Наблюдение объектов, подверженных действию возмущений и погрешностей датчиков (оценка внешних возмущений и погрешностей датчиков)
- •4.9 Использование наблюдателей для построения робастных систем управления
- •4.10 Асимптотическое дифференцирование с помощью наблюдателей
- •4.11 Заключение раздела 4
- •Литература
- •Приложение а Свойства комплексных функций
1.9.2 Определение показателей качества по переходным процессам
Это прямой метод определения показателей качества. Рассматривается система со структурной схемой, приведенной к единичной обратной связи, представленная на рис. 1.
Рисунок 1.9.2.1 – Структурная схема
Рассмотрим переходный процесс, возникающий на выходе системы при подаче на её вход ступенчатого воздействия (рис. 2).
Рисунок 1.9.2.2 – Переходный процесс
Величина называется абсолютным перерегулированием.
Показателем качества является относительное перерегулирование
. (1.9.2.1)
Система считается хорошей, когда лежит в пределах от 0,1 до 0,3.
Другим показателем качества является затухание за период
. (1.9.2.2)
Система считается хорошей, когда лежит в пределах от 0,9 до 0,98.
Переходный процесс считается окончившимся с того момента, когда колебания окончательно войдут в зону относительно установившегося значения.
Для точных общепромышленных систем полагают, что , а для грубых систем –.
Третьим показателем качества является время переходного процесса . Время переходного процесса равно промежутку времени от начала переходного процесса до его окончания.
Колебательность – это количество перерегулирований за время переходного процесса. На рисунке 2 колебательность равна двум.
По переходному процессу для статической системы можно определить её статизм (см. (1.9.1.8)).
. (1.9.2.3)
1.9.3 Определение показателей качества по корням характеристического уравнения
(См. пункт 1.8.1 «Корневые критерии устойчивости»). Корни характеристического уравнения определяют вид переходных процессов. Поэтому можно определить ряд показателей качества по корням характеристического уравнения, не рассматривая сами переходные процессы.
Пусть дано характеристическое уравнение системы
с корнями . При простых корнях характеристического уравнения собственная составляющая движения описывается уравнением
. (1.9.3.1)
Каждое слагаемое в выражении (1) называется модой. Для асимптотической устойчивости всей системы необходимо и достаточно, чтобы каждая мода с течением времени стремилась к нулю, а для этого корни должны иметь отрицательные действительные части, т.е. на комплексной плоскости корни должны лежать слева от мнимой оси.
Рисунок 1.9.3.1 – Заданная область расположения корней
Моду для пары комплексно сопряженных корней можно представить в виде
. (1.9.3.2)
В случае одного действительного корня в (2) будет отсутствовать составляющая. Самое медленное затухание будет у мод, расположенных ближе всего к оси мнимых. Расстояниеот мнимой оси до ближайшего к ней корня называетсястепенью устойчивости. Степень устойчивости является показателем качества переходного процесса. Рассмотрим изменение амплитуды у самой медленно затухающей моды
. (1.9.3.3)
Через промежуток времени, равный времени переходного процесса , амплитуда станет равной, гдевведено в предыдущем пункте, то есть
,
откуда
. (1.9.3.4)
Таким образом, по степени устойчивости можно определить время переходного процесса . Если, то при, и будем иметь
. (1.9.3.5)
Из формул (4) и (5) следует, что размерность корней характеристического уравнения равна с-1.
Как следует из (2), действительная часть характеризует затухание, а мнимая часть – частоту колебаний. Для конкретной моды вводится понятие колебательности
. (1.9.3.6)
Колебательностью всей системы является величина
. (1.9.3.7)
Численное значение колебательности не совпадает с колебательностью из предыдущего раздела, но характер поведения системы в зависимости от величины той или другой колебательности аналогичен. По корням характеристического уравнения можно определитьзатухание за период
. (1.9.3.8)
Для того чтобы система хорошо функционировала, её корни на плоскости корней должны занимать вполне определённое место, это место определяется степенью устойчивости (она должна быть не менее заданной) и колебательностью (она должна быть не больше заданной) (рис. 2).
Рисунок 1.9.3.2
Корни характеристического уравнения должны лежать в заштрихованной области. Из формулы (8)
, (1.9.3.9)
при .