4.6 Система управления с динамическими фильтрами

Рассмотрим систему (1), (2)

, (4.6.1)

. (4.6.2)

Смысл векторов и матриц дан в подразделе 4.5. Пусть с помощью динамического фильтра получена оценка вектора, ошибка динамического фильтра определена соотношением , откуда

. (4.6.3)

Сформируем закон управления в виде

. (4.6.4)

Подставив (4) в (1), получим

или

(4.6.5)

Выражение в квадратных скобках можно рассматривать как внешнее воздействие на управляемый объект, причём, вследствие асимптотической устойчивости динамического фильтра, величина или ограничена малой величиной, или даже стремится к нулю. Решение уравнения (5) складывается из двух слагаемых: 1) вынужденного решения, обусловленного выражением в скобках, и 2) собственного решения, совпадающего с решением уравнения

(4.6.6)

Уравнение (6) совпадает с уравнением (4.4.4) при . Поэтому порядок выбора матрицысовпадает с порядком, изложенным в подразделе 4.4.

Обобщив результаты подразделов 4.5 и 4.6, констатируем, что параметры динамического фильтра и регулятора могут выбираться независимо, т.е. действует принцип разделения. Обычно быстродействие наблюдателя делают на 20-50% больше (время переходного процесса на 20-50% меньше), чем управляемого с помощью регулятора объекта.

Функциональная схема системы управления с динамическим фильтром представлена на рис. 1.

Рисунок 4.6.1 – Функциональная схема системы управления с динамическим фильтром

На рис. 1 – сигнал, формирующий программу движения,

– вектор измеряемых выходных сигналов.

4.7 Редуцированные наблюдатели

Наблюдатель, изученный в подразделе 4.5, позволяет восстановить весь вектор состояния, в том числе и измеряемую его часть, имеет тот же порядок, что и размер вектора состояния .

Известно, что при интегрировании системы дифференциальных уравнений объём математических операций пропорционален квадрату порядка системы. Поэтому, если бы удалось построить наблюдатель, который восстанавливает (оценивает) только неизвестную часть вектора состояния, то удалось бы существенно снизить объём вычислений для восстановления вектора состояния.

Пусть дана система

, (4.7.1)

, (4.7.2)

. (4.7.3)

Стоит задача вместо наблюдателя размерности построить редуцированный наблюдатель размерностью (), тогда объём вычислений уменьшится враз. Будем полагать, что путём перестановки строк в уравнении (1) и преобразований удалось представить вектор состояния в виде

, (4.7.4)

где – измеряемая часть вектора состояния,

– неизмеряемая часть вектора состояния.

В соответствии с разбиением вектора состояния (4) уравнения (1) и (2) можно представить в виде

, (4.7.5)

, (4.7.6)

где – матричные элементы блочных матриц соответствующих размеров.

Запишем уравнение (5) в виде двух векторно-матричных уравнений

, (4.7.7)

. (4.7.8)

Уравнение (7) можно представить в виде уравнения измерения. Для этого введём обозначение

, (4.7.9)

где в левой части собраны все известные слагаемые. С учётом (9) уравнение (7) представим в виде

. (4.7.10)

Будем рассматривать уравнение (8) как динамическое уравнение объекта, а уравнение (10) как соответствующее ему измерение и по стандартной структуре наблюдателя составим уравнение наблюдателя в виде

или с учетом (9)

. (4.7.11)

Устраним операцию дифференцирования в уравнении (11). Для этого введем обозначение

. (4.7.12)

С учётом (12) уравнение (11) представим в виде

(4.7.13)

После нахождения вектора по зависимости (12) можно найти вектор , являющийся оценкой вектора. Наблюдатель (13) имеет порядок ().

При использовании редуцированного наблюдателя закон управления можно принять в виде

(4.7.14)

где – матрицы коэффициентов закона управления, которые можно определить аналогично тому, как это было сделано в подразделе 4.6.